Výukový materiál pro 9.ročník Trojúhelníky - úvod Názvosloví Rozdělení Úhly v trojúhelníku Výukový materiál pro 9.ročník Autor materiálu: Mgr. Martin Holý Další šíření materiálu je možné pouze se souhlasem autora

Trojúhelníky - názvosloví Trojúhelník je rovinný útvar, který má 3 vrcholy, 3 strany a 3 vnitřní úhly. C A, B, C ..… vrcholy a, b, c ….. strany , ,  ….. vnitřní úhly  b a Součet vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je 1800    +  +  = 1800 A B c Trojúhelníkové nerovnosti – v každém trojúhelníku je součet délek libovolných dvou stran větší než délka třetí strany a + b > c b + c > a a + c > b  

Rozdělení trojúhelníků podle velikosti stran rovnostranné rovnoramenné různostranné (obecné) C C C    b a b a b a       A c B A c B A c B a = b = c  =  =  = 600 a = b  c  =    a  b  c      a, b … ramena c … základna

ostroúhlé pravoúhlé tupoúhlé C C C    b a a a b b   A  c B    Rozdělení trojúhelníků podle velikosti úhlů ostroúhlé pravoúhlé tupoúhlé C C C    b a a a b b   A  c B    A A c c B B ,  … ostré úhly  … pravý úhel    … tupý úhel ,  … ostré úhly   , ,  … ostré úhly a, b … odvěsny (strany svírající pravý úhel) c … přepona (strana proti pravému úhlu)

Př. Pojmenujte trojúhelníky Názvosloví trojúhelníků Př. Pojmenujte trojúhelníky c) a) b) pravoúhlý obecný …………………………....…….. 300 6 6 700 ostroúhlý rovnoramenný …………………………....…….. ……………………..……………. obecný ostroúhlý e) f) d) 4 4 200 900 600 600 rovnostranný ……………………..……………. 400 ……………………..……………. pravoúhlý rovnoramenný ……………………..……………. obecný tupoúhlý

1) Pojmenujte trojúhelníky Názvosloví trojúhelníků 1) Pojmenujte trojúhelníky c) b) a) 200 300 3 3 700 500 ……………………..……………. pravoúhlý rovnoramenný ……………………..……………. obecný tupoúhlý ……………………..……………. obecný ostroúhlý d) f) e) 600 600 6 6 rovnostranný ……………………..……………. 900 ostroúhlý rovnoramenný …………………………....…….. pravoúhlý obecný ……………….…………....……..

Těžnice v trojúhelníku Těžnice označujeme obvykle malým písmenem t s indexem názvu strany, ke které příslušná těžnice patří. Těžnice trojúhelníku je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem jeho protilehlé (protější) strany. Těžnice udává vzdálenost vrcholu trojúhelníku od středu jeho protilehlé (protější) strany. Těžnice označujeme obvykle malým písmenem t s indexem názvu strany, ke které příslušná těžnice patří (v trojúhelníku ABC tedy ta, tb, tc). C Středy stran trojúhelníku označujeme velkým písmenem S s indexem názvu strany (v trojúhelníku ABC tedy Sa, Sb, Sc). tc Každý trojúhelník má 3 těžnice, které se protínají v 1 bodě a říkáme mu těžiště (značíme T). Sa Sb ta T Těžiště leží vždy uvnitř trojúhelníku. tb A Sc B

Těžnice v trojúhelníku Na těžnici je vzdálenost vrcholu od těžiště dvojnásobkem vzdálenosti těžiště od středu protější strany. |AT| = 2 . |TSa| |BT| = 2 . |TSb| |CT| = 2 . |TSc| Vzdálenost vrcholu od těžiště jsou 2 3 délky těžnice. Vzdálenost těžiště od středu protější strany je 1 3 délky těžnice. C tc 𝟏 𝟑 Sb Sa 𝟐 𝟑 T tb ta A Sc B

Těžnice v trojúhelníku 2) V trojúhelníku ABC sestrojte těžnici tc. (bez zápisu konstrukce) Jak narýsujeme střed úsečky C tc A Sc B

Výšky v trojúhelníku Těžnice označujeme obvykle malým písmenem t s indexem názvu strany, ke které příslušná těžnice patří. Výška v trojúhelníku je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené z tohoto vrcholu. Výška udává vzdálenost vrcholu od protější strany Výška je kolmice z vrcholu na protější stranu Výšky označujeme obvykle malým písmenem v s indexem názvu strany, ke které příslušná výška patří (v trojúhelníku ABC tedy va, vb, vc). C Paty kolmic (výšek) v trojúhelníku označujeme velkým písmenem P s indexem názvu strany (v trojúhelníku ABC tedy Pa , Pb , Pc). vc Pb Každý trojúhelník má 3 výšky, které leží na přímkách protínajících se v 1 bodě Tomuto bodu říkáme mu ortocentrum a značíme ho V. vb Pa va V A Pc B f Všechny 3 přímky, na kterých leží výšky, se protínají v jednom bodě V,

