Primitivní funkce Přednáška č.3

Ilustrace problému Funkce f(x), nezáporná funkce Funkce S(x)…..každému x přiřadí plochu pod f(x) k ose x od mínus nekonečna až do argumentu x.

Plocha pod funkcí f k ose x v intervalu (x , x+h) Plocha modrého obrazce

Modrý obrazec nahradíme obdélníkem a vypočteme jeho obsah Obsah obdélníka P=a.b Obsah modrého obrazce je přibližně obsah modrého obdélníka

jestliže h se limitně bude blížit k 0, pak delší strana obdélníka f(x+h/2) se blíží f(x)

Primitivní funkce Definice:funkce F je primitivní funkce k funkci f na intervalu I, jestliže na I. Antiderivace Vlastnost I:( postačující podmínka pro existenci primitivní funkce) Pokud f je spojitá v , potom existuje k f primitivní funkce.

Jak je to s jednoznačností primitivní funkce? Vlastnost II: Nechť F,G jsou primitivní funkce k funkci f na I. Pak existuje reálné číslo c tak, že . ( primitivních funkcí k jedné funkci může být více a liší se o konstantu) Množina všech primitivních funkcí k funkce f neurčitý integrál k některým funkcím se nedají vyjádřit primitivní funkce v analytickém tvaru.

Primitivní funkce základních funkcí

Vlastnosti primitivní funkce Vlastnost II.: jsou primitivní funkce k funkcím a nechť jsou reálná čísla. Pak je primitivní funkcí k funkci Neboli (pokud všechny primitivní funkce existují)

Příklad Vypočtěte

Další vlastnosti primitivní funkce Vlastnost III.(per partes) Nechť f,g mají v (a,b )vlastní derivaci. Pak

Příklad Vypočtěte

Příklad

Příklad Vypočtěte

Příklad Vypočtěte

Další vlastnosti primitivní funkce Vlastnost IV:(substituce) Nechť funkce f(t) je spojitá v (a,b) a g(x) má v (c,d) derivaci pro všechna x z (c,d) a g(x) patří do (a,b). Potom platí v intervalu (c,d) rovnice

Příklad Vypočtěte

Příklad Vypočtěte

Další vlastnosti primitivní funkce Důsledek:

Příklad Vypočtěte

Určitý integrál

Určitý integrál Newton-Leibnizova formule a …dolní mez b….horní mez

Vlastnosti určitého integrálu Per partes pro určité integrály

Substituce pro určité integrály Substituce pro určité integrály -Nechť funkce f je spojitá v intervalu . Nechť funkce g má spojitou derivaci v intervalu a zobrazuje tento interval do intervalu . Potom platí

Příklad Spočtěte

Příklad Spočtěte

Příklad Spočtěte

Vlastnosti určitého integrálu Je-li funkce spojitá na intervalu , je v tomto intervalu integrovatelná. Pokud , potom Pokud , potom Pokud , potom

Příklad Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafem funkce a osou x Průsečíky s osou x

Vlastnosti určitého integrálu Pokud funkce f je omezená v intervalu a nechť , potom platí Pokud funkce f = g v intervalu , až na konečně mnoho bodů, potom Pokud je sudá funkce, pak Pokud je lichá funkce, pak

Vlastnosti určitého integrálu Pokud funkce f je spojitá v intervalu a nechť , potom pro každé platí , kde Pokud pro každé , potom plocha mezi dvěma funkcemi

Příklad Vypočtěte velikost plochy mezi funkcemi Průsečíky:

Aplikace v ekonomii změny veličiny změna veličiny intenzita výroby(velikost výroby za jednotku času)→objem výroby intenzita příjmu→celkový příjem intenzita nákladů→celkové náklady intenzita investic→celkové investice

Spotřebitelský a podnikatelský přebytek Spotřebitelský přebytek Podnikatelský přebytek