Rovnice s neznámou ve jmenovateli rovnice - názvosloví Stejní jmenovatelé Různí jmenovatelé výklad výklad cvičení 1 cvičení 3 cvičení 2 cvičení 4 Počet řešení rovnice cvičení 5 cvičení 6 výklad cvičení 7 Autor materiálu: Mgr. Martin Holý Další šíření materiálu je možné pouze se souhlasem autora

Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů Rovnice s jednou neznámou (proměnnou) je zápis rovnosti dvou výrazů, které obsahují 1 neznámou (proměnnou). x + 2 Levá strana rovnice L 6 Pravá strana rovnice P = Řešit rovnici s jednou neznámou znamená hledat takové číslo, po jehož dosazení do rovnice bude platit rovnost. Takovému číslu říkáme kořen rovnice. Kořenem rovnice x + 2 = 6 je číslo 4, tedy x = 4

Rovnice Řešit rovnici znamená provádět tzv. ekvivalentní úpravy, které vedou k nalezení kořene rovnice. Ekvivalentní úprava rovnice je úprava, při které se nemění kořen (řešení) rovnice. Jinými slovy: Změní se matematický zápis rovnice, nikoli však rovnost stran a řešení.

Ekvivalentní úpravy Rovnice 1. Kořen rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo (výraz). 2. Kořen rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo (výraz). 3. Kořen rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly. 4. Kořen rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly. 5. Kořen rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice.

Počet řešení rovnice Při řešení rovnic mohou nastat 3 případy: 1) Rovnice má jedno řešení – jeden kořen x + 5 = 8 / -5 x = 3 2) Rovnice má nekonečně mnoho řešení – kořenem je každé reálné číslo 2x + 4 = 2.(x + 2) 2x + 4 = 2x + 4 / -2x -4 0x = 0 Ve zkoušce dosadíme za x libovolné číslo 3) Rovnice nemá řešení – kořen rovnice neexistuje 3x - 4 = 3x + 1 / -3x +4 0x = 5 nebo kořen nesplňuje podmínku Zkoušku neděláme

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé Př. Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 6x−2 x+1 = 3x−1 x+1 +2 / . (x + 1) 𝐱≠−𝟏 6x−2 x+1 . x+1 1 = 3x−1 x+1 . x+1 1 +2.(x+1) 6x – 2 = 3x – 1 + 2x + 2 6x – 2 = 5x + 1 / -5x + 2 x = 3 Zk. L = 6.3−2 3+1 = 16 4 =𝟒 P = 3.3−1 3+1 +2=𝟒 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5x−3 x =2 a) / .x 𝐱≠𝟎 5x−3 x . x 1 =2. x 5x – 3 = 2x / -2x + 3 3x = 3 / :3 x = 1 Zk. L = 5.1−3 1 = 2 1 =2 P = 2 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5x−6 2x =1 b) / .2x 𝐱≠𝟎 5x−6 2x . 2x 1 =1. 2x 5x – 6 = 2x / -2x + 6 3x = 6 / :3 x = 2 Zk. L = 5.2−6 2.2 = 4 4 =1 P = 1 L = P

x−4 x−2 . x−2 1 =3. (x – 2) x – 4 = 3x – 6 – 2x = – 2 x = 1 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku x−4 x−2 =3 c) / .(x – 2) 𝐱≠𝟐 x−4 x−2 . x−2 1 =3. (x – 2) x – 4 = 3x – 6 / -3x + 4 – 2x = – 2 / :(-2) x = 1 Zk. L = 1−4 1−2 = −3 −1 =3 P = 3 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 7x 1+2x =3 𝐱≠− 𝟏 𝟐 d) / .(1 + 2x) 7x 1+2x . 1+2x 1 =3. (1 + 2x) 7x = 3 + 6x / -6x x = 3 Zk. L = 7.3 1+2.3 = 21 7 =3 P = 3 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku y+1 y−1 =2 e) / .(y - 1) 𝐲≠𝟏 y+1 y−1 . y−1 1 =2.(y−1) y + 1 = 2y − 2 / -2y - 1 -y = -3 / :(-1) y = 3 Zk. L = 3+1 3−1 = 4 2 =2 P = 2 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2x−3 3x = 4x+5 3x f) / .3x 𝐱≠𝟎 2x−3 3x . 3x 1 = 4x+5 3x . 3x 1 2x – 3 = 4x +5 / -2x + 3 -2x = 8 / :(-2) x = -4 Zk. L = 2. −4 −3 3.(−4) = −11 −12 = 𝟏𝟏 𝟏𝟐 L = P P = 4. −4 +5 3.(−4) = −11 −12 = 𝟏𝟏 𝟏𝟐

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 12 a+6 =−3 g) / .(a + 6) 𝐚≠−𝟔 12 y−1 . a+6 1 =−3.(a+6) 12 = − 3a −18 / +3a - 12 3a = − 30 / :3 a = -10 Zk. L = 12 −10+6 = 12 −4 =−3 P = −3 L = P