Výšky v trojúhelníku Výšky v tupoúhlém trojúhelníku C Pb vc vb Pc A B Ortocentrum leží mimo trojúhelník C Pb vc vb Pc A B va Pa V

Výšky v trojúhelníku Výšky v pravoúhlém trojúhelníku C Pa b = vc a va Ortocentrum leží ve vrcholu při pravém úhlu C Pa b = vc a va A = Pc = Pb = V c = vb B

Výšky v trojúhelníku 3) V trojúhelníku ABC sestrojte výšku va. (bez zápisu konstrukce) C Pa va A B

Kružnice opsaná trojúhelníku Těžnice označujeme obvykle malým písmenem t s indexem názvu strany, ke které příslušná těžnice patří. Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku C k S A B f

Kružnice opsaná trojúhelníku Kružnice opsaná trojúhelníku má střed v průsečíku os stran tohoto trojúhelníku Poloměrem kružnice trojúhelníku opsané je vzdálenost středu této kružnice od kteréhokoliv vrcholu trojúhelníku. C Jak sestrojím osu úsečky k o2 r S A B o3 o1

Kružnice opsaná trojúhelníku Těžnice označujeme obvykle malým písmenem t s indexem názvu strany, ke které příslušná těžnice patří. Střed kružnice opsané trojúhelníku leží: V ostroúhlém trojúhelníku uvnitř trojúhelníku V tupoúhlém trojúhelníku vně trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ve středu jeho přepony C O k Z S M N S S X Y A B k k f Všechny 3 přímky, na kterých leží výšky, se protínají v jednom bodě V,

Kružnice opsaná trojúhelníku 4) Sestrojte střed S kružnice k opsané trojúhelníku ABC a kružnici k narýsujte. 1) Narýsujte libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC a sestrojte kružnici k opsanou tomuto trojúhelníku. C k o2 r S A B o3 o1

Kružnice vepsaná trojúhelníku Kružnice vepsaná trojúhelníku má střed v průsečíku os úhlů tohoto trojúhelníku Poloměrem kružnice trojúhelníku opsané je vzdálenost středu této kružnice od libovolné strany trojúhelníku. C Jak sestrojím osu úhlu o2 o1 k S r A B o3

Kružnice opsaná trojúhelníku Těžnice označujeme obvykle malým písmenem t s indexem názvu strany, ke které příslušná těžnice patří. Střed kružnice opsané trojúhelníku leží vždy uvnitř trojúhelníku: C O Z k S M N S k S k X Y A B f Všechny 3 přímky, na kterých leží výšky, se protínají v jednom bodě V,

Kružnice vepsaná trojúhelníku 5) Sestrojte střed S kružnice k vepsané do trojúhelníku ABC a kružnici k narýsujte. C o2 o1 k S r A B o3

Obsah trojúhelníku Obsah rovnoběžníku S = a . va Obsah trojúhelníku c a S = a . va va Obsah trojúhelníku a . va S = B C a 2 b . vb Složením dvou trojúhelníků získáme rovnoběžník (většinou kosodélník) S = 2 c . vc S = 2

Obsah trojúhelníku Př. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC se stranou a = 6 cm a výškou va = 3,5 cm. A trojúhelník ABC a = 6 cm va = 3,5 cm S = ? cm2 c b va = 3,5 cm a . va S = 2 B C a = 6 cm 6 . 3,5 S = S = ? cm2 2 S = 10,5 cm2 Obsah trojúhelníku ABC je 10,5 cm2

Obsah pravoúhlého trojúhelníku Obsah obdélníku c S = a . b b Obsah trojúhelníku a . b S = 2 B C a a, b …. odvěsny c … přepona Obsah pravoúhlého trojúhelníku se spočítá jako součin odvěsen vydělený dvěma

Obsah pravoúhlého trojúhelníku Př. Vypočítejte obsah pravoúhlého trojúhelníku ABC s odvěsnami a = 7 cm a b = 6 cm. A prav. trojúhelník ABC odvěsny a = 7 cm b = 6 cm S = ? cm2 c b = 6 cm a . b S = B C a = 7 cm 2 S = ? cm2 7 . 6 S = 2 Obsah trojúhelníku ABC je 21 cm2 S = 21 cm2

Obsah trojúhelníku 6) Vypočítejte obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníku KLM se stranami k = 3 cm l = 4 cm a m = 5 cm. K prav. trojúhelník KLM k = 3 cm l = 4 cm m = 5 cm o = ? cm S = ? cm2 m = 5 cm l = 4 cm k . l L M k = 3 cm S = 2 o = a + b + c o = ? cm S = ? cm2 3 . 4 o = 3 + 4 + 5 S = 2 o = 12 cm S = 6 cm2 Trojúhelníku má obvod 12 cm a obsah 6 cm2.

