přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 Zborcené plochy Mgr. Jan Šafařík Přednáška č. 11 - 13 přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240

Literatura Základní literatura: Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Literatura Základní literatura: Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3. Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006–2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php

Literatura Doporučená literatura: Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Literatura Doporučená literatura: Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992. Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997. Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008. Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.

Literatura Další zdroje: Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Literatura Další zdroje: Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006 Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý, Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, http://mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/kog/default.html. Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html. Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe  - 8. semestr - KAG/GPTP8, http://kag.upol.cz/juklova/index.html. Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1958. Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975. Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006 Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006.

Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy Zborcená plocha  je dána třemi různými (obecně prostorovými) řídícími křivkami 1c, 2c, 3c, které neleží na téže rozvinutelné ploše Značíme  (1c, 2c, 3c) Přímka protínající všechny tři řídící přímky se nazývá tvořící přímka

Zborcené plochy Konstrukce tvořící přímky: Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy Konstrukce tvořící přímky: Zvolme bod A 1c. Tvořící přímku n procházející bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2 s vrcholem A a řídící křivkou 2c a kuželové plochy 3 s vrcholem A a řídící křivkou 3c.

Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá kuspidální bod. Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy , tzv. torzální rovina. Křivka  na zborcené ploše  se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální). Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem. Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy  se nazývá asymptotická.

Zborcené plochy Stupeň plochy: Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy Stupeň plochy: Buď zborcená plocha  dána algebraickými křivkami 1c stupně 1n, 2c stupně 2n a 3c stupně 3n. Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak  je stupně 2·1n·2n·3n Mají-li křivky ic, jc pro 1ij3 společný sij bodů, pak  je stupně 2·1n·2n·3n – s12·3n – s13·2n – s23·1n

Zborcené plochy Užití zborcených ploch Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy Užití zborcených ploch Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím provozním chodu bez zpevňujících zařízení Ze statického hlediska jsou zborcené plochy samonosné

Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Jednodílný hyperboloid Hyperbolický paraboloid

Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1a, 2a, 3a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu (1a, 2a, 3a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku Tvořící přímky plochy , například 1b, 2b, 3b, 4b, … jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby například 1b a 2b byly ruznoběžné, pak alespoň dvě z přímek 1a, 2a, 3a  (1b, 2b), ale to je spor s předpokladem mimoběžnosti přímek 1a, 2a, 3a. Tvořící přímky - mimoběžky ib plochy  se nazývají např. přímky I. regulu plochy . Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například 1b, 2b, 3b jako řídící přímky plochy , pak přímky 1a, 2a, 3a spolu s dalšími mimoběžkami ia tvoří přímky II. regulu plochy .

Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Z konstrukce je patrné, že: Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II. regulu a naopak Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné Tečná rovina plochy  v bodě M je určena přímkami obou regulů, bodem M procházejících

Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid

Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný hyperboloid (obecně nerotační). Základní vlastnosti Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem). Střed hrdlové kružnice nazýváme středem hyperboloidu. Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly. Plocha dvojí křivosti. Nerozvinutelná plocha.

Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid Asymptotická kuželová plocha Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed hyperboloidu. Každá tvořící přímka asymptotické kuželové plochy je rovnoběžná s některou tvořící přímkou hyperboloidu. Má-li asymptotická kuželová plocha obrys, jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je hyperbola.

Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid Řezy na jednodílném hyperboloidu přímky kružnice, elipsa

Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid Řezy na jednodílném hyperboloidu parabola hyperbola

Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida)

Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.

Jednodílný hyperboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid Chladící věže jaderných elektráren

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Jestliže existuje rovina  (’), se kterou jsou přímky nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné, dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid. Základní pojmy Zborcený čtyřúhelník Řídicí rovina Systém (regulus) přímek Sedlový bod, sedlová plocha Vrchol hyperbolického paraboloidu Osa hyperbolického paraboloidu Směr osy hyperbolického paraboloidu Zborcená přímková kvadratická plocha Plocha dvojí křivosti

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Základní pojmy Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v téže rovině Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP. Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu.

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Základní pojmy Řez hyperbolického paraboloidu rovinou: Je-li rovina řezu  rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2. regulu, je řezem jedna površka. Je-li rovina řezu  tečna hyperbolického paraboloidu v bodě dotyku T, jsou řezem dvě površky. Je-li rovina řezu  rovnoběžná resp. procházející osou hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími rovinami obou regulů, je řezem parabola Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola.

Proč hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Proč hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Příklad: V izometrii je dán průmět dvou zdí stejné výšky, jejíž lícní roviny ,  mají různý spád. Proveďte spojení obou zdí pomocí plochy hyperbolického paraboloidu. A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0, 80, 60], D[0, 0, 60].

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Příklad: V pravoúhlé izometrii je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte několik tvořících přímek plochy patřících do obou přímkových regulů. Je dáno A[40, 0, 0], B[0, 80, 50], C[-40, 0, 0], D[0, -80, 50]. Plochu omezte rovinami  (x, y), ,  , je- li dáno:  : y = 80,  : y = - 80. Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Příklad: V Mongeově promítání je dána plocha hyperbolického paraboloidu pomocí zborceného čtyřúhelníku ABCD, který se v půdorysně  zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62, 77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19, 9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte tečnou rovinu τ. Sestrojte řez rovinou , rovnoběžnou s nárysnou , procházející vrcholem V hyperbolického paraboloidu.

