NÁZEV: VY_32_INOVACE_03_13_M8_Hanak TÉMA: Lineární rovnice Základní škola Libina, příspěvková organizace, Libina 548,788 05,IČ: 708 708 61 Název projektu: Škola hrou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem republiky Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace AUTOR: Ing. Roman Hanák NÁZEV: VY_32_INOVACE_03_13_M8_Hanak TÉMA: Lineární rovnice OBSAH: Slovní úlohy o pohybu ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.4.00/21.2364

ANOTACE V této hodině si ukážeme slovní úlohy, které budou řešit pohybové úlohy. Řešení těchto slovních úloh provedeme pomocí lineárních rovnic. V první části jsou řešené určité typy úloh. V další části jsou příklady na samostatné procvičení. Inovativnost je v tom, že se zde vyskytuje řada moderních interaktivních prvků. Máme zde názorné grafické animace, obrázky, komentáře k řešení a hypertextové odkazy. Žáci lépe pochopí probíranou látku a hodina je pro ně zajímavější. Každý řešený příklad je pomocí animací rozdělen na dílčí kroky, takže vyučující se nezdržuje psaním na tabuli, ale pomocí ovladače postupně odkrývá řešení příkladu a má tak možnost žáky nechat samostatně tvořit a věnovat se těm žákům, kteří potřebují individuální pomoc. Na konci hodiny je stránka, kde jsou odkazy na internetové stránky, které prověří matematické dovednosti formou her nebo různých testů. Vyučující má možnost vybrat si z uvedených odkazů stránku, na které otestuje vědomosti žáků. Hodina je tvořena tak, aby se mohla být odučena v multimediální učebně nebo v počítačové učebně, které mají připojení k internetu.

Při řešení slovních úloh rovnicemi postupujeme takto: 1. Nejdříve si pozorně přečteme text úlohy a zapíšeme, co je dáno a co máme vypočítat. 2. Označíme neznámou a podmínky úlohy vyjádříme pomocí této neznámé. Vyhledáme výrazy, které se sobě rovnají a sestavíme rovnici. 3. Sestavenou rovnici vyřešíme a provedeme zkoušku správnosti řešení rovnice 4. O správnosti sestavení rovnice se přesvědčíme zkouškou slovní úlohy tak, že dosadíme získanou hodnotu přímo do textu úlohy. Zjistíme, zda vypočítaná hodnota neznáme vyhovuje podmínkám úlohy. 5. Získaný výsledek zapíšeme slovní odpovědí.

················· 𝑠 1 = 𝑣 1 ·𝑡 =14·𝑡 𝑘𝑚 dráha druhého běžkaře Př. 1) Ze dvou horských chat vzdálených od sebe 39 km současně vyrazili přímo proti sobě dva běžkaři. První z nich průměrnou rychlostí 14 𝑘𝑚 ℎ , druhý průměrnou rychlostí 12 𝑘𝑚 ℎ . Za jak dlouho se setkali? 𝑠 Řešení: A B 𝑠 1 𝑠 2 𝑣 1 𝑣 2 dráha prvního běžkaře ················· 𝑠 1 = 𝑣 1 ·𝑡 =14·𝑡 𝑘𝑚 dráha druhého běžkaře ················ 𝑠 2 = 𝑣 2 ·𝑡 =12·𝑡 𝑘𝑚 celková délka dráhy ···································𝑠=39 𝑘𝑚 Sestavíme rovnici: 𝑠 1 + 𝑠 2 =𝑠

𝑠 1 + 𝑠 2 =𝑠 14𝑡+12𝑡=39 26𝑡=39 /:26 𝑡= 39 26 𝑡=1,5 Zkouška: dráha prvního běžkaře ·················14·1,5 =21 𝑘𝑚 dráha druhého běžkaře ················12·1,5 =18 𝑘𝑚 celková délka dráhy ··································39 𝑘𝑚 Odpověď: Běžkaři se setkají za 1,5 hodiny.

Auto jelo o 30 minut (tj. 0,5 hodin) Př. 2) Vzdálenost mezi Prahou a Turnovem je 89 km. Z Turnova vyjelo v 8 hodin auto průměrnou rychlostí 42 𝑘𝑚 ℎ . V 8 hodin 30 minut vyjel z Prahy po stejné trase do Turnova motocykl průměrnou rychlostí 94 𝑘𝑚 ℎ . Kdy a v jaké vzdálenosti od Turnova se setkají? 𝑠 Řešení: T P 𝑠 1 ∗ 𝑠 1 𝑠 2 𝑣 1 𝑣 2 Auto jelo o 30 minut (tj. 0,5 hodin) déle než motocykl. doba jízdy auta ····························· 𝑡+0,5 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 doba jízdy motocyklu ···············································𝑡 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 dráha auta · · · · · · · · · · · · · · 𝑠 1 ∗ + 𝑠 1 = 𝑣 1 ·(𝑡+0,5) =42·(𝑡+0,5) 𝑘𝑚 dráha motocyklu ································ 𝑠 2 = 𝑣 2 ·𝑡 =94·𝑡 𝑘𝑚 dráha mezi městy ··················································𝑠=89𝑘𝑚

𝑠 1 ∗ + 𝑠 1 + 𝑠 2 =𝑠 Sestavíme rovnici: Zkouška: 42 𝑡+0,5 +94𝑡=89 42𝑡+21+94𝑡=89 21+136𝑡=89 /−21 136𝑡=68 /:136 𝑡=0,5 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 Zkouška: doba jízdy auta ······································0,5+0,5=1 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 doba jízdy motocyklu ··········································0,5 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 dráha auta ······················································1·45 =45 𝑘𝑚 dráha motocyklu ········································94·0,5 =46 𝑘𝑚 vzdálenost mezi městy ·············································89 𝑘𝑚 Potkají se za 0,5 hodin po vjetí motocyklu ve vzdálenosti 45 km od Turnova.