!!! 5x + 4 = 4 5x = 0 x = 0 Rovnice nemá řešení Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5x+4 x = 4 x h) / .x 𝐱≠𝟎 !!! 5x+4 x . x 1 = 4 x . x 1 5x + 4 = 4 / -4 5x = 0 / :5 x = 0 Rovnice nemá řešení

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3x−2 2x−4 = x+10 2x−4 i) / .(2x - 4) 𝐱≠𝟐 3x−2 2x−4 . 2x−4 1 = x+10 2x−4 . 2x−4 1 3x – 2 = x +10 / -x + 2 2x = 12 / :2 x = 6 Zk. L = 3.6−2 2.6−4 = 16 8 =2 P = 6+10 2.6−4 = 16 8 =2 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 1) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3x+9 x−1 =0 j) / .(x - 1) 𝐱≠𝟏 3x+9 x−1 . x−1 1 =0.(x−1) 3x + 9 = 0 / -9 3x = -9 / :3 x = -3 Zk. L = 3. −3 +9 −3−1 = 0 −4 =0 P = 0 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5a−4 a+5 = 2−a a+5 +2 a) / .(a + 5) 𝐚≠−𝟓 5a−4 a+5 . a+5 1 = 2−a a+5 . a+5 1 +2.(a+5) 5a – 4 = 2 − a + 2a + 10 5a – 4 = a + 12 / -a + 4 4a = 16 / :4 a = 4 Zk. L = 5.4−4 4+5 = 16 9 P = 2−4 4+5 +2= −2 9 + 18 9 = 16 9 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2y−3 y−3 = 3y−4 y−3 −3 b) / .(y - 3) 𝐲≠𝟑 2y−3 y−3 . y−3 1 = 3y−4 y−3 . y−3 1 −3.(y−3) 2y – 3 = 3y − 4 – 3y + 9 2y – 3 = 5 / + 3 2y = 8 / :2 y = 4 Zk. L = 2.4−3 4−3 = 5 1 =𝟓 P = 3.4−4 4−3 −3= 8 1 −3=𝟓 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2x−1 x+2 +1= 6−2x x+2 c) / .(x + 2) 𝐱≠−𝟐 2x−1 x+2 . x+2 1 +1.(x+2)= 6−2x x+2 . x+2 1 2x – 1+ x + 2 = 6 − 2x 3x + 1 = 6 − 2x / +2x - 1 5x = 5 / :5 x = 1 Zk. L = 2.1−1 1+2 +1=𝟏 𝟏 𝟑 P = 6−2.1 1+2 = 4 3 =𝟏 𝟏 𝟑 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5x−3 x = x−1 x +2 d) / .x 𝐱≠𝟎 5x−3 x . x 1 = x−1 x . x 1 +2.x 5x – 3 = x − 1 + 2x 5x – 3 = 3x − 1 / -3x + 3 2x = 2 / :2 x = 1 Zk. L = 5.1−3 1 = 2 1 =𝟐 P = 1−1 1 +2=0+2=𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3a−4 5a + 4a−2 5a =1 e) / .5a 𝐚≠𝟎 3a−4 5a . 5a 1 + 4a−2 5a . 5a 1 =1.5a 3a − 4 + 4a – 2 = 5a 7a – 6 = 5a / -5a + 6 2a = 6 / :2 a = 3 Zk. L = 3.3−4 5.3 + 4.3−2 5.3 = 5 15 + 10 15 = 15 15 =𝟏 P = 𝟏 L = P

!!! x + 1 = 1 – 3x 4x = 0 x = 0 Rovnice nemá řešení Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 1+ 1 x = 1−3x x / .x !!! f) 𝐱≠𝟎 1.x+ 1 x . x. 1 = 1−3x x . x 1 x + 1 = 1 – 3x / +3x - 1 4x = 0 / :4 x = 0 Rovnice nemá řešení

3x − 1 = 3x + 6 – (2x − 3) 3x − 1 = 3x + 6 – 2x + 3 3x − 1 = x + 9 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3x−1 x+2 =3− 2x−3 x+2 g) / .(x + 2) 𝐱≠−𝟐 3x−1 x+2 . x+2 1 =3.(x+2)− 2x−3 x+2 . x+2 1 3x − 1 = 3x + 6 – (2x − 3) 3x − 1 = 3x + 6 – 2x + 3 3x − 1 = x + 9 / -x + 1 2x = 10 / :2 x = 5 Zk. L = 3.5−1 5+2 = 14 7 =𝟐 P = 3− 2.5−3 5+2 =𝟐 L = P

