3. přednáška Laplaceova transformace Fyzika pro OI 3. přednáška Laplaceova transformace Ing. Jaroslav Jíra, CSc.

Laplaceova transformace K čemu je to dobré? Řešení diferenciálních rovnic Modelování systémů Analýza odezvy systému Automatické řízení procesů

Laplaceova transformace Postup řešení diferenciálních rovnic Analýzu systému můžeme provést v těchto krocích Nalezení diferenciálních rovnic popisujících systém Provedení Laplaceovy transformace těchto rovnic Provedení jednoduchého algebraického výpočtu proměnné, která nás zajímá Provedení zpětné transformace k nalezení řešení

Laplaceova transformace Definice Laplaceova transformace je operátorem, který převádí funkci reálné proměnné f(t) na funkci komplexní proměnné F(s). Transformujeme funkci času, reálného argumentu t na funkci komplexní úhlové frekvence s. Laplaceova transformace vytváří obraz F(s) z původní funkce f(t) kde s= σ+ iω

Laplaceova transformace Omezení Funkce f(t) alespoň po úsecích spojitá pro t ≥ 0. |f(t)| ≤ Meαt , kde M a α jsou konstanty. Funkce f(t) musí být exponenciálně omezená, jinak Laplaceův integrál nebude konvergovat. Předpokládáme hodnotu f(t) = 0 pro všechna t < 0

Laplaceova transformace Zpětná Laplaceova transformace Pro řešení zpětné transformace potřebujeme komplexní analýzu Existuje-li jednoznačná funkce F(s)=L[f(t)], potom existuje také jednoznačná funkce f(t)=L-1[F(s)] S využitím předchozí definice můžeme jednoduše vytvořit soubor transformačních párů a poté počítat zpětnou transformaci porovnáním obrazu se známými výsledky v časové oblasti

Laplaceova transformace Základní vlastnosti Linearita Násobení v čase Časový posun Frekvenční posun

Laplaceova transformace Další vlastnosti Originál Obraz

Laplaceova transformace Nejčastěji používané transformační páry Originál Obraz Originál Obraz

Laplaceova transformace Odvození transformačních dvojic u(t) 1 Jednotkový skok Jednotkový skok u(t) je definován jako t Laplaceův obraz u(t) Posunutý jednotkový skok 1 a t Laplaceův obraz

Laplaceova transformace Odvození transformačních dvojic f(t) Jednotkový pulz 1/t1 Jednotkový pulz f(t) je charakterizován jednotkovou plochou pod svou funkcí t1 t Laplaceův obraz f(t) Diracův impulz Je to jednotkový pulz pro t1 → 0 t

Laplaceova transformace Odvození transformačních dvojic Exponenciela Lineární funkce Integrace per partes

Laplaceova transformace Odvození transformačních dvojic Druhá mocnina Integrace per partes En-tá mocnina

Laplaceova transformace Odvození transformačních dvojic Kosinus Sinus

Laplaceova transformace Odvození transformačních dvojic Časový posun f(t) f(t-a) Původní funkce f(t) je posunuta v čase na f(t-a) t a Frekvenční posun

Laplaceova transformace Odvození vlastností Časová derivace Integrace per partes

Laplaceova transformace Odvození vlastností Integrace per partes Časový integrál

Zpětná Laplaceova transformace Postup pro zpětnou Laplaceovu transformaci Vzhledem k tomu, že F(s) vychází většinou jako lomená funkce, je nejdůležitějším krokem rozložení této funkce na parciální zlomky. V závislosti na kořenech jmenovatele hledáme následující funkce, kde A a B jsou reálná čísla: jeden reálný kořen s= a dvojnásobný reálný kořen s= a trojnásobný reálný kořen s= a dvojice ryze imaginárních kořenů s= ± iω dvojice komplexně sdružených kořenů s= a ± iω

Zpětná Laplaceova transformace Základní příklady rozkladu na parciální zlomky k nalezení původní funkce f(t) Dva reálné různé kořeny Rovnice s2 + 4s + 3= 0 má dva reálné různé kořeny s1= -3 a s2= -1 Musíme najít koeficienty A a B pro Vynásobíme rovnici jmenovatelem vlevo Dosadíme za s kořeny Rozložená funkce F(s) Tudíž původní funkce

Zpětná Laplaceova transformace Jeden reálný kořen a jeden dvojnásobný reálný kořen Jmenovatel má jeden kořen s1= -1 a dvojitý kořen s23= -3 Hledáme koeficienty A, B a C Vynásobíme rovnici jmenovatelem vlevo K nalezení A a B opět dosadíme kořeny; koeficient C získáme porovnáním koeficientů u druhých mocnin, tedy u s2 Rozložená F(s) Tudíž původní funkce

Zpětná Laplaceova transformace Dva ryze imaginární kořeny Protože víme, že bude výhodné uspořádat výraz do tvaru Nyní můžeme přímo psát výsledek

Zpětná Laplaceova transformace Jedne reálný a dva ryze imaginární kořeny Hledáme koeficienty A, B a C Vynásobíme rovnici jmenovatelem vlevo Pro získání A dosadíme kořen; B,C získáme porovnáním koeficientů u s0 a s2 Rozložená F(s) Tudíž původní funkce

Zpětná Laplaceova transformace Dva komplexně sdružené kořeny V prvním kroku upravíme jmenovatele Rozložená F(s) bude Nyní shromáždíme nezbytné vztahy Tudíž původní funkce

Řešení diferenciálních rovnic pomocí Lap. transformace Příklad 1 Najděte x(t) na intervalu <0,∞) Obraz hledané funkce je Z dřívějších definic víme, že Můžeme tedy psát transformovanou rovnici Původní funkce

Řešení diferenciálních rovnic pomocí Lap. transformace Příklad 2 Funkce na pravé straně Nezbytné vztahy Transformovaná rovnice

Řešení diferenciálních rovnic pomocí Lap. transformace Příklad 2 - pokračování Vztah pro X(s) po rozkladu na parciální zlomky po menších úpravách Původní funkce

Řešení diferenciálních rovnic pomocí Lap. transformace Příklad 3 Homogenní rovnice 2. řádu Nezbytné vztahy Transformovaná rovnice Původní funkce

Řešení diferenciálních rovnic pomocí Lap. transformace Příklad 4 Nehomogenní rovnice 2. řádu Nezbytné vztahy Transformovaná rovnice víme, že Původní funkce

Řešení diferenciálních rovnic pomocí Lap. transformace Příklad 5 Integro-diferenciální rovnice Nezbytné vztahy Transformovaná rovnice Původní funkce