MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Množiny Přirozená čísla Celá čísla Racionální čísla Komplexní čísla
Advertisements

Deduktivní soustava výrokové logiky
Komplexní čísla. Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová,
Gymnázium, Broumov, Hradební 218
Rovnice s absolutními hodnotami
VŠB – Technická univerzita Ostrava
VŠB – Technická univerzita Ostrava VŠB – Technická univerzita Ostrava Hezký den Hezký den.
Algebra.
Teorie čísel Nekonečno
Úvod do Teorie množin.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Gymnázium, Žamberk, Nádražní 48 Projekt: CZ.1.07/1.5.00/ Inovace ve vzdělávání na naší škole Název:Výrok a jeho negace Autor:Mgr. Petr Vanický.
Gymnázium, Broumov, Hradební 218 Vzdělávací oblast: Základní poznatky z matematiky Číslo materiálu: EU Název: Výrok a jeho negace Autor: Mgr. Ludmila.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
Úvod do databázových systémů
Pre-algebra Antonín Jančařík.
Výroková logika (analytické myšlení, úsudky)
V matematice existují i seskupení objektů, které nejsou množinami.
Výroky, negace, logické spojky
Základní logické spojky.  Výrokem rozumíme každé tvrzení tedy (oznamovací větu), o kterém můžeme rozhodnout zda je pravdivé či nikoliv.  Je-li pravdivé.
Pre-algebra Antonín Jančařík.
Gymnázium, Broumov, Hradební 218
Relace, operace, struktury
Množiny.
MATEMATIKA Obsah přednášky Funkce. 3. Limita funkce
MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.
ZÁKLADNÍ POJMY VÝROKOVÉ LOGIKY
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Lineární rovnice s absolutní hodnotou II.
Rovnice s absolutní hodnotou
Výroková logika.
Pre-algebra Antonín Jančařík.
Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie
Kombinační logické funkce
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
Operace s množinami Matematika Autor: Mgr. Karla Bumbálková
Množiny Matematika Autor: Mgr. Karla Bumbálková
Název projektu: Podpora výuky v technických oborech Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název šablony: III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky.
Číslo projektuCZ.1.07/1.5.00/ Název školyGymnázium, Soběslav, Dr. Edvarda Beneše 449/II Kód materiáluVY_42_INOVACE_12_19 Název materiáluZákladní.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Kateřina Linková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného.
ČÍSLO PROJEKTU CZ.1.07/1.5.00/ ČÍSLO MATERIÁLU 4 – Intervaly – teorie NÁZEV ŠKOLY Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné.
MNOŽINY RNDr. Jiří Kocourek. Množina: skupina (souhrn, soubor) nějakých objektů.
ALGEBRAICKÉ STRUKTURY
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
Gymnázium, Žamberk, Nádražní 48 Projekt: CZ / /34
Pravděpodobnost a matematická statistika I.
MNO ŽI NY Kristýna Zemková, Václav Zemek
Gymnázium, Žamberk, Nádražní 48 Projekt: CZ / /34
Definiční obor a obor hodnot
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL
MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.
MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.
MNO ŽI NY Kristýna Zemková, Václav Zemek
Matematika pro ekonomy Jaro 2012 Ivana Vaculová
Nerovnice s neznámou ve jmenovateli
1 Lineární (vektorová) algebra
Pravděpodobnost a matematická statistika I.
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL
MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.
MNOŽINY Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Kateřina Linková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného.
MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.
MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.
MNOŽINY RNDr. Jiří Kocourek.
Sémantika PL1 Interpretace, modely
Predikátová logika.
VÝROKOVÁ LOGIKA Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T.G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí Autor: Mgr. Renata Čermáková.
VÝROKOVÁ LOGIKA Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T.G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí Autor: Mgr. Renata Čermáková.
MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce.
Transkript prezentace:

