7 Soustava HB, Tuhé těleso NMFy 160 FyM – Obdržálek – 2018-05-11 7 Soustava HB, Tuhé těleso NMFy 160 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.1 Soustava hmotných bodů 7.1.1 Zavedení, základní pojmy Soustava 𝑁>1 hmotných bodů: 𝑁=2: Keplerova úloha; srážka; molekula 𝑁=3: model tuhého tělesa 𝑁≫ 10 20 : kapka vody, vzduch v míči FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.1) Soustava hmotných bodů (7.1.1) Základní aditivní veličiny hmotnost 𝑚 hybnost 𝑝 =𝑚 𝑣 moment hybnosti 𝑏 = 𝑚 𝑟 × 𝑣 spin 𝑠 kinetická energie 𝐸 𝑘 = 1 2 𝑚 𝑣 2 síla 𝐹 moment síly 𝑀 = 𝑟 × 𝐹 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.1.2 Střed hmotnosti apod. Střed hmotnosti neboli hmotný střed Lze definovat pro každou soustavu HB 𝑋= 𝑘 𝑚 𝑘 𝑥 𝑘 𝑘 𝑚 𝑘 Platí tedy 𝑀𝑋= 𝑘 𝑚 𝑘 𝑥 𝑘 a analogicky pro 𝑦, 𝑧. Spojitě: 𝑘 … 𝑚 𝑘 → Γ …d𝑚 𝑟 → Γ …𝜌 𝑟 d𝑉 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.1.2) Střed hmotnosti apod. Těžiště: umístění výslednice silového pole V homogenním poli splývá s těžištěm; v nehomogenním poli záleží na poloze tělesa. Metacentrum: těžiště potopené části lodi, myšlené naplněné vodou Podrobnosti později (7.4.5) FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.1.3 Věta o hybnosti Síly i hybnosti ve 2NZ jsou aditivní  lze přímo zobecnit: d 𝑃 d𝑡 = 𝐹 Časová změna hybnosti soustavy je rovna výslednici vnějších sil (výslednice vnitřních sil je nulová podle 3NZ) Též známa jako „první věta impulzová“ FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.1.4 Věta o momentu hybnosti Momenty sil i momenty hybnosti jsou aditivní, poloha nikoli, ale máme štěstí: d( 𝑟 × 𝑝 ) d𝑡 = d 𝑟 d𝑡 ×𝑚 𝑣 + 𝑟 × d 𝑝 d𝑡 = 𝑟 × 𝐹 Časová změna momentu hybnosti soustavy je rovna výslednici momentu vnějších sil (moment výslednice vnitřních sil je nulový např. jsou-li tyto síly centrální) Též známa jako „druhá věta impulzová“ FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.1.5 Kinetická energie; Königova věta Celková kinetická energie je součtem dílčích 𝐸 k = 𝑛 𝐸 k𝑛 = 1 2 𝑛 𝑚 𝑛 𝑣 𝑛 2 V těžišťové soustavě: 𝑢 𝑛 , hmot. střed: 𝑉 𝑣 𝑛 = 𝑉 + 𝑢 𝑛 𝐸 k = 1 2 𝑛 𝑚 𝑛 ( 𝑉 + 𝑢 𝑛 ) 2 = 1 2 𝑉 2 𝑛 𝑚 𝑛 +2 1 2 𝑉 𝑛 𝑚 𝑛 𝑢 𝑛 + 1 2 𝑛 𝑚 𝑛 𝑢 𝑛 2 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.1.5 Kinetická energie; Königova věta Königova věta: Celková kinetická energie je součtem kinetická energie „těžiště s hmotností 𝑀“ + součet kin. energií částic vůči těžišti FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.1.6 Zákony zachování Zákon zachování celkové hmotnosti Zákon zachování celkové hybnosti (je-li výslednice vnějších sil nulová) Zákon zachování celkového momentu hybnosti (je-li výslednice momentu vnějších sil