KMT/MCH1 – Mechanika 1 pro učitele Přednáška - kinematika, 2. 10. 2017 Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah přednášky Skalární a vektorové veličiny Členění klasické mechaniky Pohyb a klid Kinematika hmotného bodu – obecný případ (užití derivací) Speciální případy - přímočarý pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený, grafické znázornění Pohyb po kružnici, analogie s přímočarým pohybem, normálové zrychlení

Skalární a vektorové veličiny Ve fyzice rozlišujeme 3 základní typy veličin: Skalární – jsou jednoznačně určeny jedním číslem – velikostí. Nezáleží na směru. Příklady: teplota, čas, práce, hmotnost… Vektorové – záleží nejen na velikosti, ale i na směru. Jsou určeny 3 složkami (v rovině 2). Příklady: síla, rychlost, hybnost, moment síly (zde značeny tučně) Tenzorové – obecnější než vektory, typické pro neizotropní prostředí (různé směry-různé vlastnosti, např. některé krystaly). Zpravidla matice 3*3. Matematický popis náročný. Příklady: tenzor deformace, relativní permitivita či permeabilita. Poznámka: Matematici chápou skaláry a vektory jako speciální případ tenzorů

Členění klasické mechaniky 1 Klasická (newtonovská) mechanika – neuvažuje kvantové či relativistické efekty, platí ve standardních rozměrech (ne atomy, ne galaxie!) Členění podle zvoleného fyzikálního modelu: Mechanika hmotného bodu (HB) – ignorujeme rozměry, všechna hmota je soustředěna v jednom bodě (fyzikální abstrakce - nic takového reálně neexistuje, ale někdy to tak můžeme brát…) Mechanika tuhého tělesa – uvažujeme rozměry, ale síly mají jen pohybový, nikoliv deformační účinek (opět abstrakce – síla má deformační účinek, ale lze jej zanedbat) Mechanika spojitých prostředí (kontinua) – zahrnuje v sobě mechaniku deformovatelných těles (uvažujeme i deformační účinky síly, zásadní význam např. ve stavitelství či strojírenství) a mechaniku tekutin (tj. kapalin a plynů)

Členění klasické mechaniky 2 Členění podle toho, čím konkrétně se zabývá: Kinematika – zkoumá pohyb bez ohledu na jeho příčiny, bere „jen“ jeho časové a prostorové souvislosti (základní veličiny: dráha, rychlost, zrychlení, čas…) Dynamika – zkoumá příčiny vzniku a změny pohybu (základní veličiny nad rámec kinematiky: hmotnost, síla, hybnost, moment síly či moment hybnosti) Statika (ne statistika ) – zkoumá tělesa nacházející se v klidu (v určité soustavě), působící síly a rovnováhu systému

Pohyb a klid těles 1 Diskutováno již v antice Herakleitos – vše je v neustálém pohybu, „Pantha rei“ – v překladu „vše plyne“ Naopak eleaté (např. Zenon z Eleje): pohyb je jenom zdání, ve skutečnosti neexistuje Důkazy neexistence pohybu – tzv. Zenonovy pohybové aporie (Achilles a želva, Letící šíp apod.) Později hledání absolutního pohybu či absolutního klidu (nezávislého na vztažné soustavě) – souvislost s uvažovanou existencí tzv. éteru, existovala by absolutní vztažná soustava spojená s éterem Einstein - 1905: Absolutní vztažná soustava neexistuje, pohyb a klid jsou vždy relativní pojmy!

Pohyb a klid těles 2 Vždy tedy záleží na tom, vůči čemu pohyb či klid uvažujeme (na vztažné soustavě) Každý hmotný bod či těleso je v určité soustavě v klidu (klidová soustava tělesa), v jiných se však pohybuje Příklad: Vůči soustavě spojené s učebnou jsme v klidu, vůči soustavě spojené s auty na Klatovské jsme však v pohybu, stejně tak vůči soustavě spojené se Sluncem (tam dokonce velikou rychlostí)… U většiny případů pohyb a klid vztahujeme k soustavě spojené se Zemí (např. měření rychlosti na silnici apod. je vždy vůči této soustavě!)

