Základy infinitezimálního počtu Derivace funkce v bodě

Derivace funkce v bodě V kapitole o užití limity funkce jsme se mimo jiné zabývali tečnou grafu funkce v daném bodě. Tečnou grafu funkce nazýváme přímku, jejíž směrnice kt = tg α je rovna lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 . Tato limita má velký význam i pro další aplikace a proto se pro ni zavádí speciální název derivace funkce v bodě x0. Zapisujeme 𝑓 ′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 Mějme funkci f definovanou v jistém okolí bodu x0. Existuje-li lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 nazýváme ji derivací funkce f v bodě x0.

Derivace funkce v bodě Příklad: Vypočtěte derivaci funkce f = x2 v bodě x0  R a v bodě x = 3. 𝑓 ′ 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥 2 − 𝑥 0 2 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 𝑥+ 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 = 𝑥 0 + 𝑥 0 =2 𝑥 0 𝑓 ′ 3 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓(3) 𝑥−3 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥 2 − 3 2 𝑥−3 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑥−3 𝑥+3 𝑥−3 =3+3=6 Nemáme-li na mysli derivaci v konkrétním čísle x0  R, pak vyjadřujeme derivaci v libovolném bodě x a pro f = x2 píšeme f‘(x) = 2x . Známe limitu v bodě, v intervalu, jednostrannou, vlastní i nevlastní, pak existuje i derivace v bodě, v intervalu, jednostranná, vlastní i nevlastní. My se ve středoškolské matematice budeme zabývat pouze vlastní derivací. Rozdíl mezi vlastní a nevlastní derivací si ukážeme na příkladu. Příklad:

Derivace funkce v bodě Příklad: Vypočtěte derivaci funkce f a g v bodě x0 = 0, jestliže f(x) = x3 a g(x) = 3 𝑥 𝑓 ′ 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→0 𝑥 3 − 0 3 𝑥−0 = lim 𝑥→0 𝑥 3 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑥 2 =0  směrnice tečny v bodě x = 0 je tg  = 0   = 0° a rovnice tečny grafu funkce f je y = 0, tedy osa x. 𝑔 ′ 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 = lim 𝑥→ 𝑥 0 3 𝑥 −0 𝑥−0 = lim 𝑥→0 3 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→0 1 3 𝑥 2 =∞  směrnice tečny grafu funkce neexistuje a funkce má v bodě x = 0 nevlastní derivaci +∞. Pro spojitost funkce v bodě platí věta: Podobně jako jsme definovali limitu funkce v intervalu, definujeme i derivaci funkce: Příklad: Má-li funkce f v bodě x0 derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Funkce f má v intervalu (a ; b )derivaci jestliže má derivaci v každém bodě x (a ; b )

Derivace funkce v intervalu A stejně tak definujeme i derivaci funkce zleva a zprava: Teď již můžeme definovat derivaci funkce v uzavřeném intervalu. Definici derivace funkce si procvičíme v následujícím cvičení. Mějme funkci f definovanou v jistém okolí bodu x0. Existuje-li lim 𝑥→ 𝑥 0 − 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 , nazýváme ji derivací funkce f v bodě x0 zleva, a existuje-li lim 𝑥→ 𝑥 0 + 𝑓 𝑥 −𝑓( 𝑥 0 ) 𝑥− 𝑥 0 , nazýváme ji derivací funkce f v bodě x0 zprava. Funkce f má v intervalu a ; b  derivaci jestliže má derivaci v každém bodě x (a ; b ) a v bodě a má derivaci zprava a v bodě b derivaci zleva.

Derivace funkce v bodě cvičení Na základě definice derivace funkce v bodě vypočtěte derivace funkcí – vzor 4x0^3 𝑓 𝑥 =3𝑥 𝑓 𝑥 =−3𝑥+2 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −1 𝑓 𝑥 =1− 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +𝑥+1 𝑓 𝑥 =𝑥+ 1 𝑥

Derivace funkce shrnutí Připomeneme si nové pojmy: V příští kapitole se naučíme derivovat elementární funkce.

Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát