Nerovnice v podílovém tvaru Řešení nerovnic Nerovnice v podílovém tvaru Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. 1

Zopakujme si: Princip řešení nerovnice ‒ hledání kořenů nerovnice Hledání kořenů nerovnice je stejně jako u rovnic opět proces, při kterém místo dané nerovnice píšeme novou nerovnici, většinou takovou, která má stejné řešení jako původní nerovnice. O takové nové nerovnici řekneme, že je s tou naší původní nerovnicí ekvivalentní. Úpravy, které provádíme s příslušnou nerovnicí se nazývají ekvivalentní úpravy. Jsou to takové úpravy nerovnice, při nichž žádný kořen neztratíme, a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc. Množiny kořenů původní nerovnice a nové nerovnice jsou si rovny. 2

Zopakujme si: Ekvivalentní úpravy využívané při řešení nerovnic: 1. vzájemná výměna obou stran nerovnice se současnou záměnou znaku nerovnosti 2. přičtení čísla nebo výrazu k oběma stranám nerovnice 3. vynásobení obou stran nerovnic stejným kladným číslem nebo výrazem 4. vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem se záměnou znaku nerovnosti 5. umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jen když jsou obě strany rovnice kladné 6. odmocnění obou stran nerovnice přirozeným odmocnitelem, jen když jsou obě strany kladné 3

Zopakujme si: POZOR! Podstatnou a zásadní změnou při řešení nerovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot. MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAMÉNKO V OPAČNÉ! 4

Zopakujme si: POZOR! Podstatnou a zásadní změnou při řešení nerovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot. MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAMÉNKO V OPAČNÉ! 5

Nerovnice v podílovém tvaru Jde o nerovnice tvaru podílu dvou nebo více členů. Podstata řešení rovnic v podílovém tvaru je v diskusi, kdy je podíl několika výrazů kladný, záporný nebo roven nule. Ve jmenovateli nikdy nemůže být nula!!! Proto pozor na podmínky! Nezapomínejme na ně! 6

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Zlomek je kladný právě tehdy, když čitatel i jmenovatel mají stejné znaménko (oba kladné nebo oba záporné). Obě možnosti zapíšeme jako systém nerovnic. 7

… „a zároveň“, tedy musí platit současně, jde Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Zlomek je kladný právě tehdy, když čitatel i jmenovatel mají stejné znaménko (oba kladné nebo oba záporné). Obě možnosti zapíšeme jako systém nerovnic. … „a zároveň“, tedy musí platit současně, jde o průnik množin. 8

… „a nebo“, tedy platí jedno nebo druhé, jde Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Zlomek je kladný právě tehdy, když čitatel i jmenovatel mají stejné znaménko (oba kladné nebo oba záporné). Obě možnosti zapíšeme jako systém nerovnic. … „a nebo“, tedy platí jedno nebo druhé, jde o sjednocení množin. 9

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Zlomek je kladný právě tehdy, když čitatel i jmenovatel mají stejné znaménko (oba kladné nebo oba záporné). Obě možnosti zapíšeme jako systém nerovnic. Ve jmenovateli nikdy nemůže být nula!!! Proto pozor na podmínky! Nezapomínejme na ně! Naše řešení tato podmínka nijak neovlivní. 10

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Zlomek je záporný právě tehdy, když čitatel a jmenovatel mají různé znaménko (jeden je kladný, druhý záporný). Čitatel je kladný, takže jmenovatel musí být záporný (menší než nula), aby celý zlomek byl menší než nula. Ve jmenovateli nikdy nemůže být nula!!! Proto pozor na podmínky! Nezapomínejme na ně! Naše řešení tato podmínka nijak neovlivní. 11

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Zlomek je kladný právě tehdy, když čitatel i jmenovatel mají stejné znaménko (oba jsou kladné nebo oba záporné). Čitatel je záporný, takže jmenovatel musí být také záporný (menší než nula), aby celý zlomek byl větší než nula. Ve jmenovateli nikdy nemůže být nula!!! Proto pozor na podmínky! Nezapomínejme na ně! Uvedená podmínka znamená, že číslo 2 nemůže být řešením rovnice, a tudíž se nemůže objevit ani v množině všech řešení. 12

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Obvykle s podmínkou, že jmenovatel nesmí být roven nule, neboť „nulou se nedělí ani v neděli“, pracujeme již od samého začátku výpočtu řešení nerovnice v podílovém tvaru, a tak část „rovnítkovou“ do znaku nerovnosti již ani nezapisujeme. Zlomek je kladný právě tehdy, když čitatel i jmenovatel mají stejné znaménko (oba jsou kladné nebo oba záporné). Čitatel je záporný, takže jmenovatel musí být také záporný (menší než nula), aby celý zlomek byl větší než nula. Ve jmenovateli nikdy nemůže být nula!!! Proto pozor na podmínky! Nezapomínejme na ně! Uvedená podmínka znamená, že číslo 2 nemůže být řešením rovnice, a tudíž se nemůže objevit ani v množině všech řešení. 13

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Je velmi výhodné porovnávat zlomek s nulou, proto nerovnici nejdříve upravíme na anulovaný tvar. 14

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Zlomek je záporný právě tehdy, když čitatel a jmenovatel mají různé znaménko (jeden je kladný, druhý záporný). Obě možnosti zapíšeme jako systém nerovnic. 15

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Je velmi výhodné porovnávat zlomek s nulou, proto nerovnici nejdříve upravíme na anulovaný tvar. 16

Řešení nerovnic v podílovém tvaru Řešme v R nerovnici: Zlomek je kladný právě tehdy, když čitatel i jmenovatel mají stejné znaménko (oba kladní nebo oba záporní). Čitatel je záporný, takže jmenovatel musí být také záporný (menší než nula), aby celý zlomek byl kladný ‒ větší než nula. 17

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici: 18

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici: 19

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici: 20

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici: 21

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici: 22

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici: 23

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html> 24