Magnetismus ● Znám lidstvu od nepaměti. ● Železné piliny zobrazí siločáry: ● Magnetické pole popisuje veličina magnetická indukce B, jednotka 1T = 1 Tesla Tesla je poměrně velká jednotka: Magnetické pole Země  50T Magnet na ledničce  5mT Magnetická resonance v nemocnici: 1-10T

Póly ● Podobně jako u nábojů: -jsou dva druhy pólů, severní a jižní. -opačné póly se přitahují, stejné se odpuzují. ● Na rozdíl od nábojů: póly jsou vždy v párech. Nikdo zatím neviděl jen jeden o samotě. ● Siločáry směřují od severního pólu k jižnímu vně magnetu a od jižního k severnímu uvnitř. Magnetická indukce B je k nim tečná, tak jako elektrická intenzita je tečná k elektrickým siločárám (viz minule). Siločáry jsou uzavřené: Gaussův zákon pro B má nulu na pravé straně.

Souvislost s elektřinou Magnetické pole působí na pohybující se náboje a pohybující se náboje naopak vytvářejí magnetické pole. 0 je permeabilita vakua (pro jiná prostředí vynásobíme relativní permeabilitou) Podobné vztahům pro elektrické pole Také platí princip superpozice: magnetická pole od různých zdrojů se sčítají. Hlavní rozdíly: ● V magnetismu je proti elektřině navíc v ● 0 je v čitateli, 0 je ve jmenovateli Sílu magnetického pole na pohybující se náboje a magnetické pole pohybujících se nábojů teď probereme postupně.

Síla na pohybující se náboj Síla je kolmá na rychlost  mění směr rychlosti, ne velikost  kruhový pohyb Užití v kruhových urychlovačích a to ● během urychlování: ● při detekci:

Obecně pohyb po spirále: na složku rychlosti ve směru B nepůsobí síla (viz vlastnosti vektorového součinu). Proto např. nabité částice kosmického záření šroubují podél siločar magnetického pole Země a vytvářejí van Allenovy pásy: Blízko pólů se částice dostanou do atmosféry a ionizují vzduch  Polární záře

Síla na rovný drát Jako při odvození Ohmova zákona: n elektronů v jednotce objemu, takže v drátu o délce L a průřezu A je náboj elektronů -enAL L je vektor délky L ve směru drátu…síla je úměrná délce části drátu umístěné v magnetickém poli.

Působení na proudovou smyčku Výsledná síla je nulová, ale výsledný moment síly je nenulový Uplatnění v ampérmetru: Též v elektromotoru…viz dále Magnetický moment=proudplocha

Magnetické pole pohybujícího se náboje Většinou magnetické pole vzniká pohybem elektronů ve vodiči. Součin náboje a driftové rychlosti v kousku drátu ds lze vyjádřit pomocí proudu: Příspěvek k magnetické indukci v bodě P od kousku drátu ds je proto: Magnetická indukce v bodě P od celého drátu: Opět vektorový součin jako u síly  magnetické pole se točí kolem proudu podle pravidla pravé ruky, proto dBin, dBout

Ampèrův zákon Magnetické siločáry jsou uzavřené: tok magnetické indukce uzavřenou plochou je nula, ale cirkulace magnetické indukce po uzavřené křivce by nám mohla dát něco zajímavého. Skutečně: Vezmeme libovolnou uzavřenou křivku l. V každém bodě křivky uděláme skalární součin elementu křivky ds s magnetickou indukcí B a sečteme (zintegrujeme) přes celou křivku. Tím dostaneme cirkulaci B po křivce l. Ampèrův zákon říká, že cirkulace je rovna elektrickému proudu plochou ohraničenou l vynásobenému permeabilitou vakua (obecně prostředí). ds B Il l Pravidlo pravé ruky: Il ve směru palce, ds ve směru prstů Naproti tomu cirkulace elektrické intenzity je nula, protože (statické) elektrické pole je konzervativní. Užití pro výpočet magnetické indukce je podobné jako užití Gaussova zákona v gravitaci a elektrostatice: v symetrických případech pro vhodnou volbu křivky l snazší než výpočet integrálu na předchozí straně. Probereme příklady: tenký rovný dlouhý drát a dlouhá těsně navinutá cívka

Magnetické pole kolem dlouhého rovného tenkého drátu, kterým teče proud I Za uzavřenou křivku zvolíme kružnici o poloměru r v rovině kolmé k drátu a se středem v drátu: Ze symetrie má B všude na této kružnici stejnou velikost a směr jako ds: Příklad: proud 1A, pole ve vzdálenosti 1m: ve vzdálenosti 1cm: 210-5 T

