3 Elektromagnetické pole 3.6 Maxwellovy rovnice 3.2 Elektrostatické pole v dielektrikách 3.3 Magnetické pole v magnetikách Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

3.2 Elektrostatické pole v dielektrikách 3.2.1 Popis pole rotace, translace 3.2 Elektrostatické pole v dielektrikách 3.2.1 Popis pole dielektrikum (bez volných náb.) polarizace hustota polarizačního (vázaného) náboje sP rel. permitivita er vektor polarizace sP 𝐸 𝐸 = 𝐸 0 𝜀 𝑟 𝑃= 𝜀 0 𝜀 𝑟 −1 𝐸 𝑃 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑉 …tabule 𝑃 = 𝜀 0 𝜒 𝑒 𝐸 𝑑 𝑝 … el. dipólový moment objemu 𝑑𝑉 ce el. susceptibilita

3.2 Elektrostatické pole v dielektrikách 𝑃 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 −1 𝐸 3.2 Elektrostatické pole v dielektrikách 3.2.2 Gaussova věta v dielektrikách (elektrická indukce 𝐷 ) tabule indukce elektrického pole 𝐷 = 𝜀 0 𝐸 + 𝑃 𝐷 =C m −2 𝑆 𝐷 ∙𝑑 𝑆 =𝑄 Gaussova věta pro el. pole v dielektriku 𝜎 𝑃 Tok vektoru indukce uzavřenou plochou je roven volnému náboji uzavřenému uvnitř plochy 𝐷 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 hranol pro různé e různé E, stejné D Δ𝑆 𝐸 = 𝐸 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝑃 = 𝑃 𝜀 0 𝐸 = 𝐸 0 + 𝐸 𝑃 𝐷 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

3.3 Magnetické pole v magnetikách magnetikum 3.3.1 Magnetismus elektronu v atomu „proud. smyčka“ - orbitální magnetický moment spinový magnetický moment elektronu 𝑚 𝑚 =− 𝑒 2 𝑚 𝑒 𝐿 moment hybnosti …gyromagnetický poměr orbitální 𝑒 2 𝑚 𝑒 spin S ≡ vnitřní moment hybnosti 𝑚 𝑠𝑝𝑖𝑛 =− 𝑒 𝑚 𝑒 𝑆 …gyromagnetický poměr spinový 𝑒 𝑚 𝑒 Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

3.3 Magnetické pole v magnetikách Magnetický moment atomu vekt. součet mag. momentů všech elektronů (+ jádra) D. cv. Proč ytterbium Yb3+ má tak velký mag. moment? Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

3.3 Magnetické pole v magnetikách 3.3.2 Magnetika (slabá) magnetizace 𝑀 : Analogie: el. pole mag. pole myšlenkově dielektrikum rel. permeabilita mr : 𝐵= 𝜇 𝑟 𝐵 0 magnetizace ≡ mag. moment jedn. objemu 𝑀 = 𝑑 𝑚 𝑑𝑉 𝑑 𝑚 ...mag. moment obj. 𝑑𝑉 𝐸 = 𝐸 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝑃 = 𝑃 𝜀 0 𝐷 =𝜀 𝐸 𝜀= 𝜀 𝑟 𝜀 0 𝐸 = 𝐸 0 + 𝐸 𝑃 elektrická indukce 𝐻 = 𝐵 𝜇 𝜇=𝜇 𝑟 𝜇 0 intenzita magnetického pole 𝐵 = 𝐵 0 + 𝐵 𝑚 𝐵 = 𝜇 𝑟 𝐵 0 𝐵 𝑚 = 𝜇 0 𝑀