nulová + vnitřní síly centrální) Zákon zachování celkové mechanické energie (jsou-li vnější síly konzervativní, např. potenciálové) FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.1.7 Srážka částic (ráz) samostatná příloha C FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.2 Tuhé těleso (TT): pojem 7.2.1 Základní představy tuhé těleso (rigid body) ≠ pevná látka (solid state) Body A, B tělesa mění spojitě svou polohu, ale jejich vzdálenost se nemění: d 𝑠 𝐴𝐵 d𝑡 =0 (neuvažujeme zrcadlení – je nespojité) Jak? Doplníme vždy vhodné vnitřní síly Každá část TT je také TT Existence? Jak pro kterou úlohu! FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.2 Tuhé těleso (TT): pojem 7.2.2 Popis TT; stupně volnosti 1 kg Fe: 𝑁= 10 25 atomů; Vesmír 𝑇= 0,4∙10 18 s TT: stačí 3 nekolineární částice 1 HB: 3 stupně volnosti, např. (𝑥, 𝑦, 𝑧) 2 HB („činka“): 5 stupňů volnosti 3 a více HB: 6 stupňů volnosti Tuhé těleso má 6 stupňů volnosti FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.2) Tuhé těleso (TT): pojem Reprezenace TT: skutečný tvar tuhého tělesa trojice nekolineárních bodů kartézská vztažná soustava spojená s TT Vhodný popis: např. 3 souřadnice bodu O (počátek VS, těžiště) 2 úhly v prostoru - směr osy o procházející O 1 úhel natočení TT kolem o FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.3 Kinematika tuhého tělesa 7.3.1 Přemístění TT: U HB bylo nejobecnější posunutí U TT: 1. Posunutí o 𝑙 : 𝑟 𝐴 ′= 𝑙 + 𝑟 𝐴 2a. Otočení kolem bodu O (tj. O‘= O) 2b. Otočení kolem osy o úhel 𝜑 𝑣 = 𝜔 × 𝑟 V kap. 7.3.3: d‘Alembert: 2a  2b FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.3.1 Obecné přemístění 1, 2𝑎, 2𝑏 nejobecnější přemístění (spojité, ne zrcadlení) Důkaz: 3 různé body A, B, C tělesa  A′, B′, C′ A=A‘, B=B‘, C=C‘:  𝑙=0, 𝜑=0 A=A‘, B=B‘, C≠C‘:  𝑙=0, 𝜑≠0 osa 𝑜= 𝐴𝐵 A=A‘, B≠B‘, C≠C‘:  𝑙=0, 𝜑≠0 bod 𝑂=𝐴 A≠A‘, B≠B‘, C≠C‘: posuvy 𝑙 𝐴 , 𝑙 𝐵 , 𝑙 𝐶 . 𝑙 𝐴 = 𝑙 𝐵 = 𝑙 𝐶 = 𝑙 : posuv TT o 𝑙 𝑙 𝐴 ≠ 𝑙 𝐵 : nechť bod D se posunul nejméně, o 𝑙 𝐷 𝑙 𝐷 = 0 : otočení kolem bodu D 𝑙 𝐷 ≠ 0 : rozebereme dále FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.3.1) Obecné přemístění Všechny body TT posunuté, bod D nejméně (o 𝑙 𝐷 ) D  D′ : Celá přímka o = DD‘ se posunula o 𝑙 𝐷 ! Důkaz: Zvolme E uvnitř DD′ : |DE| = |D‘E‘| E‘ na kouli (D; r=|DE|) |EE‘| ≥ |DD‘|  E‘ vně koule (E; r=|DD‘|)  E‘ leží na DD‘, qed. Dále: zvolme F mimo osu o = DD‘ : FF‘ určuje 𝜑 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

2016-04-13 Obdržálek 7.3.2 Kinematický šroub Posunutí podél osy o a otočení kolem téže osy o Není to valení (= posuv kolmý k ose otočení) Zde je otočení s posuvem záměnné – lze je studovat samostatně.

