CW-057 LOGISTIKA 35. PŘEDNÁŠKA Lineární programování - 5 Leden 2017 AKREDITAČNÍ ZMĚNA OZNAČENÍ PŘEDMĚTU – z CW13 na CW057 CW-057 LOGISTIKA 35. PŘEDNÁŠKA Lineární programování - 5 Leden 2017 © Ing. Václav Rada, CSc.

CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ Další ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování – 5 … … s trochou praxe ☺ leden 2017

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Oblast Distribučních úloh a dopravních problémů je oblastí velice praktickou – v současnosti nejzná-mější a nejpoužívanější. Kromě nejrůznějších výpočetních matematických metod - jejichž nejvíce používanými jsou metody lineárního programování - přičemž existující výpo-četní, simulační a modelovací sw a výpočetní kapa-city současných počítačů jsou obrovskou podporou bez níž by mnoho metod bylo mimo reálné časové možnosti dosažení výsledků. leden 2017

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Mimo početních metod jsou pro jednoduché problé-my velice často použity nejrůznější grafické metody a postupy vyjádření problému a dávající základní směr dalšího postupu řešení – to většinou je pomocí numerických metod využívajících manipulace s tabulkami hodnot. Pro vybraný typ úloh jsou velice praktické a celkem rychle dávají použitelné výsledky. leden 2017

Je tam i popis vybraných základních metod: CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Upozornění základní metodika a matematické formulace jsou v následující přednáškové prezentaci s názvem „Lineární programování – 6“. Je tam i popis vybraných základních metod: Metoda Severozápadního rohu (SZR) Metoda indexní Vogelova Aproximační metoda (VAM) MODI - modifikovaná distribuční metod leden 2017

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Při grafickém zobrazení jsou: dodavatelé a spotřebitelé jako „uzly“ (vrcholy) grafů a možné cesty jako „hrany“ mezi uzly. leden 2017

Distribuční a dopravní modely CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely S1 S2 S3 D1 D2 Grafické znázornění distribuční dvou-indexové úlohy leden 2017

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Jednostupňové dopravní úlohy Cílem úlohy je najít takový plán přepravy mezi dodavateli Di ( D1 , D2 , ... , Dm ) a spotřebiteli Sj ( S1 , S2 , ... , Sn). Plán vyčerpá kapacity dodavatelů, plně a včas uspokojí požadavky spotřebitelů (zákazníků) a hlavně minimalizuje přepravní náklady. S D c = ? xD, a xS, b (= ?) ? leden 2015

CW05 Distribuční a dopravní modely První předpoklad: Všech m zdrojů, dodavatelů Di ( D1 , D2 , ... , Dm ) s omezenými kapacitami a1, a2, . . . , am vyjadřujícími množství, které je dodavatel schopen v uvažovaném období dodat. Druhý předpoklad: Je n cílových míst (odběratelů, spotřebitelů, zákaz-níků) Sj (S1, S2 , . . . , Sn ) se stanovenými poža-davky b1, b2, . . . , bn vyjadřujícími množství, které odběratel v uvažovaném období požaduje. leden 2015

CW05 Distribuční a dopravní modely Nevyváženost versus vyváženost Nevyváženost může znamenat například přebytek kapacit dodavatelů nebo převis poptávky spotřebi-telů (znamenající, že u dodavatelů nejsou dispo-nibilní kapacity). V tom případě následné rozšíření o proměnnou xj bude vyjadřovat neuspokojené požadavky spo-třebitelů. leden 2017

CW05 Distribuční a dopravní modely Ve skutečnosti podmínka vyváženosti nebývá vždy splněna. Úlohy se součtem kapacit rovným součtu požadav-ků se nazývají vyvážené. Úlohy, v nichž se nerovná, jsou nevyváženými do-pravními úlohami. Přitom nevyváženou úlohu lze snadno převést na vyváženou tím, že ji rozšíříme (doplníme). leden 2017

