Finanční a pojistná matematika Prezentace obsahuje animovaná (pohyblivá) schémata, je nutné ji spouštět v aplikaci PowerPoint.

Úrok je odměna za propůjčení užívání kapitálu vyměřuje se v poměru ke kapitálu a k trvání propůjčeného užívání (Karel Engliš) Velikost (výše) úroku přímo závisí na velikosti kapitálu (jistině) délce trvání propůjčeného užívání kapitálu úrokové sazbě

Výpočet úroku Samotný výpočet úroku se liší podle typu úročení ▪ úročení jednoduché ▪ úročení složené času, kdy je úrok placen úročení předelhůtné (anticipativní) úročení polhůtné (dekurzivní )

Předelhůtné (anticipativní) úročení Jednoduché úročení postup výpočtu úroku, při kterém se částky úroku neúročí Složené úročení postup výpočtu úroku, při kterém se po uplynutí každého úrokovacího období úrok za toto období přičte k úročené částce a v dalších úrokovacích obdobích se spolu s ní také úročí Předelhůtné (anticipativní) úročení placení úroku ihned na počátku vztahu (úrokovacího období) prakticky se užívá jen ve spojení s jednoduchým úročením Polhůtné (dekurzivní) úročení placení úroku na konci vztahu (resp. koncem úrokovacích období) častější, užívá se jak s jednoduchým, tak složeným úročením

Kapitál - K ve finanční matematice vždy nějaký, definovaný objem peněz peníze ve dvou formách hotovostní (cash) bezhotovostní (např. platební karta, směnka) kapitál (peněžní částka) vstupem do finančních vztahů mění svou hodnotu (velikost) v čase Značení K0 – kapitál v čase t =0 současná hodnota – PV Kt – kapitál v čase t budoucí hodnota – FV Proces změny K0 Kt úročení K0 Kt diskontování

Čas - t je spojitá veličina, která popisuje trvání dějů, plyne nepřetržitě od minulosti přes současnost do budoucnosti. je vzhledem k úrokovacímu období relativní. Jedno úrokovací období = 1 jednotka času bez ohledu na to, jak dlouhé úrokové období zvolím (rok, půlrok, měsíc atd.) avšak při výpočtech nesmíme směšovat dohromady různě dlouhá úrokovací období (různé jednotky) t

Příklad: Vezměme období od 1. 1. 2004 do 30. 6 Příklad: Vezměme období od 1.1.2004 do 30.6.2006 včetně obou těchto dnů. Jak dlouho trvá toto období relativně při úrokovacím období jeden rok, jeden půlrok, jeden čtvrtrok? 2004 2005 2006 Jeden rok t =2,5 Jeden půlrok t =5 Jeden čtvrtrok t =10

Úrokovací období (jednotka času) Zkratka Z latinského Rok p.a. per annum Pololetí p.s. per semestre Čtvrtletí p.q. per quartale Měsíc p.m. per mensem Týden p.h. per hebdomadem Den p.d. per diem

Metody výpočtu délky časového intervalu jde o přepočet délky trvání časového intervalu ve dnech (d) na roky (na části roku) Anglická – zcela přesná, ale nejméně používaná Francouzská (bankovnická) – nejčastěji používaná zejména peněžními ústavy. (1 rok 360 dní) Německá (obchodnická) – nejjednodušší a nejméně přesná 1rok = 360 dní, 1 měsíc = 30 dní bez ohledu na skutečnou délku, tj. např. leden i únor se počítají po 30 dnech

Úroková sazba (úroková stopa) – i (resp. I) (polhůtná - označujeme i , předelhůtná - označujeme I ), vyjadřuje „poměr úroku ke kapitálu“, díl kapitálu za jednotku času (jedno úrokovací období) K0 K0 t = 0 Ut Ut t = 1 Kt

