KMT/DIZ2 Číselné obory na ZŠ (číslo a číslice, různé významy čísla, vytváření pojmu přirozené číslo)

číslice (cifra) = znak, symbol, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Číslo x číslice Jaký je rozdíl mezi číslem a číslicí? číslice (cifra) = znak, symbol, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 číslo – zapisováno pomocí cifer, vyjadřuje počet 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 10,11,12, …, 99 100,101, …, 999, …………………..

– hodně, mnoho, málo, několik, strašně, děsně, fůra, ažaž Různé významy čísla Jaký význam může mít číslo? Uveďte několik vět, v nichž bude mít číslo různý význam. 1. kvantita neurčitá – hodně, mnoho, málo, několik, strašně, děsně, fůra, ažaž – mám sto chutí, tisíce nápadů, za sedmero horami a sedmero řekami určitá – počet objektů (osm opic) – veličina (dvacet dva kilogramů)

Různé významy čísla 2. identifikátor jméno, kód (náhodné označení) – telefonní číslo, PIN, rodné číslo, označení linky MHD, startovní číslo adresa (pořadí, uspořádání) – orientační čísla domů, 17. 11., osmé poschodí, čísla pokojů, body na číselné ose

Různé významy čísla 3. operátor porovnávání – Petr měří o 5 cm méně než Pavel. změny – Nezaměstnanost absolventů se oproti předchozímu roku o pětinu zvýšila. části – třetina dětí

Vytváření pojmu přirozené číslo Kardinálně -množinám se stejným počtem prvků je přiřazeno jedno kardinální číslo -rozdělení systému M = {A, B, …} na základě relace „množina A má stejně prvků jako množina B“ („množina A je ekvivalentní mn.B“) -„stejná početnost“ se zjistí přiřazováním prvků jedné množiny prvkům druhé množiny (bijekce) Ordinálně -ordinální číslo je přiřazeno dobře uspořádaným množinám -dvě množiny mají stejné ordinální číslo, když mezi nimi existuje bijekce, v níž pořadí vzorů určuje pořadí obrazů. („množina A je podobná množině B“) Kardinálně Ordinálně  číselné představy vázané na pořadí – ordinální představa (posloupnost, sukcese) číselné představy vázané na počet jako celek – kardinální (gestalt, tvar)

slyší číslovky a čísla mezi ostatními slovy Vytváření pojmu číslo 1. pasivně slyší číslovky a čísla mezi ostatními slovy 2. zárodky číselných představ oddělí číslovky a čísla od ostatních slov, cca 2 roky 3. vytváření představy množství neurčitá kvantita, porovnávání množství, méně, více větší, menší 4. etapa separovaných modelů počítání objektů po jedné (3 kostky x 3 sušenky) 5. první abstrakční zdvih u počítaných předmětů není barva a tvar podstatný dosavadní modely lze nahradit univerzálními číslo – abstraktní pojem, nelze vnímat smysly, smysly lze vnímat jen reprezentanty čísla říkanka – auditivní reprezentace čísla objekty – vizuální reprezentace po zdvihu –zařazení pojmu do struktury

Vytváření pojmu číslo 6. etapa univerzálních (generických) modelů počítání na prstech, počitadle správné přiřazení slov k počítaným objektům 7. druhý abstrakční zdvih jeden model zastupující číslo 8. etapa abstrakce s číslem pracuje v představě, bez konkrétních objektů, číslo je možno nahradit symbolem

KMT/DIZ2 PŘIROZENÁ ČÍSLA Co je dělitelnost? (dělitelnost) dělitelnosti na 1. st. ZŠ násobek a dělitel vlastnosti dělitelnosti součtu, rozdílu a součinu dvou čísel kritéria/znaky dělitelnosti nsn, NSD pojmy – násobek, dělitel, prvočíslo, složené číslo, soudělná a nesoudělná čísla, základní věta aritmetiky kritéria – 10, 5,2,3x4,9,20,25,50, 6,12 Proč potřebujeme

Co znají o dělitelnosti děti na 1. st. ZŠ malá a velká násobilka

Co znají o dělitelnosti děti na 1. st. ZŠ algoritmus písemného násobení dvou libovolných přirozených čísel algoritmus dělení libovolného přirozeného čísla jednociferným (dvojciferným) číslem sudé a liché číslo

– cena různého množství zboží při dané ceně za jednotkové množství Dělitelnost na 2. stupni Jak lze motivovat pojem násobku a dělitele? 1. násobek – cena různého množství zboží při dané ceně za jednotkové množství – skoky o stejný počet polí – posloupnost násobků 5, 6, 7, … 2. dělitel – rozdělení objektů do skupin o stejném počtu objektů – např. rozdělování 12 žáků do družstev po 2, 3, 4 … Základní pojmy – upřednostňovat „násobek“, „dělitel“ vystupuje v M ve dvou různých významech (dělitel – číslo, kterým dělíme a podíl vyjde bez zbytku, ale i číslo, kterým dělíme bez ohledu na podíl) Dělitel – při reálném dělení (asi 3. třída – dělení se zbytkem) modely – říkanka, kolotoč, tabulka číslo je dělitelné beze zbytku jiným číslem – 1) přímé vydělení, 2) kritéria dělitelnosti, 3) rozklad na součin prvočísel [CP6] Pomocí předchozích pojmů vyjádřete třemi různými způsoby vztah: a = b . c

Dělitelnost na 2. stupni - vlastnosti Co platí pro dělitelnost součtu, rozdílu a součinu dvou čísel? Jestliže jsou oba sčítance dělitelné daným číslem, je tímto číslem dělitelný i jejich součet. Jsou-li dvě čísla dělitelná daným číslem, je tímto číslem dělitelných i jejich rozdíl. Je-li v součinu několika čísel aspoň jeden z činitelů dělitelný daným číslem, je jím dělitelný i celý součin. [HKDělitelnost]

Dělitelnost na 2. stupni - vlastnosti Znaky dělitelnosti – 10, 5, 2, 3 – 6, 9, 4, 8,100, 1 000, 20, 25, 50, 12 kritéria dělitelnosti 10 a 5 - induktivní přístup (1) násobení („Vypočti součiny …“) (2) dělení beze zbytku („Která čísla můžeme vydělit…“) kritéria dělitelnosti založená na ciferných zápisech čísel – nejprve vyřešit několik úloh týkajících se cifer daného čísla (1) „Najdi dvojciferná čísla s ciferným součtem …“ „Vytvoř z cifer 2, 3, 4 číslo dělitelné …“ (2) „Jaký je ciferný součet čísla, které je rozdílem 4ciferného čísla s ciferným součtem 9 a trojciferného čísla s cif. součtem 9?“ (3) „Pro jakou cifru * je 31 52* … dělitelné …“ znaky dělitelnosti – motivace násobení 10, ?Jde vydělit beze zbytku? Nápověda, čeho si mám všímat – poslední cifra Důležitější než odříkávání pravidel je jejich vyvození – hlubší pohled do struktury 10tkové soustavy – až pomocí písmen Znaky dělitelnosti nepřinášejí pro malá přirozená čísla žádnou úsporu. [Hk] – vyvozují nejprve dělitelnost 9, pak 3

Dělitelnost na 2. stupni - postupy Rozklad na součin prvočísel – „strom“ – „tabulka“ Nejmenší společný násobek – př. závody do schodů – postupy určení (definice, rozklad, užití n.D = a.b) – n(12, 18); n(54, 72) Největší společný dělitel – postupy určení (definice, rozklad, Eukleidův algoritmus) – D(12,18), D(648,1 092)