Základní pojmy kinematiky HB Trajektorie – křivka, kterou hmotný bod při pohybu opisuje (může to být přímka, ale i kružnice, elipsa, šroubovice, spirála či mnohé další…) Dráha – délka oblouku měřená na trajektorii, kterou hmotný bod urazí za sledovaný časový interval) Podle tvaru trajektorie dělíme pohyby na: Přímočaré – trajektorií je část přímky Křivočaré – trajektorií je jiná křivka (zvláště významný je případ kružnice)

Základní pojmy kinematiky HB 2 Poloha HB v dané vztažné soustavě je obecně udána tzv. rádiusvektorem r (spojnice počátku a HB) r(r(t),φ(t)) z r φ r (x(t),y(t),z(t)) x y Pohyb HB v dané vztažné soustavě je poté obecně popsán časovou závislostí rádiusvektoru r V pravoúhlé soustavě souřadné lze rádiusvektor vyjádřit klasicky pomocí 3 souřadnic (v rovině 2), někdy je však lepší použít křivočarou soustavu, třeba polární souřadnice v rovině (r – vzdálenost od počátku, φ – úhel) či sférické souřadnice

Základní pojmy kinematiky HB 2 Rychlost (jednotka m*s-1), udává dráhu uraženou za čas. Nutno důsledně rozlišovat průměrnou rychlost v = s/t (skalár, podíl celkové dráhy a celkového času) a rychlost okamžitou v = ∆r/∆t, kde ∆t → 0 (vektor, uvažovaný časový interval je nekonečně malý). Matematicky je okamžitá rychlost derivací rádiusvektoru podle času, píšeme v = dr/dt !! Zrychlení (jednotka m*s-2), udává změnu rychlosti za změnu času. Opět rozlišení průměrného zrychlení a = v/t (skalár, podíl celkové změny rychlosti a celkového času) a okamžitého zrychlení a = ∆v/∆t, kde ∆t → 0 (vektor, uvažovaný časový interval je nekonečně malý). Matematicky je okamžité zrychlení derivací rychlosti podle času, píšeme a = dv/dt a zároveň 2. derivací rádiusvektoru podle času, píšeme a = d2r/dt2

Základní pojmy kinematiky HB 3 Okamžitá rychlost je u obecného pohybu vždy vektorová veličina mající směr tečny k trajektorii!! Pouze u přímočarého pohybu stačí uvažovat pouze jejich velikost (směr je totiž pořád stejný a daný směrem pohybu…) a at v an Okamžité zrychlení je u obecného křivočarého pohybu vektorová veličina, jíž lze rozložit na složku ve směru tečny k trajektorii (tečné zrychlení at udávající změnu velikosti rychlosti) a ve směru kolmém k tečně (normálové zrychlení an – změna směru rychlosti). Vektorově tedy platí a = at + an, pro velikost celkového zrychlení poté a = √at2+an2 (Pythagorova věta)

Základní pojmy kinematiky HB - shrnutí Máme-li zadánu závislost radiusvektoru na čase u zcela obecného pohybu, můžeme pomocí 1. derivace určit závislost rychlosti na čase (a tím i velikost rychlosti v jakémkoliv okamžiku) a pomocí 2. derivace to samé pro zrychlení (tzv. 1. základní úloha kinematiky HB) Máme-li naopak zadánu závislost zrychlení na čase, můžeme pomocí integrálu (opak derivace) určit závislost rychlosti na čase (a tím i velikost rychlosti v jakémkoliv okamžiku) a dalším integrálem to samé pro rádiusvektor (tzv. 2. základní úloha kinematiky HB) 1) r(t) → v(t) = dr/dt → a(t) = dv/dt = d2r/dt2 2) a(t) → v(t) = integrál z a(t)dt → r(t) = integrál z v(t)dt