v integrálním tvaru v prostředí, 𝜀 0 → 𝜀, 𝜇 0 → 𝜇 3.6 Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru v prostředí, 𝜀 0 → 𝜀, 𝜇 0 → 𝜇 𝓁 𝐵 ∙𝑑 𝓁 =𝜇 𝑖 𝑅 +𝜀 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆 zdroj el. pole je náboj mag. pole není vyvoláno mag. monopólem (nezřídlové) zdroj mag. pole je proud a čas. změna el. pole indukované el. pole (nekonzervativní) vyvolané proměnným mag. polem 𝓁 𝐸 ∙𝑑 𝓁 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 hlavní Maxwellovy rovnice 𝑆 𝐸 ∙𝑑 𝑆 = 𝑄 𝑅 𝜀 ucelený souhrn vztahů popisující elektromagnetické pole 𝑆 𝐵 ∙𝑑 𝑆 =0 vedlejší Maxwellovy rovnice Ohmův zák. v dif. tvaru 𝜎 … měr. vodivost 𝐷 =𝜀 𝐸 = 𝜀 0 𝜀 𝑟 𝐸 𝐽 =𝜎 𝐸 Lorentzova síla - síla na náboj 𝑄 o rychlosti 𝑣 v elektromag. poli) 𝐻 = 1 𝜇 𝐵 = 1 𝜇 0 𝜇 𝑟 𝐵 𝐹 =𝑄 𝐸 + 𝑣 × 𝐵 Cíl: převést do vhodného tvaru, z něhož vyplývá existence elektromag. vlnění

8 Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

Vektorové diferenciální operátory Operátor je předpis, který funkci z určitého oboru funkcí přiřazuje jinou funkci, je to „funkce na množině funkcí“ skalární pole u (x,y,z) gradient grad grad u je vektor, který definujeme ve skalárním poli u operátor, tzv. „nabla“, je předpis: totální diferenciál postupujeme po ekvipotenciální ploše, pak u se nemění → grad 𝑢= 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑘 = 𝛻 𝑢 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 𝑑𝑢= 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑𝑧=grad 𝑢∙𝑑 𝑟 𝑑𝑢=0, grad 𝑢∙𝑑 𝑟 =0 grad 𝑢⊥𝑑 𝑟 Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

gradient grad grad 𝑢 udává směr, ve kterém se v prostoru skalární veličina u nejvíce mění Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

Vektorové diferenciální operátory divergence div div: tok vekt. veličiny uzavř. plochou vztažený na jedn. objem div je skalár, který je definován na vektorovém poli 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 najdeme operátor, tj. předpis tabule vekt. pole 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 div 𝑣 = lim Δ𝑉→0 1 Δ𝑉 Δ𝑆 𝑣 ∙𝑑 𝑆 div 𝑣 = 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑧 div 𝑣 = 𝛻 ∙ 𝑣 = 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑧 elementární tok elemen. uzavř. plochou dS : tok konečnou uzavřenou plochou S: div 𝑣 𝑑𝑉 𝑆 𝑣 ∙𝑑 𝑆 = 𝑉 div 𝑣 ∙𝑑𝑉 Gausssova věta

Vektorové diferenciální operátory rotace rot rot je vektor, který je definován na vektorovém poli 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 najdeme vztah pro operátor tabule pro křivku ℓ ležící v rov. xy vekt. pole 𝑣 𝑥,𝑦,𝑧 rot 𝑣 ∙ 𝑛 0 = lim Δ𝑆→0 1 Δ𝑆 𝓁 𝑣 ∙𝑑 ℓ = (rot 𝑣 ) 𝑧 Pro zvolený směr plochy ohraničené křivkou: v limitě DS→0: 𝓁 𝑣 ∙𝑑 𝑟 = 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑦 ΔxΔy rot 𝑣 𝑧 = 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑦 všechny složky: rot 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝑧 = 𝛻 × 𝑣 Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

Vektorové diferenciální operátory rotace rot elementární cirkulace podél elementární uzavřené křivky: Výsledná cirkulace podél křivky konečné velikosti – „součet“ el. cirkulací: Některé vztahy pro diferenciální operátory: rot 𝑣 ∙ 𝑛 0 = lim Δ𝑆→0 1 Δ𝑆 𝓁 𝑣 ∙𝑑 𝑟 rot 𝑣 ∙𝑑 𝑆 𝓁 𝑣 ∙𝑑 𝑟 = 𝑆 rot 𝑣 ∙𝑑 𝑆 Stokesova věta 𝛻 ∙ 𝛻 𝑢= 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 =△𝑢 D … Laplaceův operátor na skalární pole △ 𝑣 = 𝑖 △ 𝑣 𝑥 + 𝑗 △ 𝑣 𝑦 + 𝑘 △ 𝑣 𝑧 aplikace Laplaceova operátoru na vekt. pole – trojnásobná aplikace na všechny tři složky rot rot 𝑣 =grad div 𝑣 −Δ 𝑣