Úroková sazba (úroková stopa) – i (resp. I ) je reálné číslo, které se vztahuje k úrokovacímu období a představuje poměr úroku a kapitálu za toto úrokovací období, např. i = 0,15 p.a. (úrokovací období 1 rok). Úroková míra – p je úroková sazba vyjádřená v procentech, např. p = 15% p.a. (úrokovací období 1 rok) Vztah mezi úrokovou sazbou a úrokovou mírou Příklad:

Výpočet úroku při jednoduchém úročení polhůtném Kt U K0 t U = K0 ∙ i ∙ t K0 - kapitál v čase t =0 Kt – kapitál v čase t t - doba užívání kapitálu i - úroková sazba (úroková stopa) t

Výpočet úroku při jednoduchém úročení polhůtném 1 t 2 n-1 n i i i K0

Příklad Podnikatel si vypůjčil u přítele částku 400 000 Kč, kterou slíbil splatit naráz za rok a půl. Oba se dohodli na úrokové míře 8% p.a. a jednoduchém polhůtném úročení. Jakou celkovou částku (dluh s úroky) podnikatel za rok a půl předá příteli? Z rok a půl podnikatel vrátí příteli dluh i s úroky v celkové výši 448 000 Kč.

Výpočet úroku pomocí úrokových čísel a úrokových dělitelů využití zejména při vedení běžných účtů historicky se vyvinuly dva typy úrokových čísel a úrokových dělitelů

Kolik činí úrok z uloženého kapitálu za uvedené období? K + K - d UC + Příklad Máme kontokorentní účet, kde kladné zůstatky se úročí úrokovou mírou 1,5% p.a. a záporné 7,5% p.a. Po určité období byly na účtu následující zůstatky. Kolik činí úrok z uloženého kapitálu za uvedené období? K + K - d UC + UC - 12 000 25 300 000 30 1 035 000 34 500 7 500 14 105 000 9 000 20 180 000 13 000 12 156 000 Součet úrokových čísel UC+ = 1 491 000 Součet úrokových čísel UC- = 285 000 Úrok za uvedené období je 2,75 Kč.

Výpočet hodnoty kapitálu Kt při jednoduchém úročení polhůtném U = K0 ∙ i ∙ t Kt = K0 + U Kt = K0 + K0 ∙ i ∙ t Kt = K0 ∙ (1 + i ∙ t ) Příklad Vypůjčil jsem si u přítele na dobu ¾ roku částku 25 000 Kč. Dohodli jsme se na roční úrokové míře 8% p.a. a jednoduchém polhůtném úročení. Kolik korun celkem budu vracet? Kt = 25 000 ∙ (1 + 0,08 ∙ 0,75) = 26 500 Kč

Diskontování změna hodnoty kapitálu v čase, a to změna od budoucí hodnoty k současné hodnotě. (Budoucí hodnotu známe, většinou jde o nominální hodnotu cenného papíru.) Při jednoduchém úročení polhůtném platí (i) K0 Kt (PV) (FV) Bankovnický diskont Diskont „NA STO“ Užití: při výpočtu okamžité hodnoty vkladového listu nebo depozitního certifikátu Příklad: Občan chce koupit vkladový list s nominální hodnotou 50 000 Kč splatný za rok a půl a definované úrokové sazbě i = 0,02 p.a. Kolik za něj zaplatí?

Výpočet úroku a hodnoty kapitálu K při jednoduchém úročení předelhůtném K, U K0 Kt t = 0 K0 U U t = 1 t t Kt

Diskontování změna hodnoty kapitálu v čase, a to změna od budoucí hodnoty k současné hodnotě. (Budoucí hodnotu známe, většinou jde o nominální hodnotu cenného papíru.) Při jednoduchém úročení předelhůtném platí (I) K0 Kt (PV) (FV) Obchodnický diskont Diskont „ZE STA“ Užití: zejména při výpočtu okamžité hodnoty směnky Příklad: Obchodník vystavil směnku v nominální hodnotě 200 000 Kč, splatnou za půl roku. Jaká je její skutečná hodnota v okamžiku vystavení při vyhlášené eskontní míře 11% p.a.? Jakou bude mít za čtvrt roku?