(7.3.2) Kinematický šroub posunutí ∆ 𝑙 otočení ∆ 𝜑 derivace podle t a komutativita: ∆ 𝑙 ∆𝑡  𝑣 𝑡 ; ∆ 𝜑 ∆𝑡  𝜔 𝑣 𝑡 = 𝑣 A 𝑡 + 𝜔 (𝑡)× 𝑟 základní rovnice kinematiky TT bohužel určuje 𝑣, nikoli 𝑟 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.3.3 d‘Alembertova věta 7.3.3 Ve 3D je každé otočení kolem bodu ekvivalentní s otočením kolem osy („otočení“ implikuje spojitost, tedy nikoli zrcadlení) Jednotková koule K, střed O; AK  A‘ A‘=A: otočení kolem osy OA A‘≠A: rovina σA symetrie OA a OA‘ osa otočení leží v σ; zvolme B na σ i K B‘=B : otočení kolem osy OA B‘≠B : otočení kolem osy σA · σB FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.4 Dynamika TT; skládání sil 7.4.1 Vektor volný a vázaný Volný vektor 𝑣 : jako v matematice 𝑣 Vektorová algebra 𝑣 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.4.1 Vázaný vektor Vázaný vektor 𝑣 A (na bod): dvojice [ 𝑣 ; A] ≡ [ 𝑣 ; 𝑟 A ] bod A: umístění; působiště (u síly) Aritmetické operace mezi 𝑣 A a 𝑢 B jen pro A=B: 𝑣 A  𝑢 A = [ 𝑣  𝑢 ; A] . 𝑣 A A 𝑟 A FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.4.2 Klouzavý vektor třída ekvivalentních vázaných vektorů 𝑣 A a 𝑣 B 𝑟 B − 𝑟 A ∥ 𝑣 𝑣 B 𝑣 A B A 𝑟 B 𝑟 A FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.4.2) Klouzavý vektor Zdůvodnění: jak zajistit pevnost TT mezi body A a B oproti síle 𝐺 B ? vazbové síly 𝐹 𝐴→𝐵 a 𝐹 𝐵→𝐴 (spolu nulová výslednice i moment) umožnily „přesun“ 𝐺 B do 𝐺 A 𝐺 B 𝐹 𝐵→𝐴 B 𝐹 𝐴→𝐵 𝐺 A A FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.4.3 Skládání klouzavých vektorů (sil); silová dvojice Převod sily převedeme do stejného působiště 1) různoběžky: FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.4.3) Skládání sil 2a) rovnoběžné 𝐹 A ≠− 𝐹 B : doplníme 𝐺 , − 𝐺 sečteme 𝐹 + 𝐺 = 𝐻 posuneme a sečteme 𝐻 A + 𝐻 B = 𝐼 𝐼 𝐻 B 𝐹 B 𝐻 A 𝐹 A 𝐺 − 𝐺 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.4.3) Skládání sil 2b) rovnoběžné 𝐹 A =− 𝐹 B : nelze redukovat Nový objekt: silová dvojice 𝑚 = 𝑟 AB × 𝐹 B volný vektor 