Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic Počet operací v násobení dvou matic ... ... ... ...  ... ... = ... b ... ... a ... ... ... a ... ... ... ... ... ... ... ... c ... ... b c  = 1 ... b b ... 1 b operací násobení pro výpočet jednoho prvku výsledné matice a * c prvků ve výsledné matici Vynásobení dvou matic o rozměrech ab a bc vyžaduje celkem a * b * c operací násobení dvou prvků (čísel). Sčítání zde neuvažujeme, lze pro něj vyvinout analogický postup.

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic Příklad násobení více matic 30 + 24 = 54 op. 40 + 60 = 100 op. 3 3 4 4 3* 2 * 4 = 24 op. 5 * 3 * 4 = 60 op. 2 3 3 5 4 5 2 4 5 * 3 * 2 = 30 op. 0 op. 0 op. 2 * 5 * 4 = 40 op. 2 2 3 3 5 5 4 4 5 5 2 2

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic A1 = A2 = A3 = 2 3 5 4 5 2 Součin (A1  A2)  A3 vyžaduje 54 operace násobení . Součin A1  (A2  A3) vyžaduje 100 operací násobení. Evidentně, na způsobu uzávorkování záleží . Catalanova čísla CN Součin A1  A2  A3  ...  AN lze uzávorkovat CN = Comb(2N, N) / (N+1) způsoby. C1, C2, ..., C7 = 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132. CN > 2N pro N > 7. V obecném případě by mělo vyzkoušení všech uzávorkování exponenciální složitost.

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic Ilustrace 14 různých způsobů uzávorkování součinu 5 činitelů A1  (A2  (A3  (A4  A5))) A1  (A2  ((A3  A4)  A5)) A1  ((A2  A3)  (A4  A5)) A1  ((A2  (A3  A4))  A5) A1  (((A2  A3)  A4)  A5) (A1  A2)  (A3  (A4  A5)) (A1  A2)  ((A3  A4)  A5) (A1  (A2  A3))  (A4  A5) ((A1  A2)  A3)  (A4  A5) (A1  (A2  (A3  A4)))  A5 (A1  ((A2  A3)  A4))  A5 ((A1  A2)  (A3  A4))  A5 ((A1  (A2  A3))  A4)  A5 (((A1  A2)  A3)  A4)  A5

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic Instance úlohy Máme spočítat co nejefektivněji součin reálných matic A1  A2  A3  A4  A5  A6, kde rozměry jednotlivých matic jsou po řadě 30  35, 35  15, 15  5, 5  10, 10  20, 20  25. (Výsledná matice D má rozměr 30  20). Grafická podoba (dimenze matic ve správném poměru) A1 A2 A3 A4 A5 A6 D      = Instance převzata z [CLRS], kap. 15.

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic A1 A2 A3 A4 A5 A6 D      = Sledujeme jen počet operací součinu dvou reálných čísel. Uvažujeme různé možnosti uzávorkování a tím i pořadí výpočtu. metoda Výraz Počet operací zleva doprava ((((A1  A2)  A3)  A4)  A5)  A6 43 500 zprava doleva A1  (A2  (A3  (A4  (A5  A6)))) 47 500 nejhorší A1  ((A2  ((A3  A4)  A5))  A6) 58 000 nejlepší (A1  (A2  A3))  ((A4  A5)  A6) 15 125

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic A1  (A2  A3  A4 ...  AN-1  AN) (A1  A2)  (A3  A4 ...  AN-1  AN) (A1  A2  A3)  (A4 ...  AN-1  AN) N  1 možných míst, v nichž výraz rozdělíme a provedeme poslední násobení (A1  A2  A3  A4)  ( ...  AN-1  AN) . . . (A1  A2  A3  A4  ...)  (AN-1  AN) (A1  A2  A3  A4  ...  AN-1)  AN Předpokládejme, že máme předpočítáno optimální uzávorkování pro každý modrý úsek celkového výrazu.

