DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0807 Název projektu: EU peníze středním školám Gymnázium a Střední odborná škola, Podbořany, příspěvková organizace Šablona:III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Sada: Kuželosečky v gymnaziálním učivu Ověření ve výuce Třída: septima a oktáva Datum: 11. 6. 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Marie Honzlová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

TÉMA: Parabola – definice, analytické vyjádření PŘEDMĚT: matematika KLÍČOVÁ SLOVA: parabola, ohnisko paraboly, vrchol paraboly, řídící přímka, parametr, vrcholová a obecná rovnice paraboly JMÉNO AUTORA: Mgr. Marie Honzlová

Metodický pokyn: Úkolem materiálu je pomoci učiteli při výkladu – odvození vyjádření paraboly pomocí rovnice. Doporučení: žáci sami provádějí odvození rovnice paraboly z její charakteristické vlastnosti, materiál použijeme jako kontrolu „uzlových“ bodů úpravy. Řešené příklady vyžadují vysvětlení. Úlohy jsou určeny k procvičení.

DEFINICE PARABOLY 𝒫= ∀𝑋∈𝜌: 𝑋𝐹 =𝑣 𝑋, 𝑑 Parabola je množina všech bodů roviny, které jsou stejně vzdáleny od přímky a bodu, který není s přímkou incidentní (ohnisko paraboly – F, řídící přímka – d). 𝒫= ∀𝑋∈𝜌: 𝑋𝐹 =𝑣 𝑋, 𝑑

Rovnice paraboly F 0, 1 2 𝑝 ; X 𝑥,𝑦 ; d: 𝑦=− 1 2 𝑝 𝑋𝐹 =𝑣 𝑋, 𝑑 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦− 1 2 𝑝 2 = 𝑦+ 1 2 𝑝 Po úpravách 𝒫: 𝒙 𝟐 =𝟐𝒑𝒚 Parametr 𝑝>0, vrchol V 0,0 , 𝑜∥𝑦

Vrcholová rovnice paraboly Když V 𝒎, 𝒏 , pak 𝓟 𝟏 : 𝒙−𝒎 𝟐 =𝟐𝒑 𝒚−𝒏 𝒐∥𝒚 𝓟 𝟐 : 𝒙−𝒎 𝟐 =−𝟐𝒑 𝒚−𝒏 𝒐∥𝒚 𝓟 𝟑 : 𝒚−𝒏 𝟐 =𝟐𝒑 𝒙−𝒎 𝒐∥𝒙 𝓟 𝟒 : 𝒚−𝒏 𝟐 =−𝟐𝒑 𝒙−𝒎 𝒐∥𝒙 𝒑>𝟎

Zobrazte do sešitu paraboly: 𝓟 𝟏 : 𝒙−𝟐 𝟐 = 𝟖 𝒚−𝟏 𝓟 𝟐 : 𝒙−𝟐 𝟐 =− 𝟖 𝒚−𝟏 𝓟 𝟑 : 𝒚−𝟐 𝟐 =𝟖 𝒙−𝟏 𝓟 𝟒 : 𝒚−𝟐 𝟐 =− 𝟖 𝒙−𝟏

Obecná rovnice paraboly x2 + 2rx + 2sy + t = 0, s ≠ 0, o ∥ y y2 + 2rx + 2sy + t = 0, r ≠ 0, o ∥ x

Příklad č. 1 Napište rovnici paraboly s ohniskem F 2, 3 a řídící přímkou d: y = 7. Určete souřadnice vrcholu paraboly. (Nejprve si zobrazte polohu řídící přímky a ohniska)

Řešení o ∥ y 𝑝=𝑣 𝐹,𝑑 =4 V 2,3+2 𝒫: 𝒙−𝟐 𝟐 =−𝟖 𝒚−𝟓

Příklad č. 2 Ukažte, že 𝒚 𝟐 −𝟒𝒙−𝟔𝒚+𝟕=𝟎 je obecná rovnice paraboly. Určete souřadnice jejího vrcholu a ohniska. Napište rovnici řídící přímky této paraboly.

Řešení Rovnici 𝑦 2 − 4𝑥−6𝑦+7=0 upravíme doplněním na čtverec 𝑦−3 2 =4 𝑥+ 1 2 𝑝=2, osa je rovnoběžná s osou x, V − 1 2 , 3 , F 1 2 , 3 , d: 𝑥=− 3 2

Úlohy na procvičení: Kde jste se setkali s parabolou? Napište rovnici paraboly, která prochází danými body a má osu rovnoběžnou s osou y. K 1,−3 , L 0,−1 , M 2,−1 . Parabola je určena rovnicí 𝑦 2 −6𝑥+8=0 . Určete chybějící souřadnici jejího bodu N 2,? . Zjistěte, zda rovnice 𝑥 2 −2𝑥−𝑦+4=0 popisuje parabolu. V kladném případě určete souřadnice jejího vrcholu a ohniska; napište rovnici řídící přímky a zjistěte, zda bod Q 0,4 na ní leží.

ZDROJE: ŠEDIVÝ, J. Matematika pro III. ročník gymnázií. 1. vyd. Praha: SPN, 1986. s. 234–240. KOČANDRLE, M., BOČEK, L. Matematika pro gymnázia, Analytická geometrie. 2. vyd. Praha: Prometheus,1995. ISBN 8071961639. s. 170–181.