BA03 Deskriptivní geometrie Mgr. Jan Šafařík přednášková skupina P-B1VS5 učebna Z240 letní semestr 2006-2007

Kontakt: Ústav matematiky a deskriptivní geometrie Žižkova 17, 662 37 Brno místnost Z221 telefon: 541147606 e-mail: safarik.j@fce.vutbr.cz www: http://math.fce.vutbr.cz/safarik/ konzultační hodiny: úterý, 13:00-14:00

Základní literatura: Bulantová, J. - Hon, P. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Roušar, J. - Roušarová, V. - Slaběňáková, J. - Šafařík, J. - Šafářová, H., Zrůstová, L.: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004. Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Roušar, J. - Roušarová, V. - Slaběňáková, J. - Šafařík, J. - Šafářová, H., Zrůstová, L.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. Šafářová, H.: Teoretické řešení střech, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. Puchýřová, J.: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část A, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno 2005. Puchýřová, J.: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část B, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno 2005.

Doporučená literatura: Stránky Deskriptivní geometrie pro 1. ročník kombinovaného studia FAST, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/kombinovane.studium/dg.html. Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie I. - Kuželosečky, Fakulta stavební VUT, Brno 1988. Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie II. - Promítací metody, Fakulta stavební VUT, Brno 1989. Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992. Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003. Piska Rudolf, Medek Václav - Deskriptivní geometrie I, SNTL/SVTL, Praha 1966. Piska Rudolf, Medek Václav - Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975. Vala, Josef: Deskriptivní geometrie I, Fakulta stavební VUT, Brno 1997. Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.

v jednotlivých projekcích, jejich řezy a průsečíky s přímkou. Cíl předmětu: Zvládnout konstrukci kuželoseček na základě ohniskových vlastností. Pochopit principy perspektivní kolineace a perspektivní afinity a umět je použít při řešení příkladů. Pochopit a zvládnout základy promítání: kótovaného, Mongeova, kolmé axonometrie a lineární perspektivy. Rozvinout prostorovou představivost a zvládnout prostorové řešení jednoduchých úloh. Umět zobrazit jednoduchá geometrická tělesa a plochy v jednotlivých projekcích, jejich řezy a průsečíky s přímkou. V lineární perspektivě zvládnout zobrazení stavebního objektu. Seznámit se se stručným výběrem poznatků z teorie křivek a ploch, umět konstrukci šroubovice ze zadaných prvků a konstrukci pravoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy. http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

Harmonogram předmětu: Rozšířený euklidovský prostor. Dělící poměr. Princip středového a rovnoběžného promítání. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita. Kótované promítání. Průmět bodu, přímky, roviny. Základní úlohy v kótovaném promítání. Kótované promítání. Průmět kružnice. Zobrazení tělesa. Přímka a rovina předepsaného spádu. Řez hranolu a jehlanu v kótovaném promítání. Mongeova projekce. Průmět bodu, přímky, roviny. Mongeova projekce. Základní úlohy. Průmět kružnice. Zavedení další průmětny. Mongeova projekce. Zobrazení tělesa. Řezy hranolů, jehlanů, válců a kuželů. Průsečíky přímky s hranolem, jehlanem, válcem a kuželem. Kulová plocha. http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

Harmonogram předmětu: Kolmá axonometrie. Metrické úlohy v souřadnicových rovinách. Úlohy polohy. Zobrazení tělesa. Kolmá axonometrie. Řezy výše uvedených těles. Zářezová metoda. Skuherského metoda. Základní pojmy středového promítání. Lineární perspektiva. Úvod, promítací aparát. Průsečná metoda. Délky úseček. Konstrukce v základní rovině při nedostupném úběžníku. Lineární perspektiva. Konstrukce perspektivy objektu volnou metodou. Metoda sklopeného půdorysu. Další metody vynášení perspektivy. Kružnice v základní rovině. Perspektivní průmět kružnice ve svislé rovině. Prostorová křivka. Šroubovice, její vlastnosti a konstrukce. Konstrukce šroubovice. Plochy šroubové, jejich vytvoření a vlastnosti. Pravoúhlá uzavřená šroubová plocha. http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