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic A1  (A2  A3  A4 ...  AN-1  AN) = B[1,1]  B[2,N] (A1  A2)  (A3  A4 ...  AN-1  AN) = B[1,2]  B[3,N] (A1  A2  A3)  (A4 ...  AN-1  AN) = B[1,3]  B[4,N] (A1  A2  A3  A4)  ( ...  AN-1  AN) = B[1,4]  B[5,N] . . . . . . (A1  A2  A3  A4  ...)  (AN-1  AN) = B[1,N-2]  B[N-1,N] (A1  A2  A3  A4  ...  AN-1)  AN = B[1,N-1]  B[N,N] Matice B[i, j] představuje výsledek vynásobení odpovídajícího úseku. Nechť r(X) resp. s(X) představují počet řádků resp sloupců matice X. Podle pravidel násobení matic platí r(B[i, j]) = r(Ai), s(B[i, j]) = s(Aj), pro 1 ≤ i ≤ j ≤ N.

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic Nechť MO[i, j] představuje minimální počet operací potřebných k výpočtu matice B[i, j], tj. minimální počet operací potřebných k výpočtu matice Ai  Ai+1  ...  Aj-1  Aj. B[1,1]  B[2,N] MO[1,1] + r(A1)*s(A1)*s(AN) + MO[2, N] B[1,2]  B[3,N] MO[1,2] + r(A1)*s(A2)*s(AN) + MO[3, N] B[1,3]  B[4,N] MO[1,3] + r(A1)*s(A3)*s(AN) + MO[4, N] . . . B[1,N-2]  B[N-1,N] MO[1,N-2] + r(A1)*s(AN-2)*s(AN) + MO[N-1, N] B[1,N-1]  B[N,N] MO[1,N-1] + r(A1)*s(AN-1)*s(AN) + MO[N, N] operací v levém úseku operací při násobení B[1,.]  B[.,N] operací v pravém úseku Celkem dostáváme MO[1,N]: MO[1,N] = min {MO[1,k] + r(A1)*s(Ak)*s(AN) + MO[k+1, N] | k = 1..N-1}

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic MO[1,N] = min {MO[1,k] + r(A1)*s(Ak)*s(AN) + MO[k+1, N] | k = 1..N-1} Za předpokladu znalosti MO[i, j] pro úseky kratší než [1, N], lze řešení celé úlohy, tj. hodnotu MO[1, N], spočíst v čase (N). (*) Rekurentní využití řešení menších podúloh Identické úvahy, jaké jsme provedli pro celý výraz A1  A2  A3  ...  AN , provedeme rovněž pro každý jeho souvislý úsek ... AL  AL+1  ...  AR-1  AR ..., 1 ≤ L ≤ R ≤ N. Počet těchto souvislých úseků je stejný jako počet dvojic indexů (L, R), kde 1 ≤ L ≤ R ≤ N. Ten je roven Comb(N, 2)  (N2). Podúlohu na úseku (L, R) lze spočíst podle (*) v čase O(N), celou úlohu tak lze vyřešit v čase O(N3).

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic * MO[L,R] = min {MO[L,k] + r(AL)*s(Ak)*s(AR) + MO[k+1,R] | k = L..R-1} Hodnoty MO[L,R] ukládáme do 2D pole na pozici s indexy [L][R]. Při výpočtu MO[L,R] podle používáme vesměs hodnoty MO[x,y], kde rozdíl y - x (odpovídající délce podvýrazu) je menší než rozdíl R - L. Tabulku DP proto vyplňujeme v pořadí rostoucích rozdílů R - L. 0. Vyplníme prvky s indexy[L][R], kde R-L = 0, to je hlavní diagonála. 1. Vyplníme prvky s indexy[L][R], kde R-L = 1, to je diagonála těsně nad hlavní diagonálou. 2. Vyplníme prvky s indexy[L][R], kde R-L = 2, to je diagonála těsně nad předchozí diagonálou. ... N-1. Vyplníme prvek s indexem [L][R], kde R-L = N-1, to je pravý horní roh tabulky. *