𝑚 = 𝑚 ′= 𝑟 ′ AB × 𝐹 ′ B 𝐹 A 𝐹 ′ A 𝑟 AB 𝑟 ′ AB 𝐹 ′ B 𝐹 B FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.4.3 Skládání klouzavých vektorů 2c) mimoběžné 𝐹 A ; 𝐹 B : lze redukovat na dynamický šroub [ 𝐹 ′; 𝑚 ′], kde 𝐹 ′∥ 𝑚 ′ Dílčí kroky: d1) Každou sílu 𝐹 lze rovnoběžně přesunout 𝐹  𝐹 ′ do (libovolného) bodu B doplněním dvojice sil 𝑚 ⊥ 𝐹 ; platí 𝐹 = 𝐹 ′ − 𝑚 d2) Každou dvojici (síla 𝐹 + silová dvojice 𝑚 ) lze nahradit dvojicí (síla 𝐹 ′ + silová dvojice 𝑚 ′), kde 𝐹 ′∥ 𝑚 ′∥ 𝐹 (dynamický šroub) FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.4.3 Skládání klouzavých vektorů d1) Každou sílu 𝐹 lze rovnoběžně přesunout 𝐹  𝐹 ′ do (libovolného) bodu B doplněním dvojice sil 𝑚 ⊥ 𝐹 ; platí 𝐹 = 𝐹 ′ − 𝑚 𝐹 𝐹 ‘   ⨂ 𝑚 𝐵 − 𝐹 ‘ FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.4.3 Skládání klouzavých vektorů) d2) Každou dvojici (síla 𝐹 + silová dvojice 𝑚 ) lze nahradit dvojicí (síla 𝐹 ′ + silová dvojice 𝑚 ′), kde 𝐹 ′∥ 𝑚 ′∥ 𝐹 (dynamický šroub) − 𝑓 𝐹 𝐹 ′ 𝑓 ∥ 𝑚  𝑚 ∥ 𝑓 ⊥ ⊙ 𝑚 ⊥ 𝑓 výsledný dynamický šroub FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.4.3 Skládání klouzavých vektorů Obecné řešení: Síly 𝐹 přesuneme dle d1) doplněním 𝑚 ′ do počátku O Sečteme všechny síly v počátku na 𝐹 Σ Sečteme všechny dvojice sil 𝑚 Převedeme dle d2) na dynamický šroub FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.4.5 Těžiště; metacentrum apod. výslednice homogenního tíhového pole (obecně: výslednice pole) Metacentrum: výslednice vztlakového pole na potopenou část lodi Střed 𝑅 náboje: pro 𝐸= 𝑘 𝑒 𝑘 ≠0 je 𝐸 𝑅 = 𝑘 𝑒 𝑘 𝑟 𝑘 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

V rámci dynamiky TT vypadnou, jen zaručují neproměnnost TT 7.5 Dynamika T T T T je soustava 𝑁 HB s vazbami zaručujícími pevnost (stálé 𝑟 AB ) Vazbové síly (vnitřní): 𝑓 AB ∥ 𝑟 B − 𝑟 A Dle 3NZ: 𝑓 AB =− 𝑓 BA V rámci dynamiky TT vypadnou, jen zaručují neproměnnost TT FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.5 Dynamika T T) Časová změna hybnosti TT je rovna