Harmonogram cvičení: Ohniskové vlastnosti kuželoseček. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita. Křivka afinní ke kružnici. Proužková konstrukce elipsy. Rytzova konstrukce. Kótované promítání. Kótované promítání. Zobrazení tělesa. Řez hranolu a jehlanu. Mongeova projekce. Základní konstrukce. Zobrazení tělesa. Pomocná průmětna. Mongeova projekce. Řez hranolu, jehlanu, válce. Průsečíky přímky s hranolem, jehlanem, válcem, kuželem. Kolmá axonometrie. Metrické úlohy v souřadnicových rovinách. Kontrolní práce. Kolmá axonometrie. Zobrazení tělesa. Řez hranolu, jehlanu, válce, kužele. Průsečíky přímky s těmito tělesy. Lineární perspektiva. Šroubovice. Šroubový konoid. Zápočty. http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

Požadavky k zápočtu zápočtová písemka – úspěšnost alespoň 40%, typy příkladů a okruhy otázek budou během semestru uveřejněny na serveru Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie, http://math.fce.vutbr.cz/ 3 rysy – jednotné zadání pro všechny studijní skupiny, zadání budou upřesněna během semestru, rýsujte tužkou účast na cvičeních je povinná, tolerují se maximálně dvě omluvené neúčasti (viz studijní řád) vypracované typové příklady ze cvičení domácí úlohy

Okruhy k písemné zkoušce Konstrukce kuželoseček, tečny z bodu a rovnoběžné se směrem k elipse. Perspektivní afinita, perspektivní kolineace, užití při konstrukcích Kótované promítání. Přímka, rovina, základní úlohy a jejich užití. Konstrukce tělesa. Řez jehlanu a hranolu. Konstrukce roviny daného spádu, konstrukce přímky daného spádu. Mongeova projekce. Užití základních úloh, konstrukce pomocí 3. průmětny. Konstrukce těles ze zadaných podmínek, průsečíky přímky s tělesy, řez hranolu, jehlanu a válce. Kolmá axonometrie. Metrické úlohy v souřadnicových rovinách, konstrukce hranolu, jehlanu, kužele, válce s podstavou v souřadnicové rovině ze zadaných podmínek, průsečíky těchto těles s přímkou, řez hranolu, jehlanu a válce. Lineární perspektiva. Metoda průsečná, úlohy volné perspektivy (konstrukce tělesa), metody konstrukce půdorysu (včetně metody kolineační), kružnice ve vodorovné a svislé rovině, gratikoláž. Užití výše uvedených metod při konstrukci objektu. V Mongeově projekci a kolmé axonometrii: konstrukce šroubovice z daných prvků, tečna v bodě šroubovice, oskulační rovina v bodě šroubovice. Přesně vrchol průmětu šroubovice, půdorysný stopník.

Geometrie a stavitelství Návrh geometrie Konstrukce Prostředí Stavba Technologie provádění Ekonomika Náklady Materiál

Geometrie v návrhu Transformace Tvary Zobrazení objektu operace s objekty Tvary Tělesa Křivky Plochy Dimenze Proporce Zobrazení objektu Skicování Promítací metody Počítačové zobrazování

Jednodílný hyperboloid Chladící věže jaderných elektráren

Jednodílný hyperboloid Ještěd, arch. Karel Hubáček, 1963 - 1966

Hyperbolický paraboloid F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie

Přímý šroubový konoid Schodová plocha

Plocha Štramberské trůby

Plocha šikmého průchodu Vyšehradský tunel

Jak zvládnout deskriptivu? Tajemství úspěchu není dělat jen to, co se nám líbí, ale najít zalíbení v tom, co děláme. T. A. Edison

Přednáška č.1 Rozšířený euklidovský prostor. Dělící poměr. Princip středového a rovnoběžného promítání. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita.