Základní pojmy kinematiky HB – shrnutí 2 Logická otázka: Jak budu v praxi znát jednu či druhou z uvedených závislostí, bez toho je mi to k ničemu?  Odpověď: Většinou je to z řešení složitých pohybových rovnic, to však již kinematika nezkoumá  Příklad: Poloha hmotného bodu je dána radiusvektorem, jehož pravoúhlé souřadnice mají následující časovou závislost: r(t) = (3t, t2, 2). Určete závislosti rychlosti a zrychlení rychlosti na čase a velikost rychlosti a zrychlení. Řešení: v(t) = dr/dt = d(3*t, t2, 2)/dt = (3, 2*t, 0). a(t) = dv/dt = d(3, 2*t, 0)/dt = (0, 2, 0). Pro velikost máme (Pythagorova věta) v(t) = √(3)2+ (2*t)2 +02 = √9+4*t2, stejně pro zrychlení a(t) = √02+22 +02 = 2.

Základní pojmy kinematiky HB – shrnutí 3 Příklad 2: Pohyb hmotného bodu po přímce je popsán závislostí dráhy na čase s(t) = 4*t3+15*t2+8*t+3. Určete časové závislosti rychlosti a zrychlení a rychlost zrychlení v čase t = 3s. Řešení: Jsme v jednom rozměru, nemusíme uvažovat vektory, jde jen o velikosti! v(t) = ds(t)/dt = d(4*t3+15*t2+8*t+3)/dt = 12*t2+30*t+8. a(t)=dv(t)/dt = d(12*t2+30*t+8)/dt = 24*t+30. Pro daný čas t = 3s: v(3)=12*32+30*3+8=206 m*s-1, a(3) = 24*3+30 = 102 m*s-2 Jde o nerovnoměrný pohyb po přímce, velikosti rychlosti i zrychlení se s časem mění!

Kinematika HB – speciální případy Proč je to najednou o tolik těžší než na ZŠ a SŠ??  Protože tam jste uvažovali jen zcela speciální a v praxi téměř neexistující případy – pohyb rovnoměrný přímočarý a pohyb rovnoměrně zrychlený (či zpomalený) přímočarý plus pohyb rovnoměrný či rovnoměrně zrychlený (zpomalený) po kružnici. Derivace a integrály nám umožňují pracovat s zcela obecnými pohyby hmotného bodu, dovolují nám počítat časové závislosti dráhy, rychlosti, zrychlení, ale i určovat trajektorie různých pohybů!

Pohyb rovnoměrný přímočarý Platí pro něj, že a = 0, v = v0 = konst. a s = v0*t. Závislosti jednotlivých veličin na čase můžeme znázornit graficky: v (m*s-1) v0 a (m*s-2) s (m) s =v0*t tgφ = s/t = v0 φ t(s) t(s) t(s) Z obrázků je vidět, že dráhu lze určit v grafu v(t) jako obsah plochy pod křivkou, rychlost v grafu s(t) poté jako směrnici tečny. To platí obecně pro jakýkoliv přímočarý pohyb!

Základní ZŠ (SŠ) úlohy 1. První auto jede z místa A rychlostí v1. Druhé auto vyrazí za ním se zpožděním ∆t větší rychlostí v2. Kdy a kde se potkají? Možno řešit různě, klasický postup: s1 = s2  v1*t1 = v2*t2  v1*t1 = v2*(t1 - ∆t)  v2*∆t = t1* (v2-v1)  t1 = v2*∆t /(v2-v1). s = v1*t1. 2. První auto jede z místa A rychlostí v1. Druhé auto vyrazí z místa B vzdáleného s se zpožděním ∆t rychlostí v2. Kdy a kde se potkají? Klasický postup: s = s1 + s2  s = v1*t1 + v2*t2  s = v1*t1 + v2*(t1 - ∆t)  s + v2*∆t = t1* (v2 + v1)  t1 = (s + v2*∆t) /(v2 + v1). s1 = v1*t1.