Distribuční a dopravní modely CW05 Distribuční a dopravní modely Platí-li Σ(ai ) = Σ (bj ), je to vyrovnaný dopravní problém. Nevyrovnaný dopravní problém – platí nerovnost Σ(ai ) ≠ Σ(bj ) – lze na vyrovnaný snadno převést → → převis nabídky doplní se fiktivní cílové místo SF = fiktivní odběratel s požadavkem rovným rozdílu mezi celkovými kapacitami a (chybějícími) požadavky → převis poptávky doplní se fiktivní zdroj DF = fiktivní doda-vatel s kapacitou rovnou rozdílu mezi celkovou sumou požadavků a (chybějícími) kapacitami. leden 2015

Sazby ve fiktivním řádku i sloupci budou nulové CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Vyvážení úlohy Sazby ve fiktivním řádku i sloupci budou nulové Kapacita fiktivního sloupce (spo-třebitele) se rovná součtu kapacit dodavatelů mínus součet kapacit spotřebitelů Kapacita fiktivního řádku se rovná součtu kapacit spotřebitelů mínus součet kapacit dodavatelů leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Třetí předpoklad: Vztah každé dvojice zdroj – cílové místo je nějakým způsobem oceněn, např. vykalkulovanými náklady na přepravu jednotky zboží nebo kilometrovou vzdá-leností – kvantifikované ocenění = cenové koefici-enty (sazby za jednotku), se značí cij , pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Ocenění vztahu mezi zdroji a cílovými místy je u fik-tivních činitelů nulové. leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Neznámou proměnnou xij v tomto rozho-dovacím procesu je hledané množství zboží mezi i-tým dodavatelem a j-tým spotřebitelem. leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Cílem je naplánovat nejlevnější přepravu – mate-maticky se určují hodnoty proměnných xij , pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, které vyjadřují objem přepravy mezi zdrojem a cílo-vým místem - tzn. stanovit objem přepravy mezi každou dvojicí zdroj – cílové místo. leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Nesmí být překročeny kapacity zdrojů a musí být uspokojeny požadavky odběratelů a celkové ná-klady byly minimální. Při reálných výpočtech je potřeba provést kontrolní optimalizační propočet, který by měl ukázat mini-malizační úspěšnost návrhu….. ………viz literatura leden 2015

Matematický model dopravního problému CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Matematický model dopravního problému Najděte minimum (maximum) lineární funkce   za podmínek a podmínek nezápornosti leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Matematický model obsahuje m * n proměnných xij vyjadřujících objem přepravy mezi i-tým zdrojem a j-tým cílovým místem m + n vlastních omezení. D1 : x11 + x12 + x13 + x14 = a1 D2 : x21 + x22 + x23 + x14 = a2 D3 : x31 + x32 + x33 + x14 = a3 S1 : x11 + x21 + x31 + x41 = b1 S2 : x12 + x22 + x32 + x42 = b2 S3 : x13 + x23 + x33 + x43 = b3 S4 : x14 + x24 + x34 + x44 = b4 leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Omezení jsou dvojího druhu - prvních m představuje bilanci pro jednotlivé zdroje – vzhledem k vyrovnanosti bude rovno kapacitě zdrojů - zbývajících n přísluší jednotlivým cílovým místům. Minimalizace z = c11 x11 + c12 x12 + · · · + c1nx1n + c21 x21 + · · · + cmnxmn leden 2015

Sumační zápis min z = ΣΣ cij * xij CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely x11 + x12 + · · · + x1n = a1 x21 + x22 + · · · + x2n = a2 ……………. xm1 + xm2 + · · · + xmn = am ---------------------------------------------------------- x11 + x21 + · · · + xm1 = b1 x12 + x22 + · · · + x2n = b2 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, x1n + x2n + · · · + xmn = bn Sumační zápis min z = ΣΣ cij * xij leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Matematická formulace Kriteriální funkce vyjadřuje náklady na přepravu: min L (x) = L ( x11 ,…, xmn ) = ∑∑ cij * xij → c pro x Є S  a pro sumace i = 1 , 2 , … , m a j = 1 , 2 , … , n Březen 2009

