Fibonacciho postupnosť Michal Zajaček MFF UK

Postupnosti – základné informácie Zobrazenie z N do R: Nekonečná, konečná postupnosť Def. obor: N, obor. hodnôt:R, členy postupnosti Graf postupnosti:

Zápis postupnosti všeobecne: Explicitne: napr, {n}, {1/n}, {(-1)n} Rekurentne: a1 =1 an+1=an2+1,

Postupnosti – pojmy a vety Limita postupnosti (def., ozn.A) konverguje diverguje Veta: Konvergentná postupmosť je ohraničená. Veta: Monotónna postupnosť má limitu. Veta: Ohraničená monotónna postupnosť konverguje. Hromadný bod postupnosti, vybraná postupnosť Veta: Číslo a je hromadný bod postupnosti vtedy a len vtedy, ak existuje vybraná postupnosť , ktorá konverguje k a. Weierstrassova veta, Bolzano-Cauchyho podmienka konvergencie, Heineova veta... základné rozdelenie: aritmetická postupnosť (diferencia), geometrická postupnosť (kvocient), aritmeticko-geometrická postupnosť

Zlatý rez Feidias (495-420 BC)

Trochu histórie Feidias (490-430 BC) – Parthenon-sochy Platón (427-347 BC) – Timaeus – Platónske telesá Euclides (3 stor. BC) – Základy Fibonacci (1170-1250) – Liber Abaci Luca Pacioli (1445-1517) – De Divina Proportione (O Božských pomeroch – 1509), knihu ilustroval Leonardo da Vinci Johannes Kepler (1571-1630) – drahokam Charles Bonnet (1720-1793) – fylotaxia Martin Ohm (1792-1872) – „goldener Schnitt“ Roger Penrose (nar. 1931) – zlatý rez v aperiodických dlaždičkách - kvázikryštály

Zlatý rez v umení, prírode, architektúre

Zlatý rez v geometrii Zlatý pomer tvoria uhlopriečka a strana pravidelného päťuholníka (využitie Ptolemaiovej vety)

Zlatá špirála Postupným skladaním štvrťkružníc, ktorých polomery sú v zlatom pomere (dĺžky strán opísaných štvorcov tvoria Fibonacciho postupnosť).

Zlatý kruh Plochy výsekov zlatého kruhu sú v zlatom pomere, ak stredový uhol menšieho z nich je približne 137,50

Zlatý kváder resp. . Z jeho šiestich stien sú štyri „zlaté obdĺžniky“. Pomer strán „zlatého kvádra“ je resp. . Z jeho šiestich stien sú štyri „zlaté obdĺžniky“. fi-1

Zlatý trojuholník Jedná sa o rovnoramenný trojuholník, pričom keď rozdelíme uhol pri vrchole C na polovicu a získame bod X, trojuholník CXB je podobný s pôvodným trojuholníkom Trojuholníky AXC (tupouhlý) a CBX (ostrouhlý) sa nazývajú Robinsonove trojuholníky, používajú sa na konštrukciu Penrosových dlaždíc

Konštrukcia zlatého rezu Bodom A vedieme kolmicu na úsečku AB Na nej zostrojíme bod X tak, aby sa veľkosť AB rovnala AX Zostrojíme bod Z ako stred úsečky AX Narysujeme úsečku ZB Na polpriamke ZA zostrojíme bod Y tak, aby sa ZY rovnalo ZB Na úsečke AB zostrojíme bod C tak, aby sa AC rovnalo AY

Fibonacciho postupnosť Rekurentne zadaná: Niekoľko členov: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144... Podiel členov postupne konverguje ku zlatému rezu

Leonardo z Pisy – Fibonacci (1175-1250) Jeho otca Giulielma (Viliam) prezývali Bonacci (dobrák) – Fibonacci Pomohol presadiť desiatkovú pozičnú sústavu Zoznámil sa s arabskými číslicami pri obchodných cestách po stredomorí 1202 – spísal svoje poznatky v knihe Liber Abacci – Kniha výpočtov (praktické aplikácie novej desiatkovej sústavy v účtovníctve, pri prevode jednotiek, pri počítaní úrokov a pod). Pomocou Fibonacciho postupnosti bola vyriešená úloha o rozmnožovaní králikov – pomenoval Edouard Lucas (19. stor.)

Fibonacciho čísla okolo nás Semienka slnečnice (Helianthus maximus) sú v kvete uložené v zlatých špirálach

Fibonacciho čísla okolo nás Morský mäkkýš (Nautilus) vytvára špirálovité schránky

Fibonacciho čísla okolo nás Listy popínavých rastlín rastú tak, že pomery počtu nových listov k počtu ovinutí stonky tvoria postupnosť Jedná sa o postupnosť čiastočných zlomkov aproximácie pomeru zlatého rezu Osi po sebe nasledujúcich listov zvierajú vždy uhol okolo 1370 (zlatý uhol), tým je zabezpečené najlepšie oslnenie - fylotaxia

Fylotaxia Náuka o usporiadaní listov na stonke Pomer počtu medzier medzi listami a počtom otočení pomyselnej špirály 8:5 topoľ, vŕba, hruška 5:3 dub, čerešňa, slivka, jabloň 13:8 mandľovník

Fibonacciho postupnosť okolo nás Veľa kvetín má počet okvetných lístkov usporiadaný podľa Fibonacciho postupnosti, napr. väčšina sedmokrások má 13, 21 alebo 34 okvetných lístkov Vo vrstvách šupín jedľovej šišky ich počty zodpovedajú Fibonacciho postupnosti

Fibonacciho postupnosť v Pascalovom trojuholníku