3.7 Elektromagnetické vlnění Elmag. vlnění je formou elmag. pole (Maxwell. rov.) Maxwell. rov. ve vakuu: 𝑆 𝑣 ∙𝑑 𝑆 = 𝑉 div 𝑣 𝑑𝑉 Postup: 1. Ukážeme, že vektory 𝐸 a 𝐵 splňují vlnovou rovnici △𝑢= 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 2. Stanovíme rychlost šíření elektromagnetického vlnění 3. Ukážeme (jen kvalitat.), že 𝐸 a 𝐵 jsou závislé vln. rov. – seminář 𝓁 𝑣 ∙𝑑 𝑟 = 𝑆 rot 𝑣 ∙𝑑 𝑆 prostř. bez makroskop. nábojů a proudů diferenciální tvar 𝓁 𝐵 ∙𝑑 𝓁 = 𝜇 0 𝑖 𝑅 + 𝜀 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆 𝓁 𝐵 ∙𝑑 𝓁 = 𝜇 0 𝜀 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐸 ∙ 𝑑 𝑆 rot 𝐵 = 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 𝓁 𝐸 ∙𝑑 𝓁 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 𝓁 𝐸 ∙𝑑 𝓁 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 rot 𝐸 =− 𝜕 𝐵 𝜕𝑡 𝑆 𝐸 ∙𝑑 𝑆 = 𝑄 𝑅 𝜀 0 𝑆 𝐸 ∙𝑑 𝑆 =0 div 𝐸 =0 𝑆 𝐵 ∙𝑑 𝑆 =0 𝑆 𝐵 ∙𝑑 𝑆 =0 div 𝐵 =0 Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 cos 𝜔 𝑡− 𝑥 𝑣 𝑢 𝑥=0,𝑡 =𝐴 cos (𝜔𝑡) Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

Odvození vlnové rovnice tabule : rot (1) použijeme (4) a (2) △ 𝑢 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 Odvození vlnové rovnice tabule : rot (1) použijeme (4) a (2) diferenciální tvar rot 𝐵 = 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 (1) rot 𝐸 =− 𝜕 𝐵 𝜕𝑡 𝐵 splňuje vlnovou rovnici △ 𝐵 = 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 2 𝐵 𝜕 𝑡 2 (2) div 𝐸 =0 (3) rot (2) použijeme (3) a (1) div 𝐵 =0 (4) △ 𝐸 = 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 2 𝐸 𝜕 𝑡 2 𝐸 a splňuje vlnovou rovnici rot rot 𝑣 =grad div 𝑣 −Δ 𝑣 𝑣=𝑐= 1 𝜇 0 𝜀 0 = 1 4𝜋∙ 10 −7 ∙8,85∙ 10 −12 m s −1 =3∙ 10 8 m s −1 Srovnání s vlnovou rovnicí Elektromagnetické vlnění se šíří rychlostí světla Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

Odvození vlnové rovnice tabule : rot (1) použijeme (4) a (2) diferenciální tvar △ 𝑢 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 rot 𝐵 = 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 (1) rot 𝐸 =− 𝜕 𝐵 𝜕𝑡 𝐵 splňuje vlnovou rovnici △ 𝐵 = 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 2 𝐵 𝜕 𝑡 2 (2) div 𝐸 =0 (3) rot (2) použijeme (3) a (1) div 𝐵 =0 (4) △ 𝐸 = 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 2 𝐸 𝜕 𝑡 2 𝐸 a splňuje vlnovou rovnici rot rot 𝑣 =grad div 𝑣 −Δ 𝑣 𝑣=𝑐= 1 𝜇 0 𝜀 0 = 1 4𝜋∙ 10 −7 ∙8,85∙ 10 −12 m s −1 =3∙ 10 8 m s −1 Srovnání s vlnovou rovnicí Elektromagnetické vlnění se šíří rychlostí světla Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

průběžný test ve středu 25. října na přednášce (6. týden semestru) Pátek 8.12. 2017 posluchárna B II od 14.00  - 12. týden semestru  nebo Pátek 15.12. 2017 posluchárna A II od 13.00 – 13. týden semestru   Fyzika II, 2018-19, přednáška 3

Úvod do kvantové fyziky 3.7 Elektromagnetické vlnění Úvod do kvantové fyziky Fyzika II, 2018-19, přednáška 3