DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0807 Název projektu: EU peníze středním školám Gymnázium a Střední odborná škola, Podbořany, příspěvková organizace Šablona:III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Sada: Kuželosečky v gymnaziálním učivu Ověření ve výuce Třída: septima a oktáva Datum: 18. 6. 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Marie Honzlová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

TÉMA: Hyperbola a přímka PŘEDMĚT: matematika KLÍČOVÁ SLOVA: hyperbola, vrcholy hyperboly, ohniska hyperboly, tečna hyperboly, bod dotyku, asymptoty hyperboly JMÉNO AUTORA: Mgr. Marie Honzlová

Metodický pokyn: Úkolem materiálu je analyticky řešit problém vzájemné polohy přímky a hyperboly. Hlavní pozornost je věnována rovnicím asymptot a rovnici tečny hyperboly.

Vzájemná poloha přímky a hyperboly Žádný společný bod Jeden společný bod (tečna nebo rovnoběžka s asymptotou) Dva společné body (sečna)

Asymptoty hyperboly Přímky, které procházejí středem hyperboly a s hlavní osou svírají úhel φ. Pro úhel φ platí tgφ = 𝑏 𝑎 . Tečny hyperboly v jejím nevlastním bodě.

Rovnice asymptot Pokud ℋ: x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 pak a1: x a + y b = 0 a2: x a - y b = 0. Pokud ℋ: x−m 2 a 2 − y−n 2 b 2 =±1 pak a1: x − m a + y −n b = 0 a2: x − m a - y −n b = 0.

Tečna hyperboly obsahuje jeden bod hyperboly a neobsahuje žádný bod vnitřní oblasti hyperboly. (Vnitřní oblast jedné větve hyperboly je množina všech bodů roviny, pro které platí 𝐹𝑋 − 𝐸𝑋 > 2a, vnitřní oblast druhé větve je množina všech bodů roviny, pro které platí 𝐸𝑋 − 𝐹𝑋 > 2a.)

Rovnice tečny hyperboly ℋ: x−m 2 a 2 − y−n 2 b 2 =±1 v jejím bodě T[x0, y0] t: 𝐱 𝟎 − 𝐦 𝐱 −𝐦 𝐚 𝟐 − 𝐲 𝟎 − 𝐧 𝐲 − 𝐧 𝐛 𝟐 =±𝟏

Příklad č. 1 Bodem T [3,2] hyperboly ℋ: y 2 2 − x 2 9 =1 Veďte všechny přímky, které mají s hyperbolou právě jeden společný bod.

Řešení: Hledanými přímkami jsou tečna hyperboly v daném bodě a přímky, které bodem T procházejí a jsou rovnoběžné s některou asymptotou. t: 2y 2 − 3x 9 =1 ⇒ t: x – 3y + 3 = 0 a1: y 2 + x 3 = 0 a2: y 2 - x 3 = 0 ⇓ a1: 2 x + 3y = 0 a2: 2 x - 3y = 0

p1 ∥ a1 ∧ T ∈ p1: 2 x + 3y + c1 = 0 → 2 .3 + 3.2 + c1 = 0 c1 = - 6 - 3 2 p1: 𝟐 x + 3y - 6 - 3 𝟐 = 0 p2 ∥ a2 ∧ T ∈ p2: 2 x - 3y + c2 = 0 → 2 .3 - 3.2 + c2 = 0 c2 = 6 - 3 2 p1: 𝟐 x - 3y + 6 - 3 𝟐 = 0

Příklad č. 2 Napište rovnici tečny hyperboly ℋ: 3(x – 4)2 – (y – 3)2 = 3 v jejím bodě T [2,6]. Ověřte, že nalezená přímka má s hyperbolou právě jeden společný bod (T).

Řešení: t: 3(2 – 4)(x – 4) – (6 – 3)(y – 3) = 3 Po úpravě: t: 2x + y – 10 = 0 Řešíme soustavu dvou rovnic: 3(x – 4)2 – (y – 3)2 = 3 a 2x + y – 10 = 0. Z 2. rovnice vyjádříme y a dosadíme do 1. x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ (x – 2)2 = 0

Rovnice má jeden dvojnásobný kořen x = 2 Rovnice má jeden dvojnásobný kořen x = 2. Po dosazení do rovnice 2x + y – 10 = 0 y = 6. Závěr: Přímka t: 2x + y – 10 = 0 má s hyperbolou ℋ: 3(x – 4)2 – (y – 3)2 = 3 právě jeden společný bod T.

ZDROJE: ŠEDIVÝ, J. Matematika pro III. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, 1986. s. 255–267. KOČANDRLE, M., BOČEK, L. Matematika pro gymnázia, Analytická geometrie. 2. vyd. Praha: Prometheus,1995. ISBN 8071961639. s. 192–197.