Vztah mezi úrokovou sazbou polhůtnou a předelhůtnou Při jednoduchém úročení polhůtném platí Při jednoduchém úročení předelhůtném platí Pro t =1

Příklad Vypůjčil jsem si u dvou přátel, od každého 20 000 Kč na jeden rok. Oběma jsem navrhl, že po roce vrátím dlužnou částku a navrch k tomu 10% z částky jako úrok. První souhlasil, druhý však požadoval vyplatit úrok v této výši ihned. Která půjčka byla pro mě výhodnější? V prvním případě šlo o půjčku úročenou jednoduše polhůtně. p =10% p.a. → i = 0,1 p.a. V druhém případě šlo o předelhůtné úročení p =10% p.a. → I = 0,1 p.a. Výhodnější byla první půjčka.

Složené úročení polhůtné K Kn v praxi se předelhůtné složené úročení nepoužívá finanční vztah trvá několik úrokovacích období na konci každého úrokovacího období se úrok přičte ke kapitálu a dále se s ním úročí rozdíl mezi kapitálem Kn a K0 je úrok Un Un K3 Kn-1 K2 K1 K0 K0 1 2 3 n t

Výpočet hodnoty kapitálu Kn při složeném úročení polhůtném 2 n-1 i 1 n i i t K0 q – úročitel, kvocient geometrické řady, kterou vzrůstá kapitál v čase

Výpočet úroku při složeném úročení polhůtném Příklad Na kolik vzroste uložený kapitál ve výši 10 000 Kč za 5 let, který je úročen složeně polhůtně při úrokové míře 4% p.a.? Jak velký bude úrok? úroková sazba je i = 0,04 úrokovacích období je n =5 úročitel je

Příklad Na začátku roku uložený kapitál ve výši 81 000 Kč vrostl za šest let na hodnotu 114 900 Kč. Jak velká byla roční úroková míra, pokud se úročilo jednou ročně složeně. Roční úroková míra byla 6 % p.a.

Příklad Po čtyřech letech (po 4 úrokovacích obdobích) při úrokové míře 10% p.a. a složeném úročení kapitál nabyl hodnotu 43 923 Kč. Jak velký byl počáteční kapitál? v – odúročitel (diskontní faktor), kvocient geometrické řady, kterou klesá kapitál v čase úroková sazba je i = 0,1 úrokovacích období je n =4 odúročitel je

Področní složené úročení a efektivní úroková míra Příklad Klient vlastní běžný účet, který je úročen 1,2% p.a. a úroky se připisují měsíčně (a dále se úročí). Jaká je pro něj efektivní roční úroková míra? vyhlášená roční úroková sazba i = 0,012 p.a. kdyby se připisovalo 1 ročně měsíční úroková sazba ale připisuje se měsíčně efektivní roční úročitel qr.ef. Efektivní roční úroková míra je pr.ef. = 1,2066% p.a.

Kombinované úročení takový způsob úročení, při kterém se uvnitř jednotlivých úrokovacích období úročí podle principu jednoduchého úročení, při přechodu do následujícího úrokovacího období se úroky za končící úrokovací období připíší k jistině a s tou se dále úročí. v praxi pravděpodobně nejčastěji užívaný způsob úročení úrokovací období v praxi totiž často není stanoveno pouze svou délkou, ale také „přesným umístěním“ do kalendáře. Tak například úrokovací období „jeden rok“ je dáno jednoznačně od 1.1. do 31.12. Například: vklad uložený na vkladní knížce po dobu tří měsíců v případě, že je uložený od 1.5. do 31.8. (přesně 123 dní), se úročí jednoduše je uložený od 1.10. do 31.1. (přesně 123 dní), se úročí kombinovaným způsobem K K V VI VII VIII t X XI XII I t

Pravidelné platby počátkem, resp. koncem úrokovacích období splátkové období a úrokovací období spolu splývají vždy budeme mít na mysli složené úročení s  úrokovou sazbou i, úročitelem odúročitelem přičemž všechny tyto vzájemně související veličiny se budou vztahovat k délce uvažovaného úrokovacího období.