2x + 1 − (4x − 3) = x + 1 2x + 1 − 4x + 3 = x + 1 − 2x + 4 = x + 1 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2x+1 x+1 − 4x−3 x+1 =1 / .(x + 1) h) 𝐱≠−𝟏 2x+1 x+1 . x+1 1 − 4x−3 x+1 . x+1 1 =1.(x+1) 2x + 1 − (4x − 3) = x + 1 2x + 1 − 4x + 3 = x + 1 − 2x + 4 = x + 1 / -x − 4 − 3x = − 3 / :(-3) x = 1 Zk. L = 2.1+1 1+1 − 4.1−3 1+1 = 3 2 − 1 2 = 2 2 =𝟏 P = 𝟏 L = P

!!! 2x + 4 − (3x + 2)= 3x − 6 2x + 4 − 3x − 2= 3x − 6 − x + 2 = 3x − 6 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2x+4 x−2 − 3x+2 x−2 =3 !!! i) / .(x – 2) 𝐱≠𝟐 2x+4 x−2 . x−2 1 − 3x+2 x−2 . x−2 1 =3.(x−2) 2x + 4 − (3x + 2)= 3x − 6 2x + 4 − 3x − 2= 3x − 6 − x + 2 = 3x − 6 / -3x − 2 −4x = − 8 / :(-4) x = 2 Rovnice nemá řešení

2y − 6 – (y + 1) = 5 − y 2y − 6 – y − 1 = 5 − y y − 7 = 5 − y 2y = 12 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - stejní jmenovatelé 2) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2− y+1 y−3 = 5−y y−3 j) / .(y - 3) 𝐲≠𝟑 2.(y−3)− y+1 y−3 . y−3 1 = 5−y y−3 . y−3 1 2y − 6 – (y + 1) = 5 − y 2y − 6 – y − 1 = 5 − y y − 7 = 5 − y / +y + 7 2y = 12 / :2 y= 6 Zk. L = 2− 6+1 6−3 = 6 3 − 7 3 =− 𝟏 𝟑 P = 5−6 6−3 =− 𝟏 𝟑 L = P

Jak určíme společného jmenovatele Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé Př. Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku Postup: 2x−1 2x = 3x+2 3 −x / . 6x 1) Určíme podmínky 2) Odstraníme lomené výrazy 3 2x 6x 1 . 2x−1 2x = 6x 1 . 3x+2 3 −6x.x Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem lomených výrazů 6x - 3 = 6x2 + 4x - 6x2 Jak určíme společného jmenovatele 6x - 3 = 4x 3) Dořešíme rovnici / -4x + 3 𝐱≠𝟎 2x = 3 / :2 x = 𝟑 𝟐 Zk. L = 2. 3 2 −1 2. 3 2 = 𝟐 𝟑 L = P P = 3. 3 2 +2 3 − 3 2 = 9 2 +2 3 = 13 2 . 1 3 − 3 2 = 13 6 − 3 2 = 13−9 6 = 4 6 = 𝟐 𝟑

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé Př. Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3 x−1 = 1 x+1 / . (x – 1).(x + 1) 𝐱≠±𝟏 (x – 1).(x + 1) 1 . 3 x−1 = (x – 1).(x + 1) 1 . 1 x+1 3x + 3 = x - 1 / -x - 3 2x = -4 / :2 x = -𝟐 Zk. L = 3 −2−1 =−𝟏 L = P P = 1 −2+1 =−𝟏

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 3) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku x−1 3x = x+2 4x a) / .12x 𝐱≠𝟎 4 3 x−1 3x . 12x 1 = x+2 4x . 12x. 1 4x – 4 = 3x + 6 / - 3x + 4 x = 10 Zk. L = 10−1 3.10 = 9 30 = 𝟑 𝟏𝟎 L = P P = 10+2 4.10 = 12 40 = 𝟑 𝟏𝟎