Pohyb rovnoměrně zrychlený přímočarý Platí pro něj, že a = a0 = konst., v = a*t + v0 (poč. rychlost), s = ½*a*t2 + v0*t + s0 (poč. dráha, většinou nulová) Závislosti jednotlivých veličin na čase můžeme znázornit graficky: v (m*s-1) s (m) a (m*s-2) tečna v čase t* a0 tgφ = v (t*) s =1/2*a*t2 φ t(s) t(s) t* t(s) Z obrázků je opět vidět, že dráhu lze určit v grafu v(t) jako obsah plochy pod křivkou, rychlost v grafu s(t) poté jako směrnici tečny. Grafem s(t) je parabola

Pohyb rovnoměrně zrychlený Díky uvedené závislosti dráhy na čase můžeme při pohybu rov. zrychleném (či zpomaleném, což je totéž se záporným zrychlením) použít tzv. metodu průměrování.Pro uraženou dráhu pak platí jednoduchý vzoreček s = vp*t, kde vp je průměrná rychlost v době pohybu, pro kterou platí vp = (v0 + vk)/2, kde v0 je počáteční a vk koncová rychlost. Pro rozjezd z klidu rovnou platí vp = vk/2. Příklad 1: Letadlo se zvedlo po 675 m z rozjezdové plochy. Jaké bylo jeho konstantní zrychlení, jestliže opustilo zemi za 15 s po startu? Jakou mělo rychlost v okamžiku, kdy se vzneslo? Řešení: Rovnoměrně zr. pohyb s nulovou poč. rychlostí  s = vp*t  vp = s/t = 675/15 = 45 m/s. vp = vk/2  vk = 2* vp = 2*45 = 90 m/s. Pro zrychlení: a = ∆v/∆t = 90/15 = 6 m/s2. Příklad 2: Auto snížilo během 5 s rovnoměrně svoji rychlost z 25 m/s na 15 m/s. Jakou dráhu přitom urazilo? Řešení: Rovnoměrně zpom. pohyb s nenulovou poč. rychlostí  vp = (v0 + vk)/2 = (15 + 25) / 2 = 20 m/s. s = vp*t = 20*5 = 100 m.

Pohyb nerovnoměrný přímočarý Platí pro něj, že a není konstantní, v i s se poté musí určit pomocí integrálů Závislosti jednotlivých veličin na čase mohou vypadat třeba takto: v (m*s-1) v0 s (m) a (m*s-2) tečna v čase t* a0 tgφ = v (t*) φ t(s) t(s) t* t(s) Grafy jsou složité, opět však lze dráhu lze určit v grafu v(t) jako obsah plochy pod křivkou, rychlost v grafu s(t) poté jako směrnici tečny.

Příklad – rovnoměrně zrychlený pohyb Zadání: Těleso se pohybuje rovnoměrně zrychleně s počáteční rychlostí v0 = 3 m*s-1 a zrychlením a = 2m*s-2. Určete dráhu uraženou během prvních deseti sekund pohybu a konečnou rychlost. Řešení: Dosazením t = 10 s do vztahů pro rovnoměrně zrychlený pohyb okamžitě dostáváme: vk = v0+a*t = 3 + 2*10 = 23 m*s-1 s(10) = ½*a*t2+v0*t+s0 = ½*2*102+3*10+0 = 130 m (případně vp = (v0 + vk)/2 = (3 + 23)/2 = 13 m/s; s (10) = vp*t = 13*10 = 130 m).

Pohyb po kružnici U pohybu po kružnici pracujeme místo s dráhou s, rychlostí v a zrychlením a (jako u přímočarého) s jejich úhlovými analogiemi – úhlovou dráhou φ (jednotka radián – rad), úhlovou rychlostí ω (rad*s-1) a úhlovým zrychlením ε (rad*s-2) Převod mezi úhlovými veličinami a veličinami původními se provádí vynásobením poloměrem kružnice. Platí tedy: s = φ*r, v = ω*r, at = ε*r (pozor, jen tečné zrychlení!) Veškeré vztahy uvedené dříve pro přímočarý pohyb a jeho speciální případy zůstávají v platnosti s tím, že veličiny nahradíme jejich úhlovými analogiemi!! např. ω(t) = dφ/dt, ε(t) = dω/dt = d2φ/dt2 ω(t) = integrál z ε(t)dt, φ(t) = integrál z ω(t)dt