výslednici vnějších sil Časová změna momentu hybnosti TT je rovna výslednici momentů vnějších sil d 𝑃 d𝑡 = 𝐹 ext d 𝐵 d𝑡 = 𝑀 ext FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.6 Rovnováha T T Aby TT zůstalo v rovnováze: výslednice vnějších sil nulová výslednice momentů vnějších sil nulová d 𝐹 ext d𝑡 = 0 ; d 𝑀 ext d𝑡 = 0 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.7 Rotace T T kolem pevné osy 1 stupeň volnosti (úhel 𝜑) 𝜔 := d𝜑 d𝑡 osa o; směr o 0 = 𝜔 0 polohový vektor 𝑟 Kolmá vzdálenost od osy: 𝑟 ⊥ 𝑟 = 𝑟 ∥ + 𝑟 ⊥ 𝑟 = 𝜔 0 𝑟 ∙ 𝜔 0 + 𝜔 0 ×( 𝑟 × 𝜔 ) o 𝜔 0 𝑟 ⊥ 𝑟 ∥ 𝑟 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.7 Rotace T T kolem pevné osy Posuvná rychlost bodu: 𝑣 = 𝜔 × 𝑟 = 𝜔 × 𝑟 ⊥ o hybnost 𝑃 = 𝑘 𝑚 𝑘 𝑣 𝑘 moment hybnosti vůči ose o: 𝐵 = 𝑘 𝑟 𝑘 × 𝑝 𝑘 = 𝑘 𝑚 𝑘 𝑟 𝑘 ×( 𝜔 × 𝑟 𝑘 ) = 𝜔 𝑘 𝑚 𝑘 𝑟 ⊥𝑘 2 =𝐼 𝜔 moment setrvačnosti 𝐼= 𝑘 𝑚 𝑘 𝑟 ⊥𝑘 2 𝜔 0 𝑟 ⊥ 𝑟 ∥ 𝑟 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.7 Rotace T T kolem pevné osy) Steinerova věta o momentu setrvačnosti TT vůči ose neprocházející těžištěm 𝐼 ′ =𝐼+𝑀 ℎ 2 𝐼= 𝑛 𝑚 𝑛 ( 𝑥 𝑛 2 + 𝑦 𝑛 2 ) 𝐼′= 𝑛 𝑚 𝑛 ( (𝑥 𝑛 −ℎ) 2 + 𝑦 𝑛 2 ) = 𝑛 𝑚 𝑛 ( 𝑥 𝑛 2 −2ℎ𝑥 𝑛 +ℎ 2 + 𝑦 𝑛 2 ) roznásobíme a vytkneme ℎ =𝐼+𝑀 ℎ 2 −2ℎ 𝑛 𝑥 𝑛 𝑚 𝑛 posl. čl. = 0 z def. těžiště o 𝑀;𝐼′ 𝑀; 𝐼 ℎ T FyM – Obdržálek – 2018-05-11

(7.7 Rotace T T kolem pevné osy) Kinetická energie 𝐸 k : součet dílčích kinetických energií 𝐸 k = 𝑛 1 2 𝑚 𝑛 𝑣 𝑛 2 = 1 2 𝑛 𝑚 𝑛 𝑟 ⊥𝑛 2 𝜔 2 = 1 2 𝐼𝜔 2 Věta o momentu hybnosti: podobné zjednodušení d 𝐵 d𝑡 =𝐼 d 𝜔 d𝑡 = 𝑀 ext FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.8 Tenzor setrvačnosti, Eulerovy rovnice Známe moment pro rotaci kolem pevné osy; hledáme obecně. 𝑣 𝑛 = 𝜔 × 𝑟 𝑛 pro 𝑛-tý bod Moment hybnosti 𝐵 je úměrný 𝜔 , ale jsou různé směry! Laboratorní soustava 𝐵 = 𝑛 𝑟 𝑛 × 𝑝 𝑛 = 𝑛 𝑟 𝑛 × 𝑚 𝑛 𝑣 𝑛 = 𝑛 𝑚 𝑛 𝑟 𝑛 ×( 𝜔 × 𝑟 𝑛 ) = 𝑛 𝑚 𝑛 𝜔 ( 𝑟 𝑛 ∙ 𝑟 𝑛 − 𝑟 𝑛 ( 𝜔 ∙ 𝑟 𝑛 )) Nebudeme psát index 𝑛; rozepíšeme složkově: 𝐵 𝑗 =𝑚 𝜔 𝑗 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 −𝑚 𝑥 𝑗 𝑘 𝜔 𝑘 𝑥 