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 3) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3 x = 1+2x 2x 𝐱≠𝟎 / .2x b) 2 3 x . 2x. 1 = 1+2x 2x . 2x 1 6 = 1 + 2x / - 2x - 6 -2x = -5 / :(-2) x = 𝟓 𝟐 P = 1+2. 5 2 2. 5 2 = 𝟔 𝟓 Zk. L = 3 5 2 = 3 1 . 2 5 = 𝟔 𝟓 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 3) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 7 x = 7 2−x / .x.(2 - x) 𝐱≠𝟎 𝐱≠𝟐 c) 7 x . x.(2 − x) 1 = 7 2−x . x.(2 − x) 1 / - 7x - 14 14 – 7x = 7x -14x = -14 / :(-14) x = 1 Zk. L = 7 1 =𝟕 P = 7 2−1 =𝟕 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 3) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2 x+4 = 3 x−1 d) / .(x + 4).(x - 1) 𝐱≠−𝟒 𝐱≠𝟏 2 x+4 . (x + 4).(x − 1) 1 = 3 x−1 . (x + 4).(x − 1) 1 2x - 2 = 3x + 12 / - 3x + 2 -x = 14 / :(-1) x = -14 P = 3 −14−1 = 3 −15 =− 𝟏 𝟓 Zk. L = 2 −14+4 = 2 −10 =− 𝟏 𝟓 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 3) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5 2x−9 = 4 x−6 e) / .(2x - 9).(x - 6) 𝐱≠ 𝟗 𝟐 𝐱≠𝟔 5 2x−9 . (2x − 9).(x − 6) 1 = 4 x−6 . (2x − 9).(x − 6) 1 5x - 30 = 8x - 36 / - 8x + 30 -3x = -6 / :(-3) x = 2 Zk. L = 5 2.2−9 = 5 −5 =−1 P = 4 2−6 = 4 −4 =−𝟏 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 3) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5 2x+1 − 7 3x =0 f) / .3x.(2x + 1) 𝐱≠− 𝟏 𝟐 𝐱≠𝟎 5 2x+1 . 3x.(2x + 1) 1 − 7 3x . 3x.(2x + 1) 1 =0 15x – 14x - 7 = 0 / +7 x = 7 Zk. L = 5 2.7+1 − 7 3.7 = 5 15 − 7 21 = 1 3 − 1 3 =𝟎 P = 𝟎 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 3) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 4 x+11 = 3 x+9 g) / .(x + 11).(x + 9) 𝐱≠−𝟏𝟏 𝐱≠−𝟗 4 x+11 . (x + 11).(x + 9) 1 = 3 x+9 . (x + 11).(x + 9) 1 4x + 36 = 3x + 33 / - 3x - 36 x = -3 Zk. L = 4 −3+11 = 4 8 = 𝟏 𝟐 L = P P = 3 −3+9 = 3 6 = 𝟏 𝟐

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 3) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku x−1 3x+2 + 5 2 =3 h) / .2.(3x + 2) 𝐱≠− 𝟐 𝟑 x−1 3x+2 . 2.(3x + 2) 1 + 5 2 . 2.(3x + 2) 1 =3.2.(3x + 2) 2x – 2 + 15x +10 = 18x + 12 17x +8 = 18x + 12 / - 18x - 8 -x = 4 / .(-1) x = -4 Zk. L = −4−1 3. −4 +2 + 5 2 = −5 −10 + 5 2 = 1 2 + 5 2 = 6 2 =𝟑 P = 𝟑 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 4) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2 x + 3 2 = 5 x a) / .2x 𝐱≠𝟎 2 x 2 2 x . 2x 1 + 3 2 . 2x 1 = 5 x . 2x 1 4 + 3x = 10 / - 4 3x = 6 / :3 x = 2 Zk. L = 2 2 + 3 2 = 𝟓 𝟐 P = 𝟓 𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 4) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5 x + 2 5x = 9 10 b) / .10x 𝐱≠𝟎 10 2 x 5 x . 10x 1 + 2 5x 10x 1 = 9 10 . 10x 1 50 + 4 = 9x 54 = 9x / :9 x = 6 Zk. L = 5 6 + 2 5.6 = 5 6 + 2 30 = 25+2 30 = 27 30 = 𝟗 𝟏𝟎 P = 𝟗 𝟏𝟎 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 4) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3 2x − 5 x + 7 3 =0 c) / .6x 𝐱≠𝟎 2x 3 6 3 2x . 6x 1 − 5 x 6x 1 + 7 3 . 6x 1 =0 9 – 30 + 14x = 0 / +21 14x = 21 / :14 𝐱= 𝟑 𝟐 Zk. L = 3 2. 3 2 − 5 3 2 + 7 3 = 3 3 − 10 3 + 7 3 = 3−10+7 3 = 𝟎 𝟑 =𝟎 P = 𝟎 L = P

13 = 13x x = 1 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 4) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 1 2x + 1 3x + 1 4x = 13 12 𝐱≠𝟎 d) / .12x 4 3 x 6 1 2x . 12x 1 + 1 3x 12x 1 + 1 4x . 12x 1 = 13 12 . 12x 1 13 = 13x / :13 x = 1 Zk. L = 1 2.1 + 1 3.1 + 1 4.1 = 1 2 + 1 3 + 1 4 = 6+4+3 12 = 𝟏𝟑 𝟏𝟐 P = 𝟏𝟑 𝟏𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 4) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 1 2x + 2 x + 3 5x − 11 20 =1 𝐱≠𝟎 e) / .20x 10 20 4 x 1 2x . 20x 1 + 2 x . 20x 1 + 3 5x . 20x 1 − 11 20 . 20x 1 =1.20x 10 + 40 + 12 - 11x = 20x / +11x 62 = 31x / :31 x = 2 Zk. L = 1 4 + 2 2 + 3 10 − 11 20 = 5+20+6−11 20 = 20 20 =𝟏 P = 𝟏 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 4) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 1 8x + 1 9x + 1 12x + 1 24x = 13 72 𝐱≠𝟎 f) / .72x 6 9 8 3 x 1 8x . 72x 1 + 1 9x . 72x 1 + 1 12x . 72x 1 + 1 24x . 72x 1 = 13 72 . 72x 1 9 + 8 + 6 + 3 = 13x 26 = 13x / :13 x = 2 Zk. L = 1 16 + 1 18 + 1 24 + 1 48 = 9+8+6+3 144 = 26 144 = 𝟏𝟑 𝟕𝟐 P = 𝟏𝟑 𝟕𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 4) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3 4x + 11 14x − 1 4 = 8 7x + 1 x + 5 14 g) / .28x 𝐱≠𝟎 7 2 7x 4 28 2x 3 4x . 28x 1 + 11 14x . 28x 1 − 1 4 . 28x 1 = 8 7x . 28x 1 + 1 x . 28x 1 + 5 14 . 28x 1 21 + 22 - 7x = 32 + 28 + 10x -7x + 43 = 10x + 60 / -10x - 43 -17x = 17 / :(-17) L = P x = -1 Zk. L = 3 −4 + 11 −14 − 1 4 =− 3 4 − 11 14 − 1 4 = −21−22−7 28 = −50 28 =− 𝟐𝟓 𝟏𝟒 P = 8 −7 + 1 −1 + 5 14 =− 8 7 − 1 1 + 5 14 = −16−14+5 14 =− 𝟐𝟓 𝟏𝟒

