Konstrukce lichoběžníku Víme-li, že je rovnoramenný a známe délky jeho základen a ramene. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň

Lichoběžník a jeho vlastnosti Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Lichoběžník je čtyřúhelník, který má jen jednu dvojici protilehlých stran rovnoběžnou. a  c ; AB  CD Který čtyřúhelník má obě dvojice protilehlých stran rovnoběžné? Rovnoběžník.

Lichoběžník a jeho vlastnosti Zopakujeme základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Rovnoběžným stranám říkáme základny lichoběžníku, nerovnoběžným ramena lichoběžníku. b  d ; BC  DA a  c ; AB  CD Nepřipomíná vám to označení něco? Rovnoramenný trojúhelník.

Lichoběžník a jeho vlastnosti Součet velikostí úhlů při jednom rameni je vždy 180°. Součet velikostí úhlů  a  při rameni d je 180°. Součet velikostí úhlů  a  při rameni b je 180°.  +  =  +  = 180°  +  = 180°  +  = 180°

Lichoběžník a jeho vlastnosti Součet velikostí všech vnitřních úhlů je 360 stupňů.  +  + +  = 360°

Lichoběžník a jeho druhy Prozatím jsme vše opakovali na lichoběžníku, kterému se říká obecný lichoběžník. Objevila se tady však už i zmínka o podobnosti s rovnoramenným trojúhelníkem, co se označení stran týká. Podobnost však může být ještě větší. Jakému trojúhelníku říkáme rovnoramenný? Takovému, který má dvě strany stejně dlouhé, který má shodná ramena. A tento případ může nastat i u lichoběžníku. Pak mu říkáme rovnoramenný lichoběžník. b = d

Lichoběžník a jeho druhy Rovnoramenný lichoběžník má nejen shodná ramena, ale i dvě dvojice úhlů při obou základnách. A když už jsme u úhlů, vzpomeňme si ještě na další typ trojúhelníku. Trojúhelník s jedním pravým vnitřním úhlem, kterému říkáme pravoúhlý. I lichoběžník může mít některý z vnitřních úhlů pravý. V takovém případě mu říkáme pravoúhlý lichoběžník. A jak je vidět na obrázku, pravoúhlý lichoběžník má pravé dokonce úhly dva.

A nyní již přikročíme ke konstrukci. Námi rýsovaný lichoběžník má být rovnoramenný. Podíváme se tedy na vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku ještě podrobněji. Ramena jsou stejně dlouhá. Základny jsou rovnoběžné.

A nyní již přikročíme ke konstrukci. Námi rýsovaný lichoběžník má být rovnoramenný. Podíváme se tedy na vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku ještě podrobněji. =114° =114° = = =66° =66°

A nyní již přikročíme ke konstrukci. Námi rýsovaný lichoběžník má být rovnoramenný. Podíváme se tedy na vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku ještě podrobněji. Mohli bychom říci, že bod B je obrazem bodu A v osové souměrnosti dané osou o a naopak, což znamená, že body A a B mají od osy o stejnou vzdálenost. Co bychom mohli na základě uvedeného říci o rovnoramenném lichoběžníku z pohledu souměrnosti geometrických útvarů? Rovnoramenný lichoběžník je osově souměrný podle osy základen. ac b=d = = Obdobně totéž platí i pro body C a D, jinými slovy i ony mají od osy o stejnou vzdálenost. Toho využijeme při konstrukci.

Příklad Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li: a = 8 cm, b = 5 cm, c = 4 cm. Náčrt: Jak již víme ke zkonstruování lichoběžníku potřebujeme znát minimálně čtyři údaje. Mohlo by se tedy zdát, že nám v zadání jeden údaj chybí. Ve skutečnosti je však ukryt ve slově rovnoramenný, což znamená, že známe i velikost strany d, jež je stejně dlouhá jako strana b.

Příklad Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li: a = 8 cm, b = 5 cm, c = 4 cm. Rozbor: Konstrukci zahájíme stranou a o velikosti 8 cm. Dále budeme „hledat“ body C a D, o kterých víme, že jsou stejně daleko od osy lichoběžníku. Konkrétně vzhledem k délce strany c mají od osy vzdálenost 2 cm. Co je tedy množinou bodů, které mají od osy danou vzdálenost? q p Jsou to rovnoběžky s osou o ve vzdálenosti 2 cm od osy o.

s poloměrem daným stranou b, tzn. kružnice Příklad Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li: a = 8 cm, b = 5 cm, c = 4 cm. Rozbor: Bod C má ještě jednu vlastnost. Jeho vzdálenost od bodu B je 5 cm. Co je množinou bodů, které mají od daného bodu danou vzdálenost? To znamená, co je množinou bodů, jejichž vzdálenost od bodu B je rovna velikosti strany b, tzn. 5 cm? q p Průnikem obou množin bodů splňujících vlastnosti bodu C je právě onen námi hledaný bod C. k Je to kružnice s poloměrem daným stranou b, tzn. kružnice k(B; 5 cm).

s poloměrem daným stranou d, tzn. kružnice Příklad Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li: a = 8 cm, b = 5 cm, c = 4 cm. Rozbor: Obdobně i bod D má také ještě jednu vlastnost. Jeho vzdálenost od bodu A je 5 cm. Co je množinou bodů, které mají od daného bodu danou vzdálenost? To znamená, co je množinou bodů, jejichž vzdálenost od bodu A je rovna velikosti strany d, tzn. 5 cm? q p k l Průnikem obou množin bodů splňujících vlastnosti bodu D je právě onen námi hledaný bod D. Je to kružnice s poloměrem daným stranou d, tzn. kružnice k(A; 5 cm).

Příklad Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li: a = 8 cm, b = 5 cm, c = 4 cm. Rozbor: Na závěr už zbývá jen všechny čtyři body, vrcholy lichoběžníku, spojit. q p k l

Zápis a konstrukce 1. AB; AB = a = 8 cm 5. C; C  p  k 2. o; o je osa úsečky AB 6. l; l(A; d = 5 cm) 3. p, q; po, qo, p,o = q,o = 1/2c = 2 cm 7. D; D  q  l 4. k; k(B; b = 5 cm) 8. Lichoběžník ABCD q o p l k D C A X S Y B

Výsledný lichoběžník Úloha má jedno řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem D) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a lichoběžník vytáhneme silněji. A takto vypadá výsledek.

Příklady k procvičení Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD (ABCD), jestliže a = 9 cm, c = 60 mm, d = 45 mm. Pozor na jednotky.

Příklady k procvičení Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD (ABCD), jestliže a = 3 cm, c = 70 mm, b = 60 mm.

Příklady k procvičení Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD (BCDA), jestliže b = 8 cm, d = 2 cm, a = 7 cm.

Konstrukce rovnoramenného lichoběžníku Zapamatuj si! Při konstrukcích rovnoramenných lichoběžníků s výhodou využíváme souměrnosti tohoto lichoběžníku podle osy jeho základen.