Citlivost kořenů polynomů WORKSHOP 2005 Brno, 20. 10. 2005 RNDr. Michal Šmerek

Úvod Metody řešení nelineárních rovnic → Numerická matematika → řada odvětví lidské činnosti Vztahy mezi veličinami → nelineární rovnice → efektivní algoritmy Často je vhodné nelineární funkce aproximovat polynomickými funkcemi, a hledat (přibližné) řešení nelineární rovnice jako řešení příslušné polynomické rovnice. Proto je potřeba znát zákonitosti chování těchto kořenů, především jejich citlivost. 12.1.2019 WORKSHOP 2005

Citlivost kořenů polynomu (na změnu jeho koeficientů) polynom kořeny např. pro jednoduchý kořen je odvozen přibližný vztah: 12.1.2019 WORKSHOP 2005

koeficient podmíněnosti Definice pojmů: koeficient podmíněnosti absolutní koeficient podmíněnosti číslo podmíněnosti špatně podmíněný polynom (Cp>>1) dobře podmíněný polynom (Cp≈ 1) 12.1.2019 WORKSHOP 2005

Citlivost kořenů polynomu (na změnu jeho koeficientů) Příklady citlivosti kořenů polynomů s kořeny: malými (v porovnání s jedničkou) velkými (v porovnání s jedničkou) dobře separovanými blízkými násobnými 12.1.2019 WORKSHOP 2005

Příklad 12.1.2019 WORKSHOP 2005

12.1.2019 WORKSHOP 2005

Skutečné hodnoty a aproximované hodnoty kořenů polynomů a 12.1.2019 WORKSHOP 2005

Literatura BULIRSCH, R.; STOER, J. Introduction to Numerical Analysis. New York : Springer-Verlag, 1983. 604 s. ISBN 0-387-90420-4. HOROVÁ, I. Numerické metody. 1. vyd. Brno : MU v Brně, 1999. 230 s. ISBN 80-210-2202-7. ORTEGA, J. M.; RHEINBOLDT, W. C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. New York : Academic Press, 1970. RALSTON, A. Základy numerické matematiky. 1. vyd. Praha : Academia, 1973. 636 s. ŠMEREK, M. Výpočet kořenů polynomu. In XIX. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu (sborník příspěvků). Vyškov : VVŠ PV, 2001. s. 399-402. ISBN 80-7231-071-2. 12.1.2019 WORKSHOP 2005

Literatura ŠMEREK, M. Špatně podmíněné polynomy. In XX. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu (sborník příspěvků). Vyškov : VVŠ PV, 2002. s. 421–423. ISBN 80-7231-090-9. ŠMEREK, M.Citlivost polynomů. XXI. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu : sborník abstraktů a elektronických verzí příspěvků na CD-ROMu. [CD-ROM]. Vyškov : VVŠ PV, 2003. ISBN 80-7231-105-0. Adresář: /clanky/1sxmerem.pdf. ŠMEREK, M. Citlivost kořenů polynomů. Učitel matematiky. 2005, roč. 13, č. 2, s. 100–108. ISSN 1210-9037. ŠMEREK, M. Řešení nelineárních rovnic : závěrečná výzkumná zpráva projektu specifického výzkumu za rok 2004. Brno : Univerzita obrany, 2005. 11 s., 3 příl. 12.1.2019 WORKSHOP 2005

Literatura ŠMEREK, M. Numerické řešení nelineárních rovnic. Rigorózní práce. Brno : PřF MU, 2005. 58 s. VITÁSEK, E. Numerické metody. Praha : SNTL, 1987. WILKINSON, J. H. The evaluation of the zeros of ill-conditioned polynomials. Part I. Numerische Mathematik 1, 1959, vol. 1, s. 150–166. 12.1.2019 WORKSHOP 2005

Děkuji za pozornost RNDr. Michal Šmerek Katedra ekonometrie Fakulta ekonomiky a managementu Univerzita obrany v Brně 12.1.2019 WORKSHOP 2005