Rozšířený euklidovský prostor každá vlastní přímka má jeden nevlastní bod (je incidentní s jedním nevlastním bodem), nevlastní bod je určen směrem přímky, která je s tímto bodem incidentní, všechny vzájemně rovnoběžné přímky se protínají v jediném nevlastním bodě, každá vlastní rovina má jednu nevlastní přímku (je incidentní s nevlastní přímkou), všechny vzájemně rovnoběžné roviny se protínají v jediné nevlastní přímce.

Dělící poměr Zvolme na dané přímce p dva různé vlastní body A, B a kladný směr. Pak poloha libovolného dalšího bodu C je určena poměrem délek orientovaných úseček | AC | : | BC | = λ. Tento poměr nazýváme dělící poměr bodu C vzhledem k základním bodům A, B, značíme (ABC). (ABC) > 1 bod C leží vně úsečky AB, tak aby |AC|>|BC| 0 < (ABC) < 1 bod C leží vně úsečky AB, tak aby |AC| < |BC| (ABC) < 0 bod C leží uvnitř úsečky AB (ABC) = 0 bod C splývá s bodem A Hodnota dělícího poměru nezávisí na volbě orientace přímky. Dvojpoměrem čtyř bodů A, B, C, D (v tomto pořadí) na orientované přímce nazýváme poměr (ABC) : (ABD), t.j. podíl dělících poměrů bodů C a D vzhledem k základním bodům A, B; značíme (ABCD).

Princip středového a rovnoběžného promítání Definice: Zobrazení, ve kterém obrazem bodu A v prostoru různého od bodu S je průsečík A´ přímky AS s rovinou ρ, se nazývá promítání. Bod S se nazývá střed promítání, rovina ρ průmětna, přímka AS promítací přímka (promítací paprsek), bod A´ průmět bodu A, rovina procházející středem promítání promítací rovina. Je-li střed S promítání vlastní bod, nazýváme promítání středové (centrální), je-li střed S promítání nevlastní bod, nazýváme promítání rovnoběžné (paralelní). S ... střed promítání s ... směr promítání A´ ... průmět bodu ρ ... průmětna AA´ ... promítací paprsek

Vlastnosti promítání Průmětem bodu, různého od středu promítání, je bod. Průmětem přímky, která neprochází středem promítání, je přímka. Průmětem promítací přímky je bod, tj. její průsečík s průmětnou. Průmětem roviny, která neprochází středem promítání, je průmětna. Průmětem promítací roviny je přímka. Invariantem středového promítání je dvojpoměr čtyř bodů na přímce. Důsledek: a) průmětem rovnoběžných přímek nejsou rovnoběžky, b) průmět nevlastního bodu může být bod vlastní i nevlastní. Invariantem rovnoběžného promítání je dělící poměr tří bodů na přímce. a) průmětem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžky, b) průmět středu úsečky je střed průmětu úsečky, c) průmět vlastního bodu je bod vlastní. d) průmět nevlastního bodu je bod nevlastní. Věta: Incidence prvků se promítáním zachovává. Poznámka: Metrické vlastnosti, tj. délky a úhly se obecně promítáním nezachovají.

Zobrazovací metody Rovnoběžná promítání Středová promítání Kótované promítaní Mongeovo promítání Axonometrické promítání - pravoúhlé (ortogonální) - kosoúhlé (klinogonální) Středová promítání Obecné středové promítání Lineární perspektiva Stereoskopické promítání (anaglyfy) Reliéf

Perspektivní kolineace Je dána trojboká jehlanová plocha s vrcholem S a dvě různoběžné roviny ρ a ρ'. Rovina ρ protíná jehlanovou plochu v trojúhelníku ABC a rovina ρ' protíná jehlanovou plochu v trojúhelníku A'B'C'. Pokud Δ ABC promítneme z bodu S do roviny ρ', získáme Δ A'B'C'. Máme zobrazení bodů a přímek roviny ρ do bodů a přímek roviny ρ', ve kterém platí stejně jako v afinitě, že odpovídající si přímky se protínají na průsečnici rovin ρ a ρ'.