Př. 3) V 10 hodin 30 minut vyjelo z města M do města N nákladní auto průměrnou rychlostí 55 𝑘𝑚 ℎ . Ve 12 hodin 15 minut za ním vyjelo osobní auto rychlostí 90 𝑘𝑚 ℎ . Za kolik hodin a jak daleko od města N se setkají, je-li vzdálenost měst 290 km ? 𝑣 1 𝑣 2 𝑠 2 Řešení: 𝑠 𝑁 M N 𝑠 1 ∗ 𝑠 1 Nákladní auto jelo o 1 hodinu 45 minut (tj. 1,75 hodin) déle než osobní auto. doba jízdy nákladního auta ·························· 𝑡+1,75 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 doba jízdy osobního auta ···········································𝑡 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 dráha nákladního auta · · · · · 𝑠 1 +𝑠 1 ∗ = 𝑣 1 ·(𝑡+1,75) =55·(𝑡+1,75) 𝑘𝑚 dráha osobního auta ···························· 𝑠 2 = 𝑣 2 ·𝑡 =90·𝑡 𝑘𝑚

𝑠 1 + 𝑠 1 ∗ = 𝑠 2 Sestavíme rovnici: 55 𝑡+1,75 =90𝑡 55𝑡+96,25=90𝑡 /−55 96,25=35𝑡 /:35 𝑡=2,75 Zkouška: doba jízdy nákladního auta ·············2,75+1,75=4,5 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 doba jízdy osobního auta ····································2,75 ℎ𝑜𝑑𝑖𝑛 dráha nákladního auta ·······························55·4,5 =247,5 𝑘𝑚 dráha osobního auta ····························90·2,75 =247,5 𝑘𝑚 vzdálenost setkání od města N: 𝑠 𝑁 =290−247,5𝑘𝑚 =42,5 𝑘𝑚 Osobní auto dostihne po vyjetí nákladní auto za 2,75 hodin (tj. 2h 45min) ve vzdálenost 42,5 km od města N.

Příklady pro samostatné procvičení: 1. Rosťa vyjel na kole k dědovi Veselému rychlostí 12 𝑘𝑚 ℎ . Přesto, že za ním rodiče vyjeli autem až za 3,5 hodiny, setkali se za 45 minut před vraty dědy Veselého. Jakou průměrnou rychlostí jeli rodiče a jak daleko bydlí děda Veselý? 2. Traktor vyjíždí z pole a průměrnou rychlostí 20 𝑘𝑚 ℎ směřuje do 14 km vzdáleného družstva. O 2 minut později za něm vyjíždí motocykl průměrnou rychlostí 45 𝑘𝑚 ℎ . Dostihne motocykl traktor ještě před vjezdem do družstva? 3. Ze dvou míst vzdálených od sebe 15 600 m vyšli současně proti sobě dva chodci průměrnými rychlostmi 5 𝑘𝑚 ℎ a 1,5 𝑘𝑚 ℎ . Za jak dlouho se setkají?

4. Ze statku vyjel povoz průměrnou rychlostí 10 𝑘𝑚 ℎ 4. Ze statku vyjel povoz průměrnou rychlostí 10 𝑘𝑚 ℎ . O 10 minut později za ním vyjel chlapec na kole. Jakou rychlostí musí jet, aby povoz dohnal? 5. Ve 13 hodin 30 minut vyjel z vesnice k 11 km vzdálenému rybníku cyklista průměrnou rychlostí 12 𝑘𝑚 ℎ . O 10 minut později vyšel v opačném směru chodec. Jakou rychlostí by musel jít, aby se potkal ve 14 hodin 10 minut? 6. V 11 hodin 45 minut vyjelo z města K do města L nákladní auto průměrnou rychlostí 45 𝑘𝑚 ℎ . Ve 13 hodin 30 minut za ním vyjelo osobní auto průměrnou rychlostí 80 𝑘𝑚 ℎ . V kolik hodin a jak daleko od města L se setkají? Vzdálenost mezi městy K a L je 200 km.

1. Děda bydlí 51 km daleko a rodiče jeli rychlostí 68 𝑘𝑚 ℎ . Výsledky: 1. Děda bydlí 51 km daleko a rodiče jeli rychlostí 68 𝑘𝑚 ℎ . 2. Traktor dostihne 2 km před družstvem. 3. Chodci se setkají za 1,5 hodiny. 4. Musel by jet rychlostí 12 𝑘𝑚 ℎ . 5. Musel by jít rychlostí 6 𝑘𝑚 ℎ . . 6. Setkají se v 15 h 45 min ve vzdálenosti 20 km od města L.

Moje škola – matematika A Hypertextové odkazy Matematické hry Moje škola – matematika A Moje škola – matematika B ZŠ Dobřichovice – pracovní listy Matematika pro každého Matematika pro základní školy Fyzikální, matematické a chemické tabulky

Použité zdroje: MOLNÁR, Josef; EMANOVSKÝ, Petr; LEPÍK, Libor a kol. Matematika 8. Olomouc: Prodos, 2000, ISBN 80-7230-062-8. MULLEROVÁ, Jana; BĚLOUN, František; BRANT, Jiří a kol. Matematika pro 8. ročník. Praha: Kvarta, 1999, ISBN 80-85570-93-9. DYTRYCH, Martin; DOBIASOVÁ, Irena; LIVŇANSKÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky –početní úlohy. Pohořelice: Fortuna, 2001, ISBN 80-7168-766-9. Galerie klipart MS Office 2010