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Střešní roviny stejného spádu hřeben není vodorovný Požadujeme hřeben vodorovný

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Půlícím bodem střední příčky je veden vodorovný hřeben MN rovnoběžný s jednou okapovou hranou. Část střešní plochy tvoří hyperbolický paraboloid určený zborceným čtyřúhelníkem ABMN. Latě jsou vodorovné, ale krokve nejsou kolmé k hřebeni.

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Krokve jsou kolmé na hřeben. Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem KLMN. Nároží se sousedními střešními rovinami jsou části kuželoseček.

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Užitá část hyperbolického paraboloidu je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem KLMN. Přechází v části rovin určených body ALM a BKN. Tím docílíme, že všechna nároží jsou úsečky.

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972, Olympijský stadión, Mnichov, Německo

Hyperbolický paraboloid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie

Zborcené plochy vyšších stupňů Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy vyšších stupňů Přímý kruhový konoid Plückerův konoid Küpperův konoid Plocha Štramberské trúby Plocha Montpellierského oblouku Plocha Marseillského oblouku Plocha Šikmého průchodu

Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Konoidy Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid. Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně. Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu: kruhový konoid eliptický konoid šroubový konoid … Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá přímka v konečnu s řídící rovinou  = 90 – přímý konoid  ≠ 90 – kosý konoid

Přímý kruhový konoid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý kruhový konoid

Přímý kruhový konoid zadání stupeň křivky: řídící rovinou  (c ∞  ) Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý kruhový konoid zadání řídící rovinou  (c ∞  ) řídící přímkou d   řídící kružnicí k   ;   , d   stupeň křivky: 2·1·1·2=4

Přímý kruhový konoid Příklad: Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý kruhový konoid Příklad: V kosoúhlém promítání (=135, qy=2/3) je dán přímý kruhový konoid s řídící kružnicí 1k (S[35, 35, 0], r=35) v půdorysně, řídící rovinou  a řídící přímkou 2k  . Přímka 2k prochází bodem M[35, 0, 80]. Sestrojte několik tvořících přímek konoidu, určete stupeň plochy.

Přímý parabolický konoid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý parabolický konoid

Přímý parabolický konoid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý parabolický konoid zadání řídící rovinou  (c ∞  ) řídící přímkou d   řídící parabolou    ;   , d   stupeň křivky: 2·1·1·2=4

Přímý parabolický konoid Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý parabolický konoid

Plocha Štramberské trúby Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Štramberské trúby

Plocha Štramberské trúby Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Štramberské trúby zadání dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1d, 2d kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1d a 2d a se středem na ose mimoběžek 1d a 2d. stupeň křivky: 2·1·1·2=4

Plocha Štramberské trúby Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Štramberské trúby

Plocha Montpellierského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku

Plocha Montpellierského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku zadání řídící kružnicí k řídící přímkou 1d, která prochází středem S kružnice k kolmo na rovinu kružnice řídící přímkou 2d, která je rovnoběžná a různá s rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1d stupeň křivky: 2·2·1·1=4

Plocha Montpellierského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku

Plocha Montpellierského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku Příklad: V Mongeově promítání sestrojte Montpelliérský oblouk daný řídící kružnicí 1k (S [0, 20, 0], r = 40), která leží v rovině ν' || ν (x, z), dále řídící přímkou 2d || x1,2, Q  2d, Q [0, 60, 60] a přímkou 3d, 3d  ν, S  3d. Plochu omezte řídící kružnicí 1k, řídící přímkou 2d a rovinami α (20, -20, ) a β (-20, -20, ). Dále sestrojte řez rovinou ρ(, 80, 65).

Plocha Marseillského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Marseillského oblouku

Plocha Marseillského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Marseillského oblouku zadání řídící kružnicí 1k(1S, 1r)  1 řídící kružnicí 2k(2S, 2r)  2, 1  2 řídící přímkou d, 1Sd, 2Sd, d  1, 2 stupeň křivky: 2·2·2·1-2·1=6

Plocha Marseillského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Marseillského oblouku

Plocha Marseillského oblouku Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Marseillského oblouku Příklad: V kolmé axonometrii Δ(90, 110, 95) je dána plocha Marseillského oblouku určena řídícími kružnicemi 1k (1S[0, 47, 0], r=30) v bokorysně , 2k (2S[30, 47, -10], r=50) v rovině rovnoběžné s  a řídící přímkou 3k procházející bodem 1S kolmo k rovině . Sestrojte část plochy nad půdorysnou , omezenou rovinami v nichž leží řídící kružnice.

Plocha šikmého průchodu Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha šikmého průchodu

Plocha šikmého průchodu Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha šikmého průchodu zadání řídícími kružnicemi 1k a 2k, ležících v rovnoběžných rovinách, o stejném poloměru a středech 1S a 2S řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a procházejí středem úsečky 1S 2S stupeň křivky: 2·2·2·1-2·1-2=4

Plocha šikmého průchodu Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha šikmého průchodu Vyšehradský tunel

dále viz … Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.

Konec Děkuji za pozornost