Obsah trojúhelníku 7) Vypočítejte obsah rovnoramenného trojúhelníku ABC s obvodem 16 cm a rameny b = c = 5 cm . A rovnoramenný trojúhelník ABC ramena b = c = 5 cm o = 16 cm S = ? cm2 c = 5 cm b = 5 cm a . va va = 4 cm S = 2 B 6 . 4 C a = ? cm S = 2 o = 14 cm o = a + b + c S = ? cm2 S = 12 cm2 16 = a + 5 + 5 va2 = 52 - 32 Obsah trojúhelníku ABC je 12 cm2 a = 6 cm va = 4 cm

Obsah trojúhelníku 8) Spočítejte obsah rovnostranného trojúhelníku ABC se stranou a = 6 cm. (náp. 27 = 5,2) A rovnostranný trojúhelník ABC a = 6 cm va = ? cm S = ? cm2 c = 6 cm b = 6 cm va = ? cm a . va S = 2 B C 3 cm 6 . 5,2 a = 6 cm S = va2 = 62 - 32 2 S = ? cm2 va2 = 36 - 9 S = 15,6 cm2 va = 27 Obsah trojúhelníku ABC je 15,6 cm2 va = 5,2 cm

Obsah trojúhelníku 9) Do obdélníku ABCD se stranami a = 12 cm a b = 8 cm je vepsán trojúhelník EBD, kde E je střed AB. Určete obsah tohoto trojúhelníku. (načrtněte si obrázek) D C |EB|. b S = 2 6 . 8 b = 8 cm S = 2 S = ? cm2 S = 24 cm2 A E B a = 12 cm Obsah trojúhelníku ABC je 24 cm2

Obsah trojúhelníku S∆ = 5.12 2 𝐒∆ =𝟑𝟎 𝐜𝐦 𝟐 a2 = 122 + 52 a2 = 144 + 25 Sem zadejte rovnici. 10) Spočítejte obsah obrazce na obrázku a) S∆ = 5.12 2 12 cm 5 cm a 𝐒∆ =𝟑𝟎 𝐜𝐦 𝟐 6 cm a2 = 122 + 52 a2 = 144 + 25 a = 169 S=S∆+S a = 13 cm S=30+78 S=6 . 13 𝐒=𝟏𝟎𝟖 𝐜𝐦 𝟐 𝐒=𝟕𝟖 𝐜𝐦 𝟐

Obsah trojúhelníku S∆ = 10.4 2 𝐒∆ =𝟑𝟎 𝐜𝐦 𝟐 S=5 . 10 𝐒=𝟓𝟎 𝐜𝐦 𝟐 Sem zadejte rovnici. 10) Spočítejte obsah obrazce na obrázku b) S∆ = 10.4 2 7,5 cm 9 cm 𝐒∆ =𝟑𝟎 𝐜𝐦 𝟐 5 cm S=5 . 10 10 cm 𝐒=𝟓𝟎 𝐜𝐦 𝟐 S=S∆+S S=20+50 𝐒=𝟕𝟎 𝐜𝐦 𝟐

Obsah trojúhelníku 11) Určete obsahy obrazců v cm čtvercové síti 4 . 6 2 S = 12 cm2

Úhly v trojúhelníku Konec prezentace

Konstrukce osy úhlu Postup při rýsování osy úhlu AVB 1) Narýsujeme oblouček úhlu 2) Narýsujeme kružnici (část kružnice) se středem v průsečíku obloučku s jedním ramenem úhlu 3) Narýsujeme kružnici (část kružnice) se středem v průsečíku obloučku s druhým ramenem úhlu a stejným poloměrem 4) Narýsujeme osu o, která prochází vrcholem úhlu průsečíky narýsovaných částí kružnic. A o V B

Konstrukce osy úsečky Postup při rýsování osy o úsečky AB (osy strany c trojúhelníku ABC) 1) Narýsujeme kružnici (část kružnice) se středem v bodě A a poloměrem větším než je polovina úsečky AB. 2) Kružnici (část kružnice) se stejným poloměrem narýsujeme se středem v bodě B. 3) Narýsujeme osu o, která prochází oběma průsečíky narýsovaných částí kružnic A B o