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 4) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5 2x + 9 8x − 2 3 = 1 4x + 11 24 h) / .24x 𝐱≠𝟎 12 3 8x 6 x 5 2x . 24x 1 + 9 8x . 24x 1 − 2 3 . 24x 1 = 1 4x . 24x 1 + 11 24 . 24x 1 60 + 27 - 16x = 6 + 11x -16x + 87 = 11x + 6 / -11x - 87 -27x = -81 / :(-27) x = 3 Zk. L = 5 6 + 9 24 − 2 3 = 20+9−16 24 = 𝟏𝟑 𝟐𝟒 L = P P = 1 12 + 11 24 = 2+11 24 = 𝟏𝟑 𝟐𝟒

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 5) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3 x+1 − 2 x−1 =0 a) / .(x – 1).(x + 1) 𝐱≠±𝟏 3 x+1 . (x – 1).(x + 1) 1 − 2 x−1 . (x – 1).(x + 1) 1 =0 3x – 3 – 2x – 2 = 0 x – 5 = 0 / + 5 x = 5 Zk. L = 3 5+1 − 2 5−1 = 3 6 − 2 4 = 1 2 − 1 2 =𝟎 P = 𝟎 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 5) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 1− 2x−10 3x = 20−x 2x b) / .6x 𝐱≠𝟎 2 3 6x.1 − 6x 1 . 2x−10 3x = 6x 1 . 20−x 2x 6x – 4x + 20 = 60 - 3x / +3x -20 5x = 40 / :8 x = 8 Zk. L = 1− 2.8−10 3.8 =1− 6 24 = 4 4 − 1 4 = 𝟑 𝟒 P = 20−8 2.8 = 12 16 = 𝟑 𝟒 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 5) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 9 x+3 − 6 x−1 =0 𝐱≠𝟏 c) / .(x + 3).(x – 1) 𝐱≠−𝟑 9 x+3 . (x + 3).(x – 1) 1 − 6 x−1 . (x + 3).(x – 1) 1 =0 9x – 9 – 6x – 18 = 0 / +27 3x = 27 / :3 x = 9 Zk. L = 9 9+3 − 6 9−1 = 9 12 − 6 8 = 3 4 − 3 4 =𝟎 P = 𝟎 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 5) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 𝐱≠ 𝟏 𝟓 1 x+5 − 4 5x−1 =0 d) / .(x + 5).(5x – 1) 𝐱≠−𝟓 1 x+5 . (x + 5).(5x – 1) 1 − 4 5x−1 . (x + 5).(5x – 1) 1 =0 5x – 1 – 4x – 20 = 0 / +21 x = 21 Zk. L = 1 21+5 − 4 5.21−1 = 1 26 − 4 104 = 1 26 − 1 26 =𝟎 P = 𝟎 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 5) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2a+3 3a+1 − 1 4 = a+5 3a+1 𝐚≠− 𝟏 𝟑 e) / .4.(3a +1) 2a+3 3a+1 . 4.(3a +1) 1 − 1 4 . 4.(3a +1) 1 = a+5 3a+1 . 4.(3a +1) 1 8a + 12 – 3a – 1 = 4a + 20 5a + 11 = 4a + 20 / -4a - 11 a = 9 Zk. L = 2.9+3 3.9+1 − 1 4 = 21 28 − 1 4 = 3 4 − 1 4 = 2 4 = 𝟏 𝟐 P = 9+5 3.9+1 = 14 28 = 𝟏 𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 5) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 𝐲≠ 𝟏 𝟑 2 y−2 − 4 3y+1 =0 f) / .(y - 2).(3y + 1) 𝐲≠𝟐 2 y−2 . (y − 2).(3y + 1) 1 − 4 3y+1 . (y − 2).(3y + 1) 1 =0 6y + 2 – 4y + 8 = 0 / -10 2y = -10 / :2 y = -5 Zk. L = 2 −5−2 − 4 3. −5 +1 =− 2 7 − 4 −14 =− 2 7 + 2 7 =𝟎 P = 𝟎 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 5) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2 x+3 − 1 x−2 =0 g) / .(x + 3).(x - 2) 𝐱≠−𝟑 𝐱≠𝟐 2 x+3 . (x + 3).(x − 2) 1 − 1 x−2 . (x + 3).(x − 2) 1 =0 2x – 4 – x – 3 = 0 x – 7 = 0 / +7 x = 7 Zk. L = 2 7+3 − 1 7−2 = 2 10 − 1 5 = 1 5 − 1 5 =𝟎 P = 𝟎 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 5) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 1− x+1 3x = x+3 5x h) / .15x 𝐱≠𝟎 5 3 15x.1 − 15x 1 . x+1 3x = 15x 1 . x+3 5x . 15x – 5x - 5 = 3x + 9 / -3x + 5 7x = 14 / :7 x = 2 Zk. L = 1− 2+1 3.2 =1− 3 6 =1− 1 2 = 𝟏 𝟐 P = 2+3 5.2 = 5 10 = 𝟏 𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 6) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku x−6 x = x 10+x / .x.(10 + x) a) 𝐱≠𝟎 𝐱≠−𝟏𝟎 x−6 x . x.(10 + x) 1 = x 10+x . x.(10 + x) 1 10x+ x2 – 60 - 6x = x2 4x - 60= 0 / +60 4x = 60 / :4 x = 15 Zk. L = 15−6 15 = 9 15 = 𝟑 𝟓 P = 15 10+15 = 15 25 = 𝟑 𝟓 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 6) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku x x−2 = x−3 x+4 b) / .(x – 2).(x + 4) 𝐱≠𝟐 𝐱≠−𝟒 x x−2 . (x – 2).(x + 4) 1 = x−3 x+4 . (x – 2).(x + 4) 1 x2 + 4x = x2 - 2x -3x +6 4x = -5x + 6 / +5x L = P 9x = 6 / :9 Zk. L = 2 3 2 3 −2 = 2 3 − 4 3 = 2 3 . − 3 4 =− 𝟏 𝟐 x = 𝟐 𝟑 P = 2 3 −3 2 3 +4 = − 7 3 14 3 =− 7 3 . 3 14 =− 𝟏 𝟐