MATEMATIKA Obsah přednášky. Opakování, motivační příklady Funkce. 3. Limita funkce Derivace funkce Průběh funkce 1 proměnné, motivační příklady Lineární algebra 6. Integrál neurčitý 7. Integrál určitý pro udělení zápočtu bez zápočtového testu je nutno splnit současně: nejvýše 4 absence na cvičeních včetně omluvených absencí dostatečnou úspěšnost v průběžných testech klasifikace u zkoušky v řádném termínu je výsledkem procenta úspěšnosti na cvičeních a zkouškového testu. klasifikace u zkoušky v opravných termínech je výsledkem opravného testu. Pravděpodobné termíny zkoušky: termíny: 11.1.2016, 13.1.2016, 15.1.2016 termíny: 19.1.2016, 26.1.2016 termín: 2.2.2016 vždy 8:30 – 10:00

body pro klasifikaci jsou tvořeny 70% za zkouškový test Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%. Pro získání zápočtu musí být průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních alespoň 55%. Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku  je hodnocen známkou “4“ (neprospěl) Klasifikace u zkoušky řádný termín: Klasifikace u zkoušky opravné termíny: body pro klasifikaci jsou tvořeny 70% za zkouškový test 30% za procento úspěšnosti na cvičeních body pro klasifikaci jsou tvořeny 100% za opravný test klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55  x < 65, známka 3 65  x < 70, známka 2- 70  x < 80, známka 2 80  x < 90, známka 1- x  90, známka 1 klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55  x < 65, známka 3 65  x < 70, známka 2- 70  x < 80, známka 2 80  x < 90, známka 1- x  90, známka 1

Literatura. Dostálková I. Matematika 0, BF JU, Č. Budějovice,1992. Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia. Základní poznatky, 2008 Charvát J., Zhouf J. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice, 2008 Hrubý D, Kubát J. Matematika pro gymnázia. Diferenciální a integrální počet, 2008 Kočandrle M., Boček L. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Funkce, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Goniometrie, 2008 Internetové odkazy. http://www.mojeskola.cz/ http://mathonline.fme.vutbr.cz/ http://www.ft.utb.cz/czech/um/studium/sbirka.htm http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika.alej http://maths.cz/mapa-webu/ss-matematika.html

OPAKOVÁNÍ toho, co byste měli umět. výroky, množiny operace s reálnými čísly absolutní hodnoty, relace mezi nimi Výroky, množiny. Výrok je sdělení, u něhož mohou nastat pouze 2 možnosti: pravda, nepravda. Množina je soubor prvků určité vlastnosti. Výroky. V1 je zataženo V2 prší Operace s výroky. je zataženo a současně prší  konjunkce  (V1  V2) = (V1 a V2) = (V1 and V2) je zataženo nebo prší  alternativa  (V1  V2) = (V1 nebo V2) = (V1 or V2) když je zataženo, prší  implikace  (V1  V2) zataženo je právě, když prší  ekvivalence  (V1  V2) neprší  negace  ( V1) = (V1’) = (not V1)

Tabulky pravdivostních hodnot. V1 … mléko obsahuje vápník V2 … mléko obsahuje chlorofyl V1 ˄ V2 …mléko obsahuje vápník a chlorofyl Výrok je nepravdivý. V1 ˅ V2 …mléko obsahuje vápník nebo chlorofyl Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje chlorofyl, pak obsahuje vápník. Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje vápník, pak obsahuje chlorofyl. Výrok je nepravdivý.

Krávy létají jen tehdy, když kapr je savec. Výrok je pravdivý. ¬ V1 … mléko neobsahuje vápník Výrok je nepravdivý. ¬ V2 … mléko neobsahuje chlorofyl Výrok je pravdivý. Příklad. Negace konjunkce výroků V1 a V2. tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1/  V2 / )  (V1  V2)/ p n

Příklad. Negace implikace mezi výroky V1 a V2. tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1 ˄ V2 / )  (V1  V2)/ p n Příklad. Negace ekvivalence mezi výroky V1 a V2.

Množiny. Způsoby definice množiny M: M = {0, 2, 4, 6, 12} konečná množina zadaná výčtem prvků M = {0, 1, 2, 3, ...} nekonečná množina M = {x splňující určité vlastnosti} množina zadaná vlastnostmi prvků x  M x patří do množiny M 0  {0, 2, 4, 6, 12} x  M x nepatří do množiny M 1  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A je podmnožinou množiny M {0, 2}  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A není podmnožinou množiny M {1, 3} {0, 2, 4, 6, 12} Definice. Nechť A a B jsou množiny. Pak A  B právě, když pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Struktura definice. předpoklad (za jakých podmínek platí) závěr (čeho se definice týká)

