Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou Leoš Turnovský Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou Při řešení rovnic, v nichž neznámá je pod odmocninou, budeme někdy obě strany rovnice umocňovat na druhou. Jedná se o důsledkovou úpravu, při níž se sice žádné řešení neztratí, ale některá řešení můžou přibýt. Zda vypočtená řešení jsou vskutku řešeními výchozí rovnice, budeme zjišťovat zkouškou. Ovšem v případě, kdy pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž rovnici řešíme, jsou obě její strany nezáporné nebo obě nekladné, je umocnění obou stran rovnice úpravou ekvivalentní. V takovém případě proto není zkouška nutná.

Příklad 1 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení / 2 Jediným možným kořenem dané rovnice je číslo . Zkouška Zkouška prokázala, že číslo danou rovnici opravdu splňuje.

Příklad 1 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení Odmocnina na levé straně je definovaná pouze tehdy, když , tj. pro . Rovnici tedy řešíme v intervalu . Pro každé číslo x z tohoto intervalu jsou obě strany dané rovnice nezáporné, jejich umocnění na druhou je proto v intervalu ekvivalentní úpravou. Stejně jako v 1. způsobu řešení vypočteme . Protože , je číslo (jediným) kořenem dané rovnice. (Po předchozích úvahách zkoušku dělat nemusíme.)

Příklad 2 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení / 2 Zkouška Jediným možným kořenem dané rovnice je číslo .

Příklad 2 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení Danou rovnici řešíme v intervalu . Levá strana má pro každé nezápornou hodnotu, rovnici proto nemůže splňovat žádné číslo x, pro které je pravá strana záporná, tj. žádné . Pro všechna řešení dané rovnice musí tedy platit . Proto stačí, budeme-li rovnici řešit v intervalu Pro jsou obě strany nezáporné, umocnění na druhou je tedy v intervalu ekvivalentní úpravou. Z vypočtených kořenů , patří do intervalu pouze druhý. Daná rovnice má jediné řešení .

Příklad 3 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení / 2 Zkouška Při provádění zkoušky zjistíme, že pro y = 2 nejsou odmocniny v dané rovnici definovány, výrazy 5 – 5y a 3y – 11 mají totiž pro y = 2 zápornou hodnotu -5. Daná rovnice nemá žádné řešení.

Příklad 3 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení Aby byly obě odmocniny definovány, musí platit a zároveň , tj. a zároveň , což však neplatí pro žádné číslo y. Nemusíme tedy nic počítat a můžeme rovnou prohlásit, že daná rovnice nemá žádné řešení.

Příklad 4 Řešte rovnici Řešení / 2 Zkouškou zjistíme, že kořenem dané rovnice je pouze číslo .

Příklad 5 Řešte rovnici Řešení Protože výraz je definován pro každé a protože pro každé jsou obě strany rovnice nezáporné, je tentokrát umocnění na druhou ekvivalentní úpravou: /2

Příklad 6 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení Umocněním na druhou a jednoduchou úpravou dostaneme rovnici . Jejím řešením je každé . Avšak ne každé reálné číslo x je řešením dané rovnice. Zkoušku dosazováním jednotlivých čísel tentokrát provést nelze (těchto čísel je nekonečně mnoho). Pokračování na další straně.

Příklad 6 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení Uvažujeme takto: Kvadratický trojčlen pod odmocninou má dvojnásobný kořen , jeho rozklad na kořenové činitele je , proto je nezáporný pro všechna definovaná. Levá strana je pro každé nezáporná, řešením proto mohou být pouze ta čísla x, pro něž je nezáporná i pravá strana, tj. pouze čísla . Můžeme tedy omezit na řešení dané rovnice v tomto intervalu, který je zároveň jejím řešením.

Příklad 6 Řešte rovnici Pokračování na další straně. Řešení 2. způsob řešení Upravíme levou stranu: Daná rovnice je tedy ekvivalentní s rovnicí tj. Řešením jsou právě všechna čísla x, pro která platí tj, Pokračování na další straně.

Příklad 6 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení Nyní přikročíme k nerovnicím s neznámou pod odmocninou. Nejprve si rozmyslíme, jak je to u nich s umocňováním na druhou. Je jasné, že pro libovolná dvě nezáporná čísla a, b platí a < b právě tehdy, když a2 < b2 , a pro libovolná dvě nekladná čísla c, d platí c < d právě tehdy, když c2 > d2 . Proto v případě, kdy pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž nerovnici řešíme, jsou obě její strany nezáporné, resp. obě nekladné, je umocnění obou stran nerovnice na druhou ekvivalentní úpravou; v případě nezápornosti obou stran se znak nerovnosti nemění, v případě jejich nekladnosti musíme znak nerovnosti obrátit. Jestliže je jedna strana nerovnice nezáporná a druhá nekladná, vidíme na první pohled, je-li nerovnice splněna , nebo ne.

Příklad 7 Řešte rovnici Řešení Kvadratický trojčlen pod odmocninou má záporný diskriminant a kladný koeficient kvadratického členu, proto je kladný a odmocnina je definovaná pro každé . Levá strana dané rovnice je vždy kladná. Podle znaménka pravé strany rozlišíme dva případy. a) Pro všechna je levá strana kladná a pravá strana záporná, všechna tato x proto danou nerovnici splňují. b) Pro jsou obě strany nerovnice nezáporné. Umocněním obou stran na druhou (v intervalu jde o ekvivalentní úpravu) dostaneme nerovnici jejímž řešeními jsou všechna . Množina všech řešení dané nerovnice v intervalu je Množina všech řešení dané rovnice v R je Danou rovnici splňuje každé reálné číslo

Příklad 8 Řešte rovnici Řešení Kvadratický trojčlen pod odmocninou je nezáporný pro . Pouze pro tato u je odmocnina definovaná. Danou nerovnici tedy řešíme v intervalu . Pro všechna je levá strana nezáporná a pravá strana kladná. Umocnění na druhou je proto pro ekvivalentní úpravou: /2 Množina všech řešení dané nerovnice je

Úlohy