2x – 6 - x2 + 3x = 6x - x2 + 12 - 2x 5x - 6= 4x + 12 x = 18 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 6) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2−x 6−x = x+2 x−3 c) / .(6 – x).(x - 3) 𝐱≠𝟔 𝐱≠𝟑 2−x 6−x . (6 – x).(x − 3) 1 = x+2 x−3 . (6 – x).(x − 3) 1 2x – 6 - x2 + 3x = 6x - x2 + 12 - 2x 5x - 6= 4x + 12 / -4x + 6 x = 18 Zk. L = 2−18 6−18 = −16 −12 = 𝟒 𝟑 P = 18+2 18−3 = 20 15 = 𝟒 𝟑 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 6) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 4x−2 x =1+ 3x x+1 / .x.(x + 1) 𝐱≠𝟎 𝐱≠−𝟏 d) 4x−2 x . x.(x + 1) 1 =1.x.(x + 1)+ 3x x+1 . x.(x + 1) 1 4x2 + 4x - 2x - 2= x2 + x + 3x2 2x - 2 = x / -x + 2 x = 2 Zk. L = 4.2−2 2 = 6 2 =𝟑 L = P P = 1+ 3.2 2+1 =1+ 6 3 =𝟏+𝟐=𝟑

3x2 - 7x + 9x - 21= 3x2 - 9x – x +3 2x – 21 = -10x + 3 12x = 24 x = 2 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 6) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 𝐱≠ 𝟕 𝟑 x+3 x−3 = 3x−1 3x−7 e) / .(x - 3).(3x - 7) 𝐱≠𝟑 x+3 x−3 . (x − 3).(3x − 7) 1 = 3x−1 3x−7 . (x − 3).(3x − 7) 1 3x2 - 7x + 9x - 21= 3x2 - 9x – x +3 2x – 21 = -10x + 3 / +10x + 21 12x = 24 / :12 x = 2 Zk. L = 2+3 2−3 = 5 −1 =−𝟓 P = 3.2−1 3.2−7 = 5 −1 =−𝟓 L = P