Formulace vyrovnaného dopravního problému CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Formulace vyrovnaného dopravního problému    Zdroje S1 Cílová S2 místa · · ·    Sn Kapacity zdrojů D1 c11 x11 c12 x12 c1n x1n a1 D2 c21 x21 c22 x22 c2n x2n a2 · Dm cm1 xm1 cm2 xm2 cmn xmn am Požadavky cílov. míst b1 b2 bn Σ(ai) Σ(bj) leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Obvyklé rozložení informací v buňce pro tabulkové zobrazení řešeného dopravního problému. Přepravované množství xij Vzdálenost – cenový koef. cij ui + vj Hodnota testu optimality Perspektivita Propustnost Qij ui + vj + cij leden 2015

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Ohodnocení jednotlivých tras je výsledkem analýzy tras a následných optimalizačních řešení. Pokud jsou ohodnocením náklady nebo vzdálenosti, jedná se o minimalizační úlohy. Pokud je ohodnocením velikost dosažené ceny, jedná se o úlohy maximalizační. . Březen 2011

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Řešení probíhá podle speciálního algoritmu, tzv. distribuční metody. Použití simplexové metody je možné, ale je silně neefektivní. Březen 2011

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely O něco složitější je varianta s mezisklady – například podobná té co je znázorněna na předcházejícím obrázku. Pro srovnání je jednoduchá jednostupňová úloha zachycena grafickou formou na dalším obrázku. Březen 2009

Grafické znázornění distribuční tří-indexové úlohy CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely M1 M2 M3 S1 S2 D1 D2 Grafické znázornění distribuční tří-indexové úlohy Březen 2011

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 CW13 CW05 PŘÍKLAD Firma má tři výrobní střediska, kde vyrábí překlady. Kapacita výroby je 330, 150 a 220 kusů měsíčně. Rozváží je čtyřem odběratelům – prodejcům staveb-ního zboží v počtu 180, 250, 160 a 110 ks měsičně. Distribuční náklady mezi výrobou a odběrateli vykal-kulované na 1 ks překladů ve stovkách Kč jsou v tabulce - není zohledněna cena překladu, ale pouze administrativní a dopravní náklady. leden 2015

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 TABULKOVÁ FORMA ZADÁNÍ ÚLOHY Cena za kus    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 11 4 17 9 330 D2 6 7 10 8 150 D3 3 5 12 220 Požadavky cílov. míst  180 250  160  110  700 Součet požadavků (sloupce) se rovná součtu kapacit (řádky) = vyrovnaný DP. leden 2015

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 CW13 CW05 min z = 11*x11 + 4*x12 + 17*x13 + 9*x14 + 6*x21 + 7*x22 + + 10*x23 + 8*x24 + 3*x31 + 9*x32 + 5*x33 + 12*x34   x11 + x12 + x13 + x14 = 330 x21 + x22 + x23 + x24 = 150 x31 + x32 + x33 + x34 = 220   x11 + x21 + x31 = 180 x12 + x22 + x32 = 250 x13 + x23 + x33 = 160 x14 + x24 + x34 = 110 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 leden 2015

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 Počet kusů … x    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 50 170 30 80 330 D2 40 10 150 D3 20 220 Požadavky cílov. míst  180 250  160  110  700 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. leden 2015

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 Cena za dodávky    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 zdroje D1 550 680 510 720 2460 D2 300 280 500 80 1160 D3 240 360 400 1240 cílová místa 1090 1320 1410 1040 4860 Úlohou je hledat minimum této celkové částky. Variantou může být, že každý odběratel nebere všechny druhy překladů = ROZPOR se zadáním. leden 2015