Výsledek můžeme použít pro představu o velikosti magnetické síly: síla působící na náboj 1C pohybující se rychlostí 1m/s ve vzdálenosti 1m od dlouhého rovného drátu s proudem 1A = tíha řasy místo Empire State Building! 17 řádů rozdíl mezi elektrickou a magnetickou silou kvůli permitivitě ve jmenovateli a permeabilitě v čitateli: což je kvadrát rychlosti světla ve vakuu, kterou dnes ještě potkáme. Magnetickou sílu tedy dostaneme z elektrické vydělením c2, tj. rychlost zdroje i rychlost testovacího náboje vydělíme c Příznak relativity—rychlosti se dělí c: viz kontrakce délek a dilatace času s faktorem

Pole cívky Další příklad použití Ampèrova zákona; zesílení pole jednoho drátu Pokud jsou závity blízko u sebe a délka podstatně větší než šířka, pak je pole uvnitř zhruba konstantní a vně zhruba nulové …magnetická obdoba kondenzátoru V uzavřené křivce 1234 přispívá k cirkulaci pouze strana 1. Pokud je uvnitř křivky N závitů a cívkou teče proud I, pak Takže indukce je daná počtem závitů na jednotce délky Příklad: 10 závitů na cm, 1A …stejného řádu jako magnet na ledničce

Shrnutí el. a mag. pole až sem 4 vztahy: ● Elektrické pole zřídlové a nevírové; zřídla jsou elektrické náboje ● Magnetické pole vírové a nezřídlové; vírové čáry jsou elektrické proudy  Pole na sebe přímo nepůsobí …v každém vztahu jen jedno  Pole jsou vázaná na zdroje Vztahy pro toky (Gaussovy zákony) jsou v konečné podobě Vztahy pro cirkulace se změní pro časově proměnná pole: Faradayův zákon elektromagnetické indukce a Maxwellův posuvný proud

Faradayův zákon Časová změna toku magnetické indukce nějakou plochou indukuje cirkulaci elektrického pole, tj. napětí, podél hranice této plochy : Pravidlo pravé ruky: dA ve směru palce, ds ve směru prstů. Elektrické pole pak není konzervativní …má nenulovou cirkulaci po uzavřené křivce. Příklad: plocha smyčky 10cm2, magnetická indukce vzroste o hodnotu 0,01T za 1s. Napětí podél smyčky = 10-5V

Dynamo: periodická změna magnetického toku Abychom navíc zvětšili indukované napětí oproti předchozímu příkladu, zvětšíme magnetický indukční tok více závity a zvětšíme rychlost jeho změny. Příklad: alternátor v autě. Parametry: maximální tok magnetické indukce 2,510-4Tm2, 250 závitů, 1000 otáček za min. Když naopak do cívky pustíme střídavý proud, vznikne střídavý moment síly, který jsme spočítali…povede k otáčivému pohybu…elektromotor.

Další aplikace Proudový chránič: Pokud proud utíká, kam nemá, je proud v drátech 1 a 2 různý. Rozdíl proudů způsobí měnící se magnetické pole v kolečku, které indukuje napětí v cívce připojené na pojistku, a ta odpojí proud. Elektrická kytara: Část struny nad magnetem je zmagnetizovaná, a proto při pohybu indukuje napětí v cívce, které se pak dál zesílí.

Indukčnost Charakterizuje působení cívky na sebe samu: proud cívkou vytváří magnetické pole, které v ní samotné tvoří magnetický indukční tok, jehož časová změna v cívce indukuje napětí proti napětí, které zpočátku způsobilo proud: je indukčnost. Jednotka: Příklad: 10 závitů na cm, celkem 100 závitů, tj. délka 10cm, plocha 1cm2 Ocelové jádro zvětší L až několik 1000 kvůli zvětšení permeability. Pro dI/dt=1A/s se v této cívce indukuje napětí 13V, ale pro dI/dt=104 A/s (např. nárůst 10mA za 1s) se indukuje 0.13V

Energie magnetického pole Energii magnetického pole můžeme určit ze zákona zachování energie: abychom zvýšili proud v cívce, musíme překonat sílu indukovaného elektrického pole: Malý přírůstek energie při pohybu malého náboje dq v poli E podél celé cívky: Celkovou energii dostaneme integrací od počáteční nulové do koncové hodnoty proudu: Odtud objemová hustota energie magnetického pole: Vyjádřeno přes I Vyjádřeno přes B Podobnost: z minula