Konečné hodnoty jednotkových důchodů při polhůtném placení Po n období budeme pravidelně na konci každého období vkládat jednotku kapitálu při úrokové sazbě i. Kolik budeme mít na konci n-tého období po připsání posledního úroku? (Úročíme složeně.) 2 1 3 n-2 n-1 n ? i Připomeňme si základní vztah

Jedná se o součet geometrické řady 1 2 3 n-2 n-1 n q q q q q ? 1 1 1 1 1 1 1 Jedná se o součet geometrické řady Obecný vzorec pro výpočet součtu geometrické řady V našem případě Tedy Konečná hodnota jednotkového polhůtného důchodu (placeného po n období při úrokové sazbě i)

Příklad Pravidelně na konci úrokovacího období ukládám částku 30 000 Kč při úrokové míře 2% p.a. Kolik budu mít nastřádáno za čtyři roky (na začátku pátého roku), kolik za 10 let? Kdybychom ukládali 1 Kč, měli bychom za 4 roky Ukládáme však 30 000 Kč, máme tedy Za deset let budeme mít Obecně tedy platí

Kolik musíme pravidelně polhůtně ukládat (jaké částky a), chceme-li při úrokové sazbě i nastřádat za n období právě 1 (jednu jednotku kapitálu)? „střadatel polhůtný“ Je to velikost splátek polhůtného důchodu (placeného po dobu n úrokovacích období při úrokové sazbě i ), jehož konečná hodnota je právě 1. 1 2 3 n-2 n-1 n i i i i i 1

Příklad Kolik musím pravidelně polhůtně (koncem roku) ukládat po dobu tří let, abych si mohl pořídit garsonku v předpokládané ceně 600 000 Kč, jestliže i =0,03 p.a. a úročí se složeně ročně? Kdyby garsonka stála 1 Kč, pak by velikost splátky byla: Ale protože předpokládaná cena je 600000 krát větší, i splátka bude 600000 krát větší

Koncové hodnoty jednotkových důchodů při předelhůtném placení Po n období budeme pravidelně na začátku každého období ukládat jednotku kapitálu při úrokové sazbě i. Kolik budeme mít na konci n-tého období po připsání posledního úroku? (Úročíme složeně.) n -1 1 2 3 n-2 n-1 i i i i i ? 1 1 1 1 1 1 Konečná hodnota jednotkového předelhůtného důchodu (placeného po n období při úrokové sazbě i)

Příklad Pravidelně na začátku úrokovacího období ukládám částku 30 000 Kč při úrokové míře 2% p.a. Kolik budu mít nastřádáno za čtyři roky (na počátku pátého roku), kolik za 10 let? Kdybychom ukládali 1 Kč, měli bychom za 4 roky Ukládáme však 30 000 Kč, máme tedy Za deset let budeme mít Obecně tedy platí při předelhůtném ukládání konstantních částek a při úrokové sazbě i po n úrokovacích období

Kolik musíme pravidelně předelhůtně ukládat, chceme-li při úrokové sazbě i nastřádat za n období právě 1 (jednu jednotku kapitálu)? „střadatel předelhůtný“ Je to velikost splátek předelhůtného důchodu (placeného po dobu n úrokovacích období při úrokové sazbě i ), jehož konečná hodnota je právě 1. 1 2 3 n-2 n-1 n i i i i i 1

Příklad Kolik musím pravidelně předelhůtně (počátkem roku) ukládat po dobu tří let, abych si mohl pořídit garsonku v předpokládané ceně 600 000 Kč, jestliže i =0,03 p.a. a úročí se složeně ročně? Kdyby garsonka stála 1 Kč, pak by velikost splátky byla: Ale protože předpokládaná cena je 600 000 krát větší, i splátka bude 600 000 krát větší