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 CW13 CW05 Danou úlohu lze řešit například pomocí metody VAM = Vogelova aproximační metoda Tato metoda je výpočetně složitější, poskytuje však většinou nejlepší řešení. Pro každý řádek a sloupec se vypočte DIFERENCE jako rozdíl mezi dvěma nejnižšími sazbami (ceno-vými koeficienty) v daném řádku či sloupci. Vybere se pole, které má v řádku nebo sloupci s ma-ximální diferencí. Může nastat situace, kdy existuje více řádků a sloupců se stejnou maximální diferencí. leden 2015

….řešení pomocí metody VAM Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 CW13 CW05 ….řešení pomocí metody VAM Pak se vybere pole, které má nejnižší sazbu z těch polí, které leží v řádcích a sloupcích s těmito maxi-málními diferencemi. Po obsazení pole dojde k vyloučení takto obsaze-ného řádku a sloupce. Potom se přepočtou diference a postup se opakuje. Diference může být i nulová, jsou-li dva nejmenší cenové koeficienty v daném řádku nebo sloupci stejné. leden 2017

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY Počet kusů … x    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 250 80 330 D2 120 30 150 D3 60 160 220 Požadavky cílov. míst 180 110 700 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. leden 2015

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 VARIANTA VÝSLEDKŮ ÚLOHY Cena za dodávky    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 zdroje D1 1000 720 1720 D2 240 960 D3 180 800 980 cílová místa 900 3660 Součet financí je nejnižší, ale patří do úloh, které nerespektují zadání….. leden 2015

Metoda severozápadního rohu Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 CW13 CW05 Metoda severozápadního rohu Dodané kusy jsou umístěny do pole s minimálními jednotko-vými přepravními náklady. Nebo je možné splnit požadavek v buňce, která je vlevo na-hoře ( x11 ) a dorovnat v další buňce (vpravo od té první vy-plněné) na celkovou kapacitu první výroby. Pak se vyplní buňka dalšího levého horního rohu ( x22 ) – hodnota je dána tak, aby v druhém řádku i druhém sloupci byly splněny hod-noty kapacity druhého výrobce i požadavek druhého odbě-ratele. A tak se pokračuje až do vyplnění celé tabulky…. Znamená to, že se nerespektují hodnoty nákladů na přepra-vu jednoho kusu – výsledek bývá obvykle špatný!!! leden 2015

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 180 150 330 D2 xxx D3 110 220 Požadavky cílov. míst  180 360  50  700    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 xxx 150 D2 100 50 D3 110 220 Požadavky cílov. míst  xxx 360  50  700 leden 2015

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy MODI - modifikovaná distribuční metoda Metoda MODI (modifikovaná distribuční metoda) + Test optimality – slouží ke zlep-šování výchozího řešení – zjišťování optimality pomocí dalších údajů (řádkových a sloupco-vých pomocných čísel) – provádí se postupné přesuny a sledují se vyvolané změny (musí se najít uzavřený okruh, v němž změna „koluje“). Březen 2017

Distribuční a dopravní modely - příklad CW057 CW13 CW05 Metoda MODI Protože úloha je vyrovnaným dopravním problémem – tak má vždy optimální řešení. Při výpočtu se jedná doplnění tabulky o hodnoty proměnných tak, aby jejich řádkové součty byly rovny kapacitám, sloupcové součty požadavkům a počet nenulových proměnných ≤ (m + n − 1). leden 2017

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Matematická formulace a další infor-mace – mimo tyto prezentace o lineárním programování …… … viz texty OPOR k předmětu cw057 - dříve cw13 a cw05…. Březen 2017

…..… Informace pokračují …..č.6.… CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …..č.6.… kde jsou dále rozepsány i další použité principy a metody …… …..… cw057 – p. 35. leden 2017

CW057 CW13 CW05 ……… Březen 2017