Rovnice postupné mechanické vlny Tematická oblast FYZIKA - Kmitání, vlnění a elektřina Datum vytvoření 23. 9. 2012 Ročník 2. ročník čtyřletého a 6. ročník osmiletého studia gymnázia Stručný obsah Odvození dané rovnice a její užití při řešení fyzikálních úloh Způsob využití Po zopakování odvození rovnice zadáme žákům práci ve skupinách, např. po dvou. Samostatně řeší úlohy. Poté provedeme procházením dalších stránek kontrolu správnosti. Autor Mgr. Petr Zezulka Kód VY_32_INOVACE_28_FZEZ18 Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín

ROVNICE POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNY Pro okamžitou výchylku kmitavého pohybu zdroje platí: y = 𝑦 𝑚 sin ωt, kde 𝑦 𝑚 je amplituda výchylky, ωt fáze kmitání a ω je úhlová rychlost kmitání. Kmitání bodu M, který je ve vzdálenosti x od zdroje, je opožděno vzhledem ke kmitání zdroje o dobu τ = 𝑥 𝑣 , kde v je rychlost vlnění. Pro kmitání bodu M platí: y = 𝑦 𝑚 sin ω(t – τ) = 𝑦 𝑚 sin ω(t – 𝑥 𝑣 ) = 𝑦 𝑚 sin 2 π 𝑇 (t – 𝑥 𝑣 ) y = 𝑦 𝑚 sin 2 π ( 𝑡 𝑇 - 𝑥 𝑣 𝑇 ) = 𝑦 𝑚 sin 2 π ( 𝑡 𝑇 - 𝑥 λ )

Z rovnice postupné vlny pro řadu bodů y = 𝑦 𝑚 sin 2 π ( 𝑡 𝑇 - 𝑥 λ ) vidíme, že okamžitá výchylka je funkcí nejen času (jako u mechanického kmitání), ale také funkcí polohy bodu, kterým vlnění prochází. Mechanické vlnění je tedy děj s dvojí periodicitou. Výraz 2 π ( 𝑡 𝑇 - 𝑥 λ ) je fáze vlnění, λ je vlnová délka vlnění , T je perioda vlnění. V dalších úlohách budeme předpokládat, že amplituda 𝑦 𝑚 je konstantní, že tedy při šíření vlnění nedochází ke ztrátám a vlnění je netlumené. Rovnice platí pro příčné i podélné harmonické vlnění, které se šíří v homogenním prostředí.

Vyřešte samostatně následující úlohy: Postupná mechanická vlna je popsána rovnicí y = 0,5 sin 2 π (4 t – 5 x). Zjistěte amplitudu, periodu, frekvenci, vlnovou délku a rychlost vlnění. 2. Vlnění s periodou T postupuje podél osy x. Bod o souřadnici x = 5 cm má v čase t = 𝑇 3 okamžitou výchyl- ku rovnou jedné polovině amplitudy. Určete vlnovou délku vlnění. Zdroj vlnění kmitá s frekvencí 0,3 kHz a amplitudou výchylky 4 cm. V počátečním okamžiku má nulovou výchylku i počáteční fázi. Napište rovnici postupné vlny a určete výchylku bodu vzdáleného 25 cm od zdroje v čase 8 s od počátečního okamžiku, je-li vlnová délka vlnění 48 cm.

Řešení příkladu č. 1: Je dána rovnice postupné vlny: y = 0,5 sin 2 π (4 t – 5 x). Srovnáním s rovnicemi y = 𝑦 𝑚 sin 2 π ( 𝑡 𝑇 - 𝑥 λ ) y = 𝑦 𝑚 sin 2 π (f t - 𝑥 λ ) zjistíme, že amplituda výchylky 𝑦 𝑚 = 0,5 m = 50 cm frekvence f = 4 Hz perioda T = 1 𝑓 = 1 4 s = 0,25 s Z posledního členu rovnice je patrné, že 5 x = 𝑥 λ , tedy vlnová délka λ = 1 5 m = 0,2 m = 20 cm. Pro rychlost vlnění platí: v = λ f = (0,2 . 4) m . 𝑠 −1 v = 0,8 m . 𝑠 −1 = 80 cm . 𝑠 −1

Vlnová délka vlnění je 20 cm. Řešení příkladu č. 2: Vyjdeme z rovnice postupné mechanické vlny: y = 𝒚 𝒎 sin 2 π ( 𝒕 𝑻 - 𝒙 𝝀 ). Po dosazení údajů ze zadání úlohy je: 1 2 𝑦 𝑚 = 𝑦 𝑚 sin 2 π ( 1 3 𝑇 𝑇 - 0,05 λ ) 1 2 = sin 2 π ( 1 3 - 1 20 λ ) 2 π ( 1 3 - 1 20 λ ) = π 6 1 3 - 1 20 λ = 1 12 3 12 = 1 20 λ λ = 12 60 m = 6 30 m = 20 cm Vlnová délka vlnění je 20 cm.

Řešení příkladu č. 3: Rovnice postupné mechanické vlny je: y = 𝒚 𝒎 sin 2 π ( 𝒕 𝑻 - 𝒙 𝝀 ) a) y = 0,04 sin 2 π (300 t - 𝑥 0,48 ) Po dosazení číselných hodnot získáme: {y} = 0,04 sin 2 π (300 . 8 - 0,25 0,48 ) y = 5,22 . 10 −3 m = 5,22 mm