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic Schéma postupu výpočtu R - L = 0 R - L = 1 R - L = 2 R - L = 3 R - L = N-2 R - L = N-1 Stop

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic MO[L,R] = min {MO[L,k] + r(AL)*s(Ak)*s(AR) + MO[k+1,R] | k = L..R-1} Ukázka postupu výpočtu MO[3,8] = min { MO[3,3] + r(A3)*s(A3)*s(A8) + MO[4,8], MO[3,4] + r(A3)*s(A4)*s(A8) + MO[5,8], MO[3,5] + r(A3)*s(A5)*s(A8) + MO[6,8], MO[3,6] + r(A3)*s(A6)*s(A8) + MO[7,8], MO[3,7] + r(A3)*s(A7)*s(A8) + MO[8,8]} Označme P[L, R] := r(AL)*s(AR). Potom 0 + s(A3)*P[3,8] + w, a + s(A4)*P[3,8] + x, b + s(A5)*P[3,8] + y, c + s(A6)*P[3,8] + z, d + s(A7)*P[3,8] + 0}. MO 8 3 3 a b c d w x y z

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic Instance úlohy A1 A2 A3 A4 A5 A6 D      = 30  35 35  15 15  5 5  10 10  20 20  25 30  25 MO 1 2 3 4 5 6 1 0 15750 7875 9375 11875 15125 2 0 0 2625 4375 7125 10500 3 0 0 0 750 2500 5375 4 0 0 0 0 1000 3500 5 0 0 0 0 0 5000 6 0 0 0 0 0 0 optimum

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic MO[L,R] = min {MO[L,k] + r(AL)*s(Ak)*s(AR) + MO[k+1,R] | k = L..R-1} Při určení MO[L,R] do rekonstrukční tabulky RT stejné velikosti jako MO zaneseme na pozici [L][R] hodnotu k, v níž minimum nastalo. Hodnota k určuje optimální rozdělení výrazu na dva menší optimálně uzávorkované výrazy Hodnota RT[1, N] určuje optimální rozdělení celého výrazu na první dva menší optimálně uzávorkované výrazy Dále rekonstrukce optimálního uzávorkování pokračuje rekurzivně analogicky Rekonstrukce uzávorkování * * (AL  AL+1  ...  AR) (AL  AL+1  ...  Ak)  (Ak+1  Ak+2  ...  AR) A1  A2  ...  AN (A1  A2  ...  Ak)  (Ak+1  Ak+2  ...  AN). pro výraz (A1  A2  ...  Ak) a pro výraz (Ak+1  Ak+2  ...  AN) a dále pro jejich podvýrazy atd.

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic RT 1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 3 3 3 2 0 0 2 3 3 3 3 0 0 0 3 3 3 4 0 0 0 0 4 5 5 0 0 0 0 0 5 6 0 0 0 0 0 0 A1 A6 A2 A3 A4 A5 A1 A6 A1 (A1  (A2  A3))  ((A4  A5)  A6) D  = A1 A3 A4 A6 A1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A6

Optimální pořadí násobení matic A4B33ALG 2015/11 Optimální pořadí násobení matic Odvození asymptotické složitosti Počet buněk, z nichž je počítán obsah dané buňky v DP tabulce, je úměrný složitosti výpočtu obsahu této buňky. index řádku Řádkové součty 1/2 * (N1) * N 1 2 3 N3 N2 N1 k = N1 1/2 * (N2) * (N1) 1 2 N4 N3 N2 k = N2 1/2 * (N3) * (N2) 1 N5 N4 N3 k = N3 k = k 1/2 * k * (k+1) 1 Nk2 Nk1 Nk k = 3 1/2 * 3 * 4 1 2 3 k = 2 1/2 * 2 * 3 1 2 k = 1 1/2 * 1 * 2 1 Celkový součet 1/2 * k * (k+1) =  N-1 k=1 1/2 * k2 +  N-1 k=1 1/2 * k  N-1 k=1 = 1/2 * (N1) * N * (2N1)/6 + 1/2 * (N1) * N/2  (N3)