Nosnost magnetu: užití energie magnetického pole Princip: pokles potenciální energie při poklesu závaží o dx musí být menší než přírůstek energie magnetického pole Schematicky: dx Magnet o ploše S S Závaží o hmotnosti m Magnetické pole s hustotou energie wmag dV=Sdx…změna objemu magnetického pole Ve skutečnosti: Řádový odhad: permeabilita jádra typický rozměr

RLC obvody Kirchhoffův zákon o napětích ve smyčce: Nejjednodušší: Napětí na cívce Napětí na kondenzátoru vyjádřené jeho nábojem Vztah mezi proudem a nábojem na kondenzátoru: Odtud rovnice pro náboj: Stejná rovnice jako pro tlumený harmonický oscilátor s budící silou Odpovídající veličiny: mL b  R k  1/C Resonanční frekvence: Příklad: C=10F, L=100mH… f160Hz

Střídavé napětí a proud vyjádřené pomocí komplexních čísel: Lineární vztah mezi napětím a proudem pro rezistor dal Ohmův zákon. Lineární vztah platí i pro cívku a kondenzátor, ale obsahuje také fázový posun mezi napětím a proudem…odtud imaginární jednotka i: Napětí je o čtvrt periody před proudem pro cívku. Napětí je o čtvrt periody za proudem pro kondenzátor. Odpor zobecněný z rezistoru na cívky a kondenzátory se nazývá impedance.

Frekvenční filtry obdoba děliče napětí minule. Využívají toho, že impedance kondenzátoru klesá s rostoucí frekvencí. Low pass: High pass:

Maxwellův posuvný proud Kterou plochu máme zvolit pro uzavřenou křivku P v Ampèrově zákoně? Plocha S1 Plocha S2 Maxwellovo řešení: k proudu I v Ampèrově zákoně je potřeba přičíst posuvný proud Id je naopak nulový pro S1 a nenulový pro S2. Součet obou proudů je stejný pro obě plochy. Takže Ampère-Maxwellův zákon platí pro obě plochy (a pro všechny ostatní plochy taky). Tohle byl poslední chybějící kus ve skládance klasické teorie elektromagnetismu.

Grand finale: Maxwellovy rovnice +síla polí na náboje: Součin permitivity a permeability…už jsme potkali a ještě potkáme dále Úplný popis makroskopických elektromagnetických jevů. Oddělené části už leccos popsaly. Kvalitativně nová vlastnost úplné teorie: Maxwellovy rovnice mají řešení i pro Q = 0, I = 0, takže elektromagnetické pole je samostatný objekt s vlastní dynamikou. Tato řešení jsou elektromagnetické vlny.

Pro jednoduchost budeme uvažovat případ, kdy E ve směru osy y a B ve směru osy z Obě pole závisejí pouze na x a t.

Elektromagnetická vlna Vyjdeme z obou získaných rovnic: První rovnici zderivujeme podle x, druhou podle t a porovnáme Opačný postup, tj. derivace první rovnice podle t a druhé podle x dá při následném porovnání tutéž rovnici pro B: V obojím případě vlnová rovnice…viz přednáška o kmitech a vlnách. Rychlost šíření elektromagnetické vlny: tedy rychlost světla ve vakuu  světlo je elektromagnetická vlna Vzpomeňme: V Newtonově zákoně vystupovalo zrychlení, ne rychlost. Tady s rychlostí vyvstala otázka: rychlost vůči čemu? Překvapivou odpověď dala relativita: rychlost vůči čemukoliv!

Grafické znázornění Ve všech místech v jednom okamžiku V jednom místě v různých okamžicích Animace (s jiným značením os) Z obrázků vidíme kvalitativně bez algebraických úprav, že platí: Faradayův zákon Ampère-Maxwellův zákon Vlnění díky opačným znaménkům v obou zákonech

Spektrum elektromagnetických vln Zjistili jsme, že světlo je elektromagnetická vlna. Naopak ale ne každá elektromagnetická vlna je světlo. Světlo tvoří jen malou část spektra v intervalu vlnových délek zhruba mezi ½ a ¾ mikrometru: Poslední řádek…teplota, při které příslušná vlnová délka je nejvíce emitována. Čím kratší vlnová délka, tím vyšší teplota. Ale…

Podle klasické termodynamiky by maximum být nemělo: výkon by pro krátké vlnové délky měl jít do nekonečna místo do nuly…UV katastrofa Maximum vysvětlila kvantová mechanika. Maxwellova teorie…jeden z intelektuálních triumfů lidstva Úplně popsala makroskopické chování nábojů a polí a navíc ukázala dál: na kvantovou mechaniku a na relativitu. Termodynamika a kvantová mechanika na nás čekají v TFYS2.