Gödelova(y) věta(y)

Kurt Gödel * Brno 28.4.1906 † Princeton, USA, 14.1.1978 Věty o úplnosti formálních systémů 1929-1931

Bezespornost formálního systému Syntaktický pojem Formální systém je bezesporný, pokud z axiomů a z odvozovacích pravidel nelze odvodit zároveň formuli A a ¬A.

Úplnost formálního systému Pro každou formuli lze syntaktickým způsobem rozhodnout, zda je odvoditelná, či ne.

Formální systémy bezesporné a úplné Lze jednoznačně automaticky rozhodnout o dokazatelnosti formulí A tím pádem i o jejich pravdivosti Není rozdíl mezi dokazatelností a pravdivostí Při formulaci pojmu dokazatelnost nebereme ohled na dobu trvání důkazu. Příklady Výroková logika

Paradoxy „naivní“ logiky Přelom 19. a 20. století Holičův paradox Holič střihá vlasy všem mužům ve městě, kteří si je nestřihají sami. Střihá si tedy holič vlasy sám?

Richardův paradox Seřadíme všechna tvrzení o přirozených číslech do posloupnosti, např. 1. číslo je sudé 2. číslo je liché 3. číslo je větší než 3. … Definujeme, že číslo n je Richardovské, když n nemá vlastnost napsanou v seznamu tvrzení na n-tém místě

Richardův paradox Tvrzení „číslo n je Richardovské“ je tvrzení o přirozených číslech, má tedy své číslo r. Je číslo r Richardovské? Pokud ano, pak má vlastnost číslo r, tedy není Richardovské. Pokud ne, pak nemá vlastnost číslo r a tedy je Richardovské Kde je problém?

Kde je problém V paradoxech se míchají dohromady dva jazyk Jazyk samotného formálního systému (tvrzení o číslech) Metajazyk, jazyk o tvrzeních o formálním systému (číslo je Richardovské, holič střihá ty, co se nestřihají sami). Jak z toho ven Gödelovo číslování formulí Formalizace pojmu pravdivost a dokazatelnost formule Vznik pojmu formální systém

Gödelovo číslování formulí Každá formule formálního systému (třeba instance predikátové logiky) se zapisuje pomocí omezeného počtu symbolů. Každému symbolu bude přiřazeno číslo 1,2,3,… Místa výskytu (pořadí) symbolů budou očíslována jenotlivými prvočísly p1,p2,…, tedy 2,3,5,7,11,… Je-li na místě pi symbol s, vytvoříme Gödelův koeficient pis. Součin všech Gödelůvých koeficientů nazveme Gödelovo číslo formule g(F). Rozklad čísla g(F) na prvočinitele je jednoznačný, a proto lze z čísla g(F) jednoznačně zrekonstruhovat formuli F.

Příklad Formální systém aritmetiky je jazykem predikátové logiky doplněný o symboly 0,s,*,+ a = Jazyk predikátové logiky obsahuje symboly (,),¬,→ , ,  ,↔, ,  a symboly pro proměnné. Očíslujeme postupně jednotlivé symboly: 0…1,s…2,*…3,+…4, =…5,(…6,)…7,¬…8,→…9 , …10, …11 ,↔…12, …13, …14, x…15, y…16,…

Příklad Spočítáme Gödelovo číslo formule (x) x*1=x, tedy (x) x*s(0)=x. Formule má 12 symbolů, prvních 12 prvočísel je 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37. Jednotlivé Gödelovy koeficienty jsou: 26,314,515,77,1115,133,172,196,231,297,315,3715 Gödelovo číslo formule je 26*314*515*77*1115*133*172*196*231*297*315*3715=36358153…… (96míst)

Důkaz Y je nějaká formule formálního systému g(Y) její číslo. X je důkaz formule Y, pokud se jedná o posloupnost formulí f1,f2,…,fn, kde fn je formule Y Každé fi je buď Axiom Nebo vznikne z fněkterých z formulí f1,..,fi-1 pomocí odvozovacího pravidla. Napíšu mezi formule důkazu znak , a spočítám Gödelovo číslo takto vzniklé konstrukce

Důkaz Mohu definovat predikát D(x,y) … Posloupnost formulí s G.číslem x je důkazem formule s G. číslem y Formule Y je dokazatelná, pokud (x) D(x,g(Y)) Mám-li k dispozici jazyk alespoň o síle aritmetiky (jazyk obsahující predikátovou logiku a aritmetiku), lze tvrzení „formule je dokazatelná“ vyjádřit v tomto jazyce.

Nerozhodnutelná formula Pokusíme se sestrojit formuli, která nepůjde dokázat a nepůjde dokázat ani její negace, tedy formuli o jejiž pravdivosti nelze automatizovaným způsobem rozhodnout. Tato formule se někdy nazývá Gödelova formule. Formuli sestrojíme pomocí manipulace s čísly formulí a jejich důkazů.

Konstrukce Gödelovy formule T: N -> {0,1} bude funkce T(n)=1, pokud číslo n je G. číslem dokazatelné formule T(n)=0 v ostatních případech Funkce A: N -> N Pokud n je kód formule s volným výskytem proměnné x, potom A(n) bude kód formule, ve které všechny výskyty proměnné x jsou nahrazeny číslem n. Funkci n lze (i když pracně) vyjádřit pomocí aritmetických operací.

Konstrukce Gödelovy formule Formule T(A(x))=0 má Gödelovo číslo m. A(m) je G. číslo formule T(A(m))=0. Je formule T(A(m))=0 dokazatelná? Pokud ano, pak podle definice T A(m) není G.číslo dokazatelné formule, ale A(m) je G.číslo formule T(A(m))=0, spor. Pokud ne, a pokud je formální systém úplný, pak T(A(m))=1 je dokazatelná. Tedy A(m) je G.číslo dokazatelné formule. A(m) je číslo formule T(A(m))=0, ta je tedy dokazatelná, spor

Co jsme vlastně dokázali Za předpokladu, že formální systém je bezesporný a úplný jsme sestrojili formuli, kterou nelze ani dokázat ani vyvrátit. Potřebovali jsme k tomu prostředky predikátové logiky a základní aritmetiky. Formální systém, který je bezesporný a obsahuje alespoň základní aritmetiku nemůže být úplný (Gödelova věta o neúplnosti)

Praktické důsledky Uvedená konstrukce nedokazatelné formule je prakticky neproveditelná, Gödelovo číslo funkcí T a A by bylo astronomicky velké. Existují však i praktické problémy, o kterých se ví, že jsou nerozhodnutelné v rámci běžně používaných formálních systémů Například „hypotéza kontinua“

Filozofické důsledky Gödelovy věty Žádný formální systém zahrnující alespoň základní aritmetiku nemůže dokázat vlastní bezespornost (nemáme tedy jistotu, že veškerá běžně přijímaná matematika není sporná) Neexistuje (a nemůže existovat) systém, který by automaticky rozhodoval o pravdivosti všech tvrzení. Tato vlastnost je dána jen živým tvorům.