Perspektivní kolineace Definice: Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a vlastní bod S neležící v žádné z daných rovin. Středovým promítáním ze středu S se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Toto zobrazení se nazývá perspektivní kolineace (dále jen kolineace) mezi rovinami ρ a ρ '. Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa kolineace, bod S se nazývá střed kolineace. Kolineace je jednoznačně určena středem S a rovinami ρ a ρ '. Základní vlastnosti kolineace: 1. Bodu (přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (jediná přímka) druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A' na přímce a' v rovině ρ ', přičemž a' je obrazem přímky a (incidence se zachovává). 2. Dvojice kolineárně sdružených bodů leží na přímkách procházejících středem kolineace (tyto přímky nazýváme paprsky kolineace). 3. Kolineárně sdružené přímky se protínají na ose kolineace. Osa kolineace je množina samodružných bodů.

Perspektivní kolineace Označení: A  A ' bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '. A  A ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou kolineárně sdružené body. p  p ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou kolineárně sdružené přímky. Úběžník přímky - obraz nevlastního bodu, je to vlastní bod Úběžnice roviny - obraz nevlastní přímky roviny, je to množina úběžníků všech přímek roviny Orientovaná vzdálenost středu kolineace od úběžnice jedné roviny je rovna orientované vzdálenosti úběžnice druhé roviny od osy kolineace.

Perspektivní kolineace Promítneme-li z nějakého bodu O, který neleží v žádné z rovin ρ a ρ ', kolineaci mezi rovinami ρ a ρ ' do libovolné roviny  (O  ), získáme zobrazení nazývané perspektivní kolineace v rovině, dále jen kolineace.

Poznámka: Kolineaci budete využívat při sestrojování rovinných řezů jehlanů a kuželů. Mezi podstavou a řezem je kolineární vztah, osou kolineace je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, středem kolineace je vrchol tělesa. Postup při sestrojení řezu jehlanu nebo kužele je následující: 1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík libovolné površky (nebo osy tělesa) s rovinou řezu 2. Využitím vlastností kolineace určíme čáru řezu jako křivku kolineární ke křivce podstavy (osa kolineace: průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, pár odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu a bod podstavy na téže povrchové přímce)

Perspektivní afinita Je dána trojboká hranolová plocha, jejíž hrany a, b, c jsou rovnoběžné s daným směrem s. Dále jsou dány roviny ρ a ρ', které se protínají v přímce o. Rovina ρ protíná hranolovou plochu v Δ ABC, rovina ρ' protíná hranolovou plochu v Δ A'B'C' , a (A, A') || b (B, B') || c (C, C') || s. α (a,b) je rovina stěny hranolové plochy. V této rovině leží jak přímka AB =  ρ  α, tak přímka A'B' =  ρ'   α. Průsečík přímek AB a A'B' (na obrázku označen I ) musí ležet na průsečnici o rovin ρ a ρ', protože je to společný bod tří rovin ρ, ρ', α. Můžeme také říci, že Δ A'B'C' vznikl promítnutím Δ ABC směrem s do roviny ρ'.

Perspektivní afinita Definice: Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a směr promítání s, který není rovnoběžný s žádnou z daných rovin. Rovnoběžným promítáním ve směru s se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Získáme tak geometrické zobrazení v prostoru nazývané perspektivní afinita (dále jen afinita) mezi rovinami ρ a ρ '. Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa afinity, směr s nazýváme směr afinity. Označení: A  A ' bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A'. A  A ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou afinně sdružené body. p  p' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou afinně sdružené přímky. Afinita je dána: osou o a párem odpovídajících si bodů A, A '; směr afinity je pak určen přímkou AA '; osou o, směrem s a párem odpovídajících si přímek p, p ' protínajících se na ose afinity; třemi páry afinně sdružených bodů, kde AA ' || BB ' || CC '.