A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Příklad. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Z negace konjunkce plyne, že A ≠B právě, když (A není podmnožinou B) NEBO (B není podmnožinou A). Speciální množiny.  prázdná množina = množina neobsahující žádný prvek N množina přirozených čísel = {1, 2, 3, 4, ...} Z množina celých čísel = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Q množina racionálních čísel = {p/q, kde p Z, q  N } R množina reálných čísel = všechny “body přímky“. Kvantifikátory.  pro každý “pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B.“  existuje “existuje (alespoň jedno) číslo, které nepatří do množiny N.“ Poznámky.  prázdná množina {} množina obsahující 1 prvek, prázdnou množinu {x}  R jednoprvková množina je podmnožinou množiny reálných čísel x  R prvek množiny reálných čísel

Operace s množinami. Nechť A a B jsou množiny. Pak Průnik množin: A  B = {x; x A a současně x B }. Jestliže A B = , množiny se nazývají disjunktní. Sjednocení množin: A  B = {x; x A nebo x B }. Doplněk množiny A’ = {x; x  A} Rozdíl množin: A - B = {x; x A a současně x  B} A B AB = (A-B)(B-A)(AB), při tom (A-B)  (B-A) =  a současně (A-B)  (AB) =  a současně (B-A)  (AB) = . Říká se tomu disjunktní rozklad AB A-B AB B-A

Negace výroků. Příklady. V: Každý student umí malou násobilku. Aspoň n …. je …(n >1)   Nejvýše (n - 1) … je … Nejvýše n … je …(n >0) Aspoň (n+1) …. je … Každý … je… Nejvýše žádný … není… Existuje 1, který není Aspoň... 1... není Existuje 1 … je ... Aspoň 1 … je ... Žádný(každý) … není ... Nejvýše... 0 … je Příklady. V: Každý student umí malou násobilku. V: Nejvýše žádný student neumí násobilku. V/: Aspoň 1 student neumí násobilku. V/: Existuje student, který neumí násobilku. V: Existuje student, který umí malou násobilku. V: Aspoň 1 student umí násobilku. V/: Nejvýše 0 studentů umí násobilku. V/: Žádný (každý) student neumí násobilku. V: Aspoň 3 prvky patří množině A. V/: Nejvýše 2 prvky patří množině A. V: Nejvýše 3 prvky patří množině A. V/: Alespoň 4 prvky patří množině A.

Příklad. M A B C AC D AD AB = CB = DB = , množiny A, C, D jsou disjunktní s B D  C, současně však C  D, proto D  C.

Operace s reálnými čísly. Nechť a, b, c  R. Sčítání a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a komutativní zákon asociativní zákon jednotkový prvek Násobení ab = ba (ab)c = a(bc) a.1 = a , a.(-1) = -a (a + b)c = ac + bc distributivní zákon Relace mezi reálnými čísly. ab > 0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x > -2)]  [(x < -1)  (x < -2)]  (x < -2)  (x > -1) ab < 0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x < -2)]  [(x < -1)  (x > -2)]  -2 < x < -1 ab = 0  (a = 0)  (b = 0) (x+1)(x+2)= 0  (x = -2)  (x = -1) a / b > 0, b  0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] a / b < 0, b  0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] a / b = 0, b  0  (a = 0) a > 0  - a < 0.

Příklad. Pro která reálná r, s platí Příklad. Pro která reálná r, s platí

Intervaly. R = (-, + ) = {x; - < x < +  } (a, b) = {x  R; a < x < b } (a, b > = {x  R; a < x  b } Absolutní hodnoty. Nechť a  R. Absolutní hodnota čísla a je nezáporné číslo (| a |  0) definované takto: a, pro a  0 | a | = - a, pro a  0 Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Rovnice má 2 řešení: x = 2 a x = 6.

Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2 na množině <5, + ). Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Na množině <5, + ) má rovnice 1 řešení: x = 6. Příklad. Řešme nerovnici | x – 4 |  2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Nulový bod rozdělí reálnou osu na 2 intervaly: (- , 4 >, < 4, + ). x – 4 ≤ 0 pro x  (- , 4>, tedy | x – 4 | = 4 – x  2  2  x. Tedy x  (- , 4>  < 2, + ) = < 2, 4>. x – 4 ≥ 0 pro x  <4, + ), tedy | x – 4 | = x - 4  2  x  6. Tedy x  (- , 6 >  <4 , + ) = <4, 6 >. Řešením nerovnice je tedy interval < 2, 4>  <4, 6 > = <2, 6>.