Počáteční hodnota jednotkového polhůtného důchodu Kolik musíme na počátku vztahu jednorázově vložit (mít k dispozici), abychom mohli vyplatit n jednotkových polhůtných splátek (právě n splátek a nic víc, vyplacením poslední jednotky vztah zanikne) při úrokové sazbě i a složeném úročení? 1 2 3 n-2 n-1 n q q q q q t ? 1 1 1 1 1 1 q q q q q t 1 2 3 n-2 n-1 n

Příklad Odjíždíme na tři roky do ciziny a chceme přispět na životní náklady svým rodičům, již starobním penzistům, tak, aby jim banka ročně polhůtně vyplatila důchod (splátku) ve výši 36 000 Kč (jde celkem o tři splátky). Jakou celkovou částku musíme v bance při úrokové sazbě i = 0,035 složit, aby vyplacením poslední splátky na účtu nezůstalo nic? Kdyby banka vyplácela 1 Kč, tak velikost počátečního vkladu by byla Ale banka má vyplácet 36 000 krát větší částku, to znamená že počáteční vklad musí být také 36 000 krát větší

Počáteční hodnota jednotkového předelhůtného důchodu Kolik musíme na počátku vztahu jednorázově vložit (mít k dispozici), abychom mohli vyplatit n jednotkových předelhůtných splátek (právě n splátek a nic víc, vyplacením poslední jednotky vztah zanikne) při úrokové sazbě i a složeném úročení? 1 2 3 n-2 n-1 n q q q q q t ? 1 1 1 1 1 1 q q q q q t 1 2 3 n-2 n-1 n

Příklad Odjíždíme na tři roky do ciziny a chceme přispět na životní náklady svým rodičům, již starobním penzistům, tak, aby jim banka ročně předelhůtně vyplatila důchod (splátku) ve výši 36 000 Kč (jde celkem o tři splátky). Jakou celkovou částku musíme v bance při úrokové sazbě i = 0,035 složit, aby vyplacením poslední splátky na účtu nezůstalo nic? Kdyby banka vyplácela 1 Kč, tak velikost počátečního vkladu by byla Ale banka má vyplácet 36 000 krát větší částku. To znamená, že počáteční vklad musí být také 36 000 krát větší.

„Umořovatel polhůtný“ Předpokládejme, že na počátku vztahu máme kapitál. Chceme tento kapitál použít k vyplacení n polhůtných splátek tak, aby se při vyplacení poslední n-té splátky právě vyčerpal (čímž vztah zanikne). Kolik mají činit jednotlivé splátky, je-li pod celou dobu vztahu stejná úroková sazba i? 1 2 3 n-2 n-1 n q q q q q t K0 1 ? ? ? ? ? ? Velikost splátek polhůtného důchodu (placeného po dobu n úrokovacích období při úrokové sazbě i ), kterými se umoří počáteční dluh 1 (včetně uhrazení úroků). „Umořovatel polhůtný“

„Umořovatel předelhůtný“ Předpokládejme, že na počátku vztahu máme kapitál. Chceme tento kapitál použít k vyplacení n předelhůtných splátek tak, aby se při vyplacení poslední n-té splátky právě vyčerpal (čímž vztah zanikne). Kolik mají činit jednotlivé splátky, je-li pod celou dobu vztahu stejná úroková sazba i? 1 2 3 n-2 n-1 n q q q q q t K0 1 ? ? ? ? ? ? Velikost splátek předelhůtného důchodu (placeného po dobu n úrokovacích období při úrokové sazbě i ), kterými se umoří počáteční dluh 1 (včetně uhrazení úroků). „Umořovatel předelhůtný“

Příklad Občan ve věku 50 let vyhrál ve sportce 15 milionů Kč Příklad Občan ve věku 50 let vyhrál ve sportce 15 milionů Kč. Předpokládá, že se dožije 80 let, a chtěl by do konce života tuto částku rovnoměrně utratit. Peníze uloží při úrokové sazbě i = 0,04 a s bankou se dohodne na předelhůtném vyplácení stejných splátek po dobu 30 let. Jak velké to budou splátky?