Perspektivní afinita Základní vlastnosti afinity: 1. Bodu (resp. přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (resp. jediná přímka) druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A' ležící na přímce a' v rovině ρ ' , přičemž a' je obrazem a. (zkráceně: incidence se zachovává) 2: Dvojice afinně sdružených bodů leží na přímkách rovnoběžných se směrem afinity (tyto přímky budeme nazývat paprsky afinity). 3. Afinně sdružené přímky se protínají na ose afinity. Osa afinity je množina samodružných bodů. Další důležité vlastnosti: 4. Nevlastní přímce jedné roviny odpovídá nevlastní přímka druhé roviny. 5. Dvě rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek. 6. Průsečíku M různoběžných přímek p, q odpovídá průsečík M' odpovídajících přímek p', q'. 7. Afinita zachovává (jako každé rovnoběžné promítání) dělící poměr i dvojpoměr. 8. Středu S úsečky AB odpovídá střed S' úsečky A'B' (důsledek vlastnosti 7).

Perspektivní afinita Promítneme-li afinitu o směru s mezi rovinami ρ a ρ ' libovolným směrem s* různým od s (s* není rovnoběžný s ρ ani s ρ ') do libovolné roviny  (která není rovnoběžná se směrem s*), získáme geometrické zobrazení nazývané perspektivní afinita v rovině (dále jen afinita).

Poznámka: Afinitu budete využívat při sestrojování rovinných řezů hranolů a válců. Mezi podstavou a řezem je afinní vztah, osou afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, směr afinity je směr povrchových přímek tělesa (všechny povrchové přímky hranolu, resp. válce jsou rovnoběžné). Postup při sestrojení řezu hranolu nebo válce je následující: 1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík libovolné površky (případně boční hrany hranolu) nebo osy tělesa s rovinou řezu. 2. Využitím vlastností afinity určíme čáru řezu jako křivku afinní ke křivce podstavy (osa afinity: průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, pár odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu a bod podstavy na téže povrchové přímce).

Sdružené průměry elipsy viz cvičení Průměrem elipsy (kružnice) se nazývá tětiva procházející jejím středem. Dva průměry elipsy (kružnice) se nazývají sdružené, jestliže tečny v koncových bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s druhým průměrem a naopak. Sdruženými průměry kružnice rozumíme každou dvojici na sebe kolmých průměrů. Osy elipsy jsou jediná navzájem kolmá dvojice sdružených průměrů.

Rytzova konstrukce viz cvičení Sestrojíme přímku p, která prochází středem S a je kolmá k některému průměru. Na přímce p určíme bod L’, pro který platí |S’L’|=|SL|. Sestrojíme přímku q(L’,M). Sestrojíme střed O úsečky L’M. Sestrojíme kružnici k, která má střed v bodě O a prochází bodem S. Určíme průsečíky I, II kružnice k s přímkou q. Hlavní osa elipsy je přímka o1(S,I), vedlejší osa elipsy je přímka o2(S,II) – hlavní osa leží v menším úhlu, který svírají sdružené průměry. Délka hlavní poloosy – |MI|; délka vedlejší poloosy – |MII|.

Proužková konstrukce elipsy viz cvičení rozdílová součtová

Afinní obraz kružnice viz cvičení Příklad: D: AF (SS’, o), k(S,r) S: k’

Afinní obraz kružnice viz cvičení Příklad: D: AF (SS ’, o), k(S,r) S: k ’, konstrukce na přímé získání os elipsy.

Konec Děkuji za pozornost