Grafy kvadratických funkcí Funkce Grafy kvadratických funkcí

kde proměnná x je argument funkce. Funkce – definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenkem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmenka, např. g, h… Obvykle ji zapisujeme ve tvaru: y = f(x), např. y = x2 nebo ve tvaru: f: y = x2 kde proměnná x je argument funkce.

Opakování – zápis funkce f: y = x2 kde proměnná x je argument funkce neboli nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor. Značí se: D(f)

Opakování – obor hodnot Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Jinak řečeno – výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme y nebo f(x). Hodnota závisle proměnné je pro danou funkci jednoznačně určena hodnotou argumentu x - proto „závisle“ proměnná. Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). Značí se: H(f)

Opakování – zadání, zápis funkce 1) Předpisem (vzorcem, rovnicí) 2) Tabulkou 3) Grafem Nyní se budeme zabývat tím, jak ze zadání příkladu funkce pomocí rovnice sestavíme tabulku a následně zkonstruujeme graf. f: y = x2 x -2 -1 1 2 y 4

Graf funkce [x;y] = [-2;4] Sestrojte graf funkce f: y = x2, pro xR. Grafem funkcí (grafickým znázorněním průběhu funkcí) jsou obvykle křivky. Dle typu funkce to může být přímka, parabola, hyperbola či jiná křivka nebo jen její část. Zápis zadané funkce Definiční obor funkce Abychom křivku co nejlépe „vykreslili“, je dobré znát co nejvíce bodů, které na ni leží. K jejich přehlednému zápisu nám slouží tabulka. Výjimkou je funkce lineární, jejímž grafem je přímka. Jak víme, k sestrojení přímky nám stačí body dva. My zatím ale nedokážeme ze zápisu funkce poznat její typ, a tak budeme prozatím zjišťovat vždy více bodů. Tabulku sestavíme dosazením nezávisle proměnné, která je prvkem definičního oboru do rovnice zadané funkce a následným výpočtem závisle proměnné funkční hodnoty. Tyto dvě sobě odpovídající hodnoty pak tvoří uspořádanou dvojici souřadnic bodu ležícího na grafu zadané funkce. Tak např. pro x = -2: y = (-2)2 = 4. Uspořádané dvojice zapisujeme: [x;y] = [-2;4]

Graf funkce [x;y] = [-2;4] x = -1: y = (-1)2 = 1 x = 0: y = 02 = 0 Sestrojte graf funkce f: y = x2, pro xR. Tak např. pro x = -2: y = (-2)2 = 4. Uspořádané dvojice zapisujeme: [x;y] = [-2;4] x = -1: y = (-1)2 = 1 x = 0: y = 02 = 0 x = 1: y = 12 = 1 x = 2: y = 22 = 4 x -2 -1 1 2 y 4 x -2 y 4

Graf funkce Sestrojte graf funkce f: y = x2, pro xR. x -2 -1 1 2 y 4

Graf funkce Sestrojte graf funkce f: y = x2, pro xR. x -2 -1 1 2 y 4 1 2 y 4 x -2 -1 1 2 -3 3 y 4 x -2 -1 1 2 y 4 x -2 -1 1 2 -3 3 y 4 9 Jednotlivé body bychom měli nyní „spojitě spojit“. Na to, abychom v tomto případě bez problémů „vykroužili“ tvar křivky (pokud ještě nevíme, o jakou křivku jde), máme prozatím málo bodů. Tak si ještě nějaké dopočítáme.

Graf funkce Sestrojte graf funkce f: y = x2, pro xR. x -2 -1 1 2 -3 3 1 2 -3 3 y 4 9 Nyní se pokusíme body co „nejpřesněji“ spojit. Pozor – nemůžeme spojovat lomeně od bodu k bodu, ale musíme spojitě vykroužit krásnou křivku.

Graf funkce Sestrojte graf funkce f: y = x2, pro xR. x -2 -1 1 2 -3 3 1 2 -3 3 y 4 9 Grafem funkce je křivka, které říkáme parabola. Funkci, jejímž grafem je parabola, říkáme kvadratická funkce.

Graf funkce Sestrojte graf funkce f: y = x2, pro xR. x -2 -1 1 2 -3 3 y 4 9 Kvadratická funkce je taková funkce, která má v zápise argument x ve „druhé mocnině“, tzn. jako základ mocniny s exponentem rovnajícím se číslu 2. x2 Mimo to se může v zápise objevit ještě i další argument x jako základ mocniny s prvním nebo nulovým exponentem. x1 = x; x0 = 1 Jakýkoliv jiný exponent však znamená, že se nejedná o funkci kvadratickou!

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = x2 – 3, pro xR.

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = x2 – 3, pro xR. x -3 -2 -1 1 2 3 y 6

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = 2 – x2, pro xR.

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = 2 – x2, pro xR. x -3 -2 -1 1 2 3 y -7

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = 2x2 – 9, pro xR.

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = 2x2 – 9, pro xR. x -3 -2 -1 1 2 3 y 9 -7 -9

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = 0,25x2 – 1, pro xR.

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = 0,25x2 – 1, pro xR. x -6 -4 -2 2 4 6 y 8 3 -1

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = 0,5x2 + 2x – 1, pro xR.

Příklady – Grafy kvadratických funkcí Sestrojte graf funkce f: y = 0,5x2 + 2x – 1, pro xR. x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 y 5 1,5 -2,5