MATEMATIKA Kombinace Příklady

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-09-09_Kombinace-Priklady Autor: Mgr. Stanislav Prucek Tematický okruh: Matematika Ročník: II. Datum tvorby: červenec 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek

KOMBINACE Příklady ? Určete, kolika způsoby může 20 sportovců v oddíle vytvořit pětičlenné družstvo. Jde o pětici osob, kde nezáleží na uspořádání a každá osoba je v této pětici nejvýše jednou. Jde o kombinaci páté třídy z 20 prvků. 𝑪 𝟓 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 𝟓 = 𝟐𝟎! 𝟓!(𝟐𝟎−𝟓)! = 𝟐𝟎! 𝟓!𝟏𝟓! =𝟏𝟓𝟓𝟎𝟒 Pro vytvoření pětičlenného družstva máme 15504 možností.

Fotbalového turnaje se zúčastní 7 žákovských družstev Fotbalového turnaje se zúčastní 7 žákovských družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. ? Jde o kombinaci druhé třídy ze 7 prvků. 𝑪 𝟐 𝟕 = 𝟕 𝟐 = 𝟕! 𝟐!(𝟕−𝟐)! = 𝟕! 𝟐!𝟓! =𝟐𝟏 Celkem se musí hrát 21 utkání. zpět

? Z kolika prvků lze vytvořit 66 kombinací druhé třídy? Sestavíme rovnici a vyřešíme. 𝐶 2 𝑛 =66 𝑛! 2! 𝑛−2 ! =66 𝑛−2 ! 𝑛−1 𝑛 (𝑛−2)! =132 𝑛 2 −𝑛−132=0 Dosadíme do vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. 𝑛 1,2 = − −1 ± −1 2 −4∙1∙(−132) 2∙1 = 1± 529 2 = 1±23 2 𝑛 1 =12 𝑛 2 =−11 Z 12 prvků. (-11 není řešením, neboť 𝑛∈𝑁) zpět

? Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet kombinací třetí třídy o 21. Kolik je dáno prvků? Sestavíme rovnici a vyřešíme. 𝐶 3 𝑛+1 = 𝐶 3 𝑛 +21 (𝑛+1)! 3!(𝑛+1−3)! = 𝑛! 3!(𝑛−3)! +21 𝑛+1 ! 6 𝑛−2 ! = 𝑛! 6 𝑛−3 ! +21 𝑛−2 ! 𝑛−1 𝑛(𝑛+1) (𝑛−2)! = 𝑛−3 ! 𝑛−2 𝑛−1 𝑛 (𝑛−3)! +126 𝑛−1 𝑛 𝑛+1 = 𝑛−2 𝑛−1 𝑛+126 𝑛 3 −𝑛= 𝑛 3 −3 𝑛 2 +2𝑛+126 3𝑛 2 −3𝑛−126=0 Dosadíme do vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. 𝑛 1,2 = − −3 ± −3 2 −4∙3∙(−126) 2∙3 = 3± 1521 6 = 3±39 6 𝑛 1 =7 𝑛 2 =−6 Je dáno 7 prvků. (-6 není řešením, neboť 𝑛∈𝑁) zpět

Anotace: Tato prezentace slouží k výkladu Kombinatorika - Kombinace. Žáci řeší jednoduché příklady na Kombinace. Určují k-prvkové podmnožiny. Pracují s kombinačním číslem. Použité zdroje: RNDr. Oldřich Petránek a kol.: Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 4. část, 5. vydání 1996, Prometheus, ISBN 80-7196-040-3 Doc. RNDr. František Jirásek, DrSc. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU, 2. část, 3. vydání 2000, Prometheus, ISBN 80-7196-012-8 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Stanislav Prucek zpět