𝑘 = 𝑟 𝜔 𝑟 𝐼 𝑗𝑟 , kde je zaveden tenzor setrvačnosti 𝐼 𝑗𝑟 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.8 Tenzor setrvačnosti, Eulerovy rovnice 7.8.1 Tenzor setrvačnosti (labor. soustava) 𝐵 𝑗 =𝑚 𝜔 𝑗 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 −𝑚 𝑥 𝑗 𝑘 𝜔 𝑘 𝑥 𝑘 = 𝑟 𝜔 𝑟 𝐼 𝑗𝑟 , 𝐼 11 = 𝑛 𝑚( 𝑥 2 2 + 𝑥 3 2 ) ; 𝐼 23 =− 𝑛 𝑚 𝑥 2 𝑥 3 𝐼 22 = 𝑛 𝑚( 𝑥 3 2 + 𝑥 1 2 ) ; 𝐼 31 =− 𝑛 𝑚 𝑥 3 𝑥 1 𝐼 33 = 𝑛 𝑚( 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 ) ; 𝐼 12 =− 𝑛 𝑚 𝑥 1 𝑥 2 a potom platí d d𝑡 𝑘 𝜔 𝑘 𝐼 𝑗𝑘 = 𝑀 𝑗 FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.8 Tenzor setrvačnosti, Eulerovy rovnice 7.8.1 Tenzor setrvačnosti (labor. soustava) d d𝑡 𝑘 𝜔 𝑘 𝐼 𝑗𝑘 = 𝑀 𝑗  V labor. soustavě ukazuje 𝑟 pokaždé na jinou částici. Náprava: počítat v soustavě otáčející se s TT. 1) značíme složky vektorů jinak; 2) k časové derivaci přibyde člen 𝜔 ×… FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.8 Tenzor setrvačnosti, Eulerovy rovnice (7.8.1) Tenzor setrvačnosti (soustava TT) 𝛽 𝑗 =𝑚 𝛺 𝑗 𝑘 𝜉 𝑘 𝜉 𝑘 −𝑚 𝜉 𝑗 𝑘 𝛺 𝑘 𝜉 𝑘 = 𝑘 𝛺 𝑘 𝐽 𝑗𝑘 , 𝐽 11 = 𝑛 𝑚( 𝜉 2 2 + 𝜉 3 2 ) ; 𝐽 23 =− 𝑛 𝑚 𝜉 2 𝜉 3 𝐽 22 = 𝑛 𝑚( 𝜉 3 2 + 𝜉 1 2 ) ; 𝐽 31 =− 𝑛 𝑚 𝜉 3 𝜉 1 𝐽 33 = 𝑛 𝑚( 𝜉 1 2 + 𝜉 2 2 ) ; 𝐽 12 =− 𝑛 𝑚 𝜉 1 𝜉 2 mom. setrv. vůči osám; deviační momenty FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.8 Tenzor setrvačnosti, Eulerovy rovnice Čas. změna: d 𝐵 d𝑡 = d 𝐵 d𝑡 + 𝛺 × 𝐵 Pro moment hybnosti: d 𝛽 d𝑡 + 𝛺 × 𝛽 = 𝜇 neboli FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.8 Tenzor setrvačnosti, Eulerovy rovnice d 𝛽 d𝑡 + 𝛺 × 𝛽 = 𝜇 neboli d 𝛽 1 d𝑡 + 𝛺 2 𝛽 3 − 𝛺 3 𝛽 2 = 𝜇 1 , … resp. po dosazení 𝛽 𝑗 = 𝑘 𝛺 𝑘 𝐽 𝑗𝑘 výsledek: FyM – Obdržálek – 2018-05-11

7.8.2 Eulerovy rovnice 7.8 Eulerovy rovnice 𝐽 11 d 𝛺 1 d𝑡 + 𝐽 12 d 𝛺 2 d𝑡 + 𝐽 13 d 𝛺 3 d𝑡 + 𝛺 2 𝛺 1 𝐽 31 + 𝛺 2 𝛺 2 𝐽 32 + 𝛺 2 𝛺 3 𝐽 33 − 𝛺 3 𝛺 1 𝐽 21 − 𝛺 3 𝛺 2 𝐽 22 − 𝛺 3 𝛺 3 𝐽 23 = 𝜇 1 a analogicky ostatní složky. Tři nelineární diferenciální rovnice pro tři neznámé 𝛺 1 ; 𝛺 2 ; 𝛺 3 . FyM – Obdržálek – 2018-05-11