(2x +1).(x - 1)+(x + 1).(x + 1) = 3.(x2 – 1) Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 6) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2x+1 x+1 + x+1 x−1 =3 𝐱≠±𝟏 f) / .(x + 1).(x – 1) 2x+1 x+1 . (x + 1).(x – 1) 1 + x+1 x−1 . (x + 1).(x – 1) 1 =3.(x + 1).(x – 1) (2x +1).(x - 1)+(x + 1).(x + 1) = 3.(x2 – 1) 2x2 - 2x + x - 1 + x2 + x + x + 1 = 3x2 - 3 3x2 + x = 3x2 - 3 x = -3 L = 2.(−3)+1 −3+1 + −3+1 −3−1 = −5 −2 + −2 −4 = 5 2 + 1 2 =𝟑 P = 𝟑 L = P

(x +1).(x + 1)–(x + 3).(x - 1) = 4x - 4 Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 6) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku x+1 x−1 − x+3 x+1 = 4 x+1 𝐱≠±𝟏 g) / .(x + 1).(x – 1) x+1 x−1 . (x + 1).(x – 1) 1 − x+3 x+1 . (x + 1).(x – 1) 1 = 4 x+1 . (x + 1).(x – 1) 1 (x +1).(x + 1)–(x + 3).(x - 1) = 4x - 4 x2 + x + x + 1 -(x2 - x + 3x - 3) = 4x - 4 x2 +2x + 1 - x2 + x - 3x + 3 = 4x - 4 4 = 4x - 4 / +4 L = 2+1 2−1 − 2+3 2+1 = 3 1 − 5 3 = 𝟒 𝟑 8 = 4x / :4 P = 4 2+1 = 𝟒 𝟑 x = 2 L = P

(3x +2).(x + 1)–(x - 1).(x +2) = 2.(x2 + 2x + x + 2) Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 6) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3x+2 x+2 − x−1 x+1 =2 𝐱≠−𝟏 h) / .(x + 1).(x + 2) 𝐱≠−𝟐 3x+2 x+2 . (x + 1).(x + 2) 1 − x−1 x+1 . (x + 1).(x + 2) 1 =2.(x + 1).(x + 2) (3x +2).(x + 1)–(x - 1).(x +2) = 2.(x2 + 2x + x + 2) 3x2 + 3x + 2x + 2 -(x2 + 2x – x - 2) = 2x2 + 6x + 4 3x2 +5x + 2 - x2 - x + 2 = 2x2 + 6x + 4 2x2 + 4x + 4 = 2x2 + 6x + 4 / -6x - 4 Zk. L = 2 2 − −1 1 =1+1=𝟐 -2x = 0 / :(-2) x = 𝟎 P = 𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 7) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku x−1 x−2 = x+2 2x−4 a) 𝐱≠𝟐 x−1 x−2 = x+2 2.(x−2) / .2.(x - 2) x−1 x−2 . 2.(x − 2) 1 = x+2 2.(x−2) . 2.(x − 2) 1 2x – 2 = x + 2 / -x + 4 x = 4 Zk. L = 4−1 4−2 = 𝟑 𝟐 P = 4+2 2.4−4 = 6 4 = 𝟑 𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 7) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2 x+3 = x−4 x 2 −9 𝐱≠±𝟑 b) x−1 x+3 = x−4 x−3 .(x+3) / .(x - 3).(x + 3) 2 x+3 . (x − 3).(x + 3) 1 = x−4 (x−3).(x+3) . (x − 3).(x + 3) 1 2x - 6 = x - 4 / -x + 6 x = 2 Zk. L = 2 2+3 = 𝟐 𝟓 P = 2−4 4−9 = −2 −5 = 𝟐 𝟓 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 7) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5x−4 x 2 −8x+16 = 3 x−4 c) 𝐱≠𝟒 5x−4 x−4 .(x−4) = 3 x−4 / .(x - 4).(x - 4) 5x−4 x−4 .(x+4) . (x − 4).(x − 4) 1 = 3 x−4 . (x − 4).(x − 4) 1 5x - 4 = 3x - 12 / -3x + 4 2x = - 8 / :2 x = -4 Zk. L = 5. −4 −4 16+32+16 = −24 64 =− 𝟑 𝟖 P = 3 −4−4 =− 𝟑 𝟖 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 7) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3x−1 2x−6 = 4x+1 3x−9 𝐱≠𝟑 d) 3x−1 2.(x−3) = 4x+1 3.(x−3) / .6.(x - 3) 3 2 3x−1 2.(x−3) . 6.(x − 3) 1 = 4x+1 3.(x−3) . 6.(x − 3) 1 9x - 3 = 8x + 2 / -8x + 3 x = 5 Zk. L = 3.5−1 2.5−6 = 14 4 = 𝟕 𝟐 P = 4.5+1 3.5−9 = 21 6 = 𝟕 𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 7) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 5 2x+4 = 2x+3 x 2 +2x 𝐱≠𝟎 𝐱≠−𝟐 e) 5 2.(x+2) = 2x+3 x.(x+2) / .2x.(x + 2) 5 2.(x+2) . 2x.(x + 2) 1 = 2x+3 x.(x+2) . 2x.(x + 2) 1 5x = 4x + 6 / -4x x = 6 Zk. L = 5 2.6+4 = 𝟓 𝟏𝟔 P = 2.6+3 6 2 +2.6 = 15 48 = 𝟓 𝟏𝟔 L = P