Daň z úroku V ČR výnos z úroků podléhá státní dani. 15% z úroku připadne státu, 85% věřiteli. Všechny principy a uvedené postupy finančnických výpočtů zůstávají stejné, pouze úroková sazba i se nahradí tzv. efektivní úrokovou sazbou e. Řešení předchozího příkladu (občan, který vyhrál 15 mil. Kč) V důsledku 15% zdanění velikost splátek bude o 55 187 Kč menší.

Splácení půjček při složeném polhůtném úročení zpravidla se jedná o střednědobé nebo dlouhodobé výpůjčky konkrétní podmínky splácení závisí na dohodě mezi věřitelem a dlužníkem sestavuje se zpravidla splátkový kalendář (aby se předešlo nejasnostem) Základní typy splácení (umořování) dluhu triviální - po uplynutí sjednané doby výpůjčky dlužník vrací dluh i s úroky po uplynutí každého úrokovacího období dlužník zaplatí úrok za toto období, na konci sjednané doby vrací dluh i s úrokem za poslední úrokovací období Příklad: Vypůjčím si 1000 Kč při i = 0,03. Úroky budu platit polhůtně každý rok, dluh splatím za 5 let. 1 2 3 4 5 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 1 000 30 30 30 30 1 030 netriviální - splácení s konstantní částkou na úmor dluhu - splácení s konstantní anuitou

Splácení s konstantní částkou na úmor dluhu Příklad Občan si v bance vypůjčí 300 000 Kč při úrokové míře 12% p.a. a ročním složeném úročení. Půjčku splatí polhůtnými konstantními částkami na úmor dluhu ve výši 100 000 Kč. Sestavte do tabulky umořovací plán půjčky. Čas Zbytek dluhu Úrok Úmor Anuita 1 2 3 300 000 200 000 36 000 100 000 136 000 100 000 24 000 100 000 124 000 12 000 100 000 112 000

Splácení s konstantní anuitou Příklad Občan si v bance vypůjčí 300 000 Kč při úrokové míře 12% p.a. a ročním složeném úročení. Půjčku splatí polhůtnými konstantními anuitami ve výši 100 000 Kč. Sestavte do tabulky umořovací plán půjčky. Čas Zbytek dluhu Úrok Úmor Anuita 1 2 3 300 000,00 100 000,00 236 000,00 36 000,00 64 000,00 100 000,00 164 320,00 28 320,00 71 680,00 19 718,40 80 281,60 100 000,00 84 038,40 4 94 123,01 10 084,61 84 038,40

Základy pojistných výpočtů Nadstavba nad finančními výpočty Jsou to operace, ve kterých důležitou roli hraje pravděpodobnost výskytu nějaké události, se kterou je spojena změna finančního vztahu mezi subjekty. Základní vzorec pro výpočet pravděpodobnosti počet příznivých případů počet všech možných případů Nejistota událostí, na nichž je založeno pojištění, se vyznačuje jistou dlouhodobější stabilitou, vyjádřenou zákony hromadných jevů. Potřebné údaje se získávají z dlouhodobých statistik. Pro naše výpočty pak potřebné hodnoty pravděpodobností budeme získávat z upravených úmrtnostních tabulek.

