Grafické řešení lineárních rovnic Rovnice a nerovnice Grafické řešení lineárních rovnic VY_32_INOVACE_M1r0103 Mgr. Jakub Němec

Grafické řešení lineárních rovnic Kořen lineárních rovnic jsme se naučili hledat pomocí výpočtů v minulé lekci. Početní řešení však není jediným možným. Každou lineární rovnici lze totiž vyřešit graficky. Grafické řešení lineárních rovnic se opírá o fakt, že grafem každé lineární rovnice je přímka, která se dá zapsat ve tvaru 𝑦=𝑘𝑥+𝑞, což nápadně připomíná zápis lineární rovnice 𝑎𝑥+𝑏=0. Pro grafické řešení rovnic není podmínka 𝑦=0 nutná, jak si za chvíli ukážeme, ale řešení je tak mnohdy pohodlnější. Řešitel si musí zvolit svůj „oblíbený“ postup sám.

3𝑥+5=2𝑥+3 𝑥+2=0 𝒙=−𝟐 Řešte graficky danou rovnici. Nejdříve upravíme rovnici do tvaru 𝑎𝑥+𝑏=0. Z úpravy je zřejmé, že kořenem rovnice bude číslo -2. Grafické řešení získáme tak, že sestrojíme graf funkce 𝑦=𝑥+2 a zjistíme, ve kterém místě protíná osu x. Jak určit graf lineární funkce? Vybereme si dvě hodnotu pro souřadnici x, získáme pro ně hodnotu y dosazením do rovnice. Hodnoty x a y jsou souřadnice bodů. Stačí nám získat dva body, které spojíme a získáme graf funkce. 𝑥+2=0 𝒙=−𝟐

3𝑥+5=2𝑥+3 Jiný postup pro grafické řešení je takový, že nám stačí upravit obě strany rovnice do tvaru 𝑎𝑥+𝑏=0 a pro obě získané funkce najdeme graf v soustavě souřadnic. X-ová souřadnice jejich průsečíku je náš hledaný kořen. Samozřejmě je kořen roven číslu -2. 𝒙=−𝟐

3 𝑥−3 −5 𝑥−4 =7𝑥+2 −9𝑥+9=0 𝒙=𝟏 Řešte graficky danou rovnici. Nejdříve upravíme rovnici do tvaru 𝑎𝑥+𝑏=0. Pro získanou funkci −9𝑥+9=0 sestavíme graf. Průsečík grafu s osou x je náš hledaný kořen. Kořen rovnice je tedy číslo 1. −9𝑥+9=0 𝒙=𝟏

3 𝑥−3 −5 𝑥−4 =7𝑥+2 Alternativním postupem je úprava obou stran rovnice do tvaru 𝑎𝑥+𝑏=0 a určit jejich průsečík. Nejdříve upravíme rovnici. Poté najdeme grafy pro funkce levé a pravé strany. X-ová souřadnice grafů, a tedy i hledaný kořen rovnice, je v bodě 1. −2𝑥+11=7𝑥+2 𝒙=𝟏

2 𝑥+5 −4=3 𝑥+2 −𝑥 0𝑥+0=0, 𝑟𝑒𝑠𝑝. 𝟎𝒙=𝟎 𝑲= ℝ Určete graficky kořen dané rovnice. Upravíme rovnici do tvaru 𝑎𝑥+𝑏=0. Z úpravy lze pozorovat, že rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jak toto řešení graficky dokázat? Tvar 0𝑥+0=0 v podstatě znamená konstantní funkce 𝑦=0, což znamená, že průsečík s osou x je ve všech jejích bodech. 0𝑥+0=0, 𝑟𝑒𝑠𝑝. 𝟎𝒙=𝟎 𝑲= ℝ

2 𝑥+5 −4=3 𝑥+2 −𝑥 Druhou možností, jak určit kořeny rovnice, je upravit obě strany na tvar 𝑎𝑥+𝑏=0. Je zřejmé, že obě strany rovnice jsou shodné, grafy tedy vytvoří shodné přímky. Shodné přímky mají nekonečně mnoho průsečíků, které se zobrazí na celou osu x. Rovnice má tedy nekonečně mnoho kořenů. 2𝑥+6=2𝑥+6 𝟎𝒙=𝟎

−5 𝑥+3 +16=−4 𝑥+3 −𝑥+6 −5𝑥+1=−5𝑥−6 𝟎𝒙=−𝟕 Určete graficky kořen dané rovnice. Upravíme si obě strany rovnice do tvaru 𝑎𝑥+𝑏=0. Z úpravy je zřejmé, že rovnice nemá žádný reálný kořen. Graficky se tato skutečnost dokazuje tak, že grafy levé a pravé strany rovnice budou rovnoběžné, nemají tedy žádný společný bod. −5𝑥+1=−5𝑥−6 𝟎𝒙=−𝟕

Úkol závěrem Graficky urči kořeny daných rovnic: b) 15 𝑥+3 −6 7+2𝑥 =4 5𝑥−6 +6(4−3𝑥) c) 7𝑥−19 5 − 6 𝑥−2 3 = 4−6𝑥 2 + 12𝑥−13 5

Zdroje Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2. Pro přípravu obrázků byly použity programy Malování (součást operačního systému Windows) a Funkce 2.01 (freeware licence).