3x - 2 = -x + 2 4x = 4 x = 1 Rovnice nemá řešení Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 7) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 3x−2 1−x = x−2 x−1 f) 𝐱≠𝟏 3x−2 −1.(x−1) = x−2 x−1 / .(-1).(x - 1) 3x−2 −1.(x−1) . (−1).(x − 1) 1 = x−2 x−1 . (−1).(x − 1) 1 3x - 2 = -x + 2 / +x + 2 4x = 4 / :4 x = 1 Rovnice nemá řešení

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 7) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2 x 2 +4x+4 = 1 x 2 −4 g) 𝐱≠±𝟐 2 x+2 .(x+2) = 1 x−2 .(x+2) / .(x - 2).(x + 2).(x + 2) 2 x+2 .(x+2) . (x − 2).(x + 2).(x + 2) 1 = 1 x−2 .(x+2) . (x − 2).(x + 2).(x + 2) 1 2x - 4 = x + 2 / -x + 4 x = 6 Zk. L = 2 6 2 +4.6+4 = 2 36+24+4 = 2 64 = 𝟏 𝟑𝟐 P = 1 6 2 −4 = 𝟏 𝟑𝟐 L = P

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé 7) Vyřešte rovnici a proveďte zkoušku 2 3x+15 = x−2 x 2 −25 h) 𝐱≠±𝟓 2 3.(x+5) = x−2 x−5 .(x+5) / .3.(x - 5).(x + 5) 2 3.(x+5) . 3.(x − 5).(x + 5) 1 = x−2 x−5 .(x+5) . 3.(x − 5).(x + 5) 1 2x - 10 = 3x - 6 / -3x + 10 -x = 4 / .(-1) x = -4 L = P Zk. L = 2 3. −4 +15 = 2 −12+15 = 𝟐 𝟑 P = −4−2 (−4) 2 −25 = −4−2 (−4) 2 −25 = −𝟔 −𝟗 = 𝟐 𝟑

Rovnice s neznámou ve jmenovateli - různí jmenovatelé Konec prezentace

Společný jmenovatel lomených výrazů Společného jmenovatele výrazů musíme nejdříve zjistit. K tomu opět napomůže rozložení jmenovatelů na součin v základním tvaru. Příklad1: Určete společného jmenovatele lomených výrazů 2xy. x−1 .(x−1) 3 x 2 . x−1 .(x+1) 1) u čísel použijeme nejmenší společný násobek 6 x2 y .(x – 1).(x – 1) .(x + 1) 2) u proměnných (písmen) použijeme největší mocninu (x – 1)2 3) u stejných závorek (výrazů v závorkách) použijeme největší mocninu (největší počet stejných závorek v jednom součinu)

Společný jmenovatel lomených výrazů Společného jmenovatele výrazů musíme nejdříve zjistit. K tomu opět napomůže rozložení jmenovatelů na součin v základním tvaru. Příklad2: Určete společného jmenovatele lomených výrazů 3 x 2 y 2 . x−2 .(x+2) 4 x 3 . x−2 1) u čísel použijeme nejmenší společný násobek 12 x3 y2 .(x – 2) .(x + 2) 2) u proměnných (písmen) použijeme největší mocninu 3) u stejných závorek (výrazů v závorkách) použijeme největší mocninu (největší počet stejných závorek v jednom součinu)

Společný jmenovatel lomených výrazů Společného jmenovatele výrazů musíme nejdříve zjistit. K tomu opět napomůže rozložení jmenovatelů na součin v základním tvaru. Příklad3: Určete společného jmenovatele lomených výrazů 5 x 2 y 2 . x−3 4x y 3 . x−3 1) u čísel použijeme nejmenší společný násobek 20 x2 y3 .(x – 3) 2) u proměnných (písmen) použijeme největší mocninu 3) u stejných závorek (výrazů v závorkách) použijeme největší mocninu (největší počet stejných závorek v jednom součinu)

Společný jmenovatel lomených výrazů Př) Určete společného jmenovatele lomených výrazů: a) ? 2xy ? 4 y 2 b) ? 3ab ? a−2 .b ? 𝟒𝐱 𝐲 𝟐 ? 𝟑𝐚𝐛. 𝐚−𝟐 c) ? 3x.(x−7) ? 4x 2 . x−7 d) ? 2.(s+1) ? s−1 ? 𝟏𝟐 𝐱 𝟐 . 𝐱−𝟕 ? 𝟐.(𝐬+𝟏). 𝐬−𝟏 e) ? 4x y 2 ? 6 x 2 y f) ? 3x. x−1 ? 6 x 2 . x−1 ? 𝟏𝟐 𝐱 𝟐 𝐲 𝟐 ? 𝟔 𝐱 𝟐 . 𝐱−𝟏