Rovnoměrný pohyb po kružnici U rovnoměrného pohybu po kružnici platí (viz analogie s rovnoměrným přímočarým pohybem) vztahy ε = 0, ω(t) = ω0 = konst., φ(t) = ω0*t + φ0 (počáteční úhlová dráha, většinou nula) Grafy ε(t), ω(t), φ(t) jsou zcela stejné jako grafy a(t), v(t) a s(t) pro rovnoměrný přímočarý pohyb, platí i všechna tam uvedená pravidla (obsah plochy pod křivkou, směrnice…)! Zavádíme pojmy frekvence (značka f, jednotka Hertz – „Hz“, rozměr s-1) jako počet oběhů za sekundu (platí tedy vztah f = ω0/2*π) a perioda (značka T, jednotka sekunda – „s“) jako doba trvání jednoho oběhu (platí tedy, že T = 1/f) přímočarý po kružnici a = 0, v = v0= konst. ε = 0, ω(t) = ω0 = konst., s = v0*t + s0 φ(t) = ω0*t + φ0

Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici U rovnoměrného pohybu po kružnici platí (viz analogie s rovnoměrným přímočarým pohybem) vztahy ε = ε0 = konst., ω(t) = ε0*t + ω0 (počáteční úhlová rychlost) , φ(t) = ½* ε0*t2 + ω0*t + φ0 (počáteční úhlová dráha, většinou nula) Grafy ε(t), ω(t), φ(t) jsou zcela stejné jako grafy a(t), v(t) a s(t) pro rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb, platí i všechna tam uvedená pravidla (obsah plochy pod křivkou, směrnice…)! přímočarý po kružnici a = a0 ε = ε0 = konst. v = a*t + v0 ω(t) = ε0*t + ω0 s = ½*a*t2 + v0*t + s0 φ(t) = ½* ε0*t2 + ω0*t +φ0

Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici Příklad: Ventilátor se otáčí s frekvencí 15 s-1. Po vypnutí se ventilátor rovnoměrně zpomaluje a do úplného zastavení se otočil 75 krát. Jaký čas uplyne od okamžiku vypnutí ventilátoru do okamžiku zastavení? Řešení: Jedna otáčka odpovídá úhlu 2 π. Frekvence 15 s-1 odpovídá úhlové rychlosti 2*π*15 rad/s. Jde o rovnoměrně zpomalený pohyb po kružnici. Užitím metody průměrování máme tedy: φ = ωp*t a ωp = (ωk + ω0)/2 = (0+2*π*15)/2 = 15 π  2*π*75 = 15*π*t  t = 150*π/(15*π) = 10 s.

Pohyb po kružnici – normálové zrychlení Zatím jsme uvažovali pouze úhlové zrychlení, z něhož po vynásobení poloměrem kružnice máme tečnou složku zrychlení at. Víme však, že existuje i k ní kolmá (normálová) složka an, celkové zrychlení je pak dáno vektorovým součtem obou složek, jeho velikost je pak a = √at2+an2. Pro velikost normálové složky platí vztah an = v2/r =ω2*r, kde r je poloměr kružnice. Vzhledem k tomu, že každou křivku lze v daném bodě nahradit kružnicí (tzv. oskulační kružnice), můžeme normálové zrychlení určit pomocí vzorce an = v2/r i v případě jiného pohybu než po kružnici (r poté značí poloměr oskulační kružnice nebo též tzv. poloměr křivosti dané křivky v daném bodě…)

Shrnutí hodiny Pohyb a klid je relativní, záleží na vztažné soustavě Na popis obecného pohybu potřebujeme derivace a integrály! Speciální případy přímočarého pohybu jdou řešit i bez nich (ZŠ, SŠ) Platí analogie mezi přímočarým pohybem a pohybem po kružnici U zrychlení musíme s výjimkou přímočarého pohybu rozlišovat tečnou a normálovou složku! Děkuji vám za pozornost!!