Existuje široká škála jednotlivých druhů pojištění Osobní Věcné Smluvní Nucené Životní Škodové Rezervotvorné Nerezotvorné aj. My budeme hovořit pouze o osobním životním pojištění: pojištění důchodu pojištění na dožití pojištění na úmrtí - smíšené pojištění na úmrtí a dožití Důchody - okamžité odložené jednorázové - doživotní - dočasné Pojištění placené - jednorázově - ve splátkách (prémie) Základní princip pojistného hospodaření Čisté příjmy pojišťovny  Očekávaná vydání pojišťovny

Úmrtnostní tabulky - základní pojmy lx počty žijících ve věku x dx počet zemřelých od věku x do věku x+1 (meziroční úbytek) px pravděpodobnost, že jedinec ve věku x se dožije věku x+1 qx pravděpodobnost, že jedinec ve věku x se nedožije věku x+1 Příklad Jaká je pravděpodobnost, že 20 letý se dožije 50 let? Jakou čistou jednorázovou pojistnou prémii by měl tento 20-letý při 4% p.a. pojistně-technické úrokové míře zaplatit, chce-li se pojistit na dožití 50 let, kdy by mu pojišťovna měla vyplatit 500 000 Kč? diskontujeme Čistá pojistná prémie

Komutační čísla Počáteční hodnota doživotního ročního (t.j. jednou ročně vypláceného) předelhůtného jednotkového důchodu x x+1 x+2 ω -1 ω i i i 1 1 1 1 1 lx·ax lx lx-1 lx-2 lω-1 lω První komutační číslo počet x-letých diskontovaný k nule

Další komutační číslo, součet komutačních čísel od Dx do Dω Druhé komutační číslo diskontovaný meziroční počet zemřelých Další komutační číslo, součet komutačních čísel od Cx do Cω

Pojištění na dožití Příklad 45-letý muž uzavřel s pojišťovnou smlouvu na dožití se 60 let, kdy mu má pojišťovna vyplatit 400 000 Kč. A pokud se dožije 70 let, tak mu pojišťovna vyplatí dalších 800_000 Kč. Jakou zaplatí celkovou čistou jednorázovou pojistnou prémii?

Pojištění důchodu Příklad Jakou částkou (čistou jednorázovou pojistnou prémií) si 50-letý muž pojistí doživotní odložený předelhůtný roční důchod ve výši 20 000 Kč od věku 65 let? Příklad Jakou částkou (čistou jednorázovou pojistnou prémií) si 48-letý muž pojistí dočasný odložený předelhůtný roční důchod ve výši 30 000 Kč od věku 60 let do věku 70 let?

Pojištění na úmrtí Příklad 35-letý odjíždí na roční montáž do exotické krajiny. Uzavře s pojišťovnou smlouvu, že pokud do roka zemře, vyplatí pojišťovna pozůstalým částku 1 000 000 Kč. Jakou čistou pojistnou prémii pojišťovně zaplatí? Vzhledem k tomu, že taková cesta zpravidla představuje mnohem vyšší riziko úmrtí, než kdyby klient zůstal doma, pojišťovna k čisté pojistné prémii si ještě připočítá rizikový příplatek ve výši 75%, dále 600 Kč za sepsání pojistné smlouvy. Celkovou částku pojišťovna zaokrouhlí na celé desetikoruny nahoru. Kolik činí hrubá pojistná prémie?

Pojištění na úmrtí Příklad Jakou částkou (čistou jednorázovou pojistnou prémií) se 45-letý muž pojistí, že pokud od 50 do 75 let, včetně, zemře, pojišťovna vyplatí pozůstalým 500 000 Kč? Příklad Jakými deseti předelhůtnými prémiemi, placenými pokud žije, si dnes 40-letý zaplatí pojištění na úmrtí, že pokud do věku 60 let zemře, pojišťovna vyplatí pozůstalým částku 1 000 000 Kč?

Smíšené pojištění na dožití a na úmrtí Příklad 50-letý muž uzavře s pojišťovnou smlouvu, že pokud se dožije věku 65 let, pojišťovna mu jednorázově vyplatí částku 500 000 Kč, pokud do 65 let zemře, pozůstalým vyplatí 900 000 Kč. Jakou čistou jednorázovou pojistnou prémii muž pojišťovně zaplatí?