PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ Rozbor úlohy Řešení úlohy Všechny uveřejněné odkazy [2011-01-06] dostupné pod licencí Public domain na WWW: levý obrázek: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=514 pravý obrázek: <http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=281> Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

1 2 3 4 5 6 7 8 Na konferenci má vystoupit pět řečníků A, B, C, D, E. Určete, kolik je možností pro pořadí jejich proslovů. 2 Určete, kolika způsoby může 10 táborníků při nástupu na ranní rozcvičku nastoupit do řady, v níž bude táborník Aleš stát vždy na kraji řady. 3 Určete, kolika způsoby se na pětimístné lavici může rozmístit pět chlapců, z nichž dva chtějí sedět vedle sebe. 4 Šest českých a sedm anglických knih je třeba uspořádat na poličce tak, aby byly seřazeny nejprve české a poté anglické knihy. Kolika způsoby to lze provést? 5 Mějme 10 korálků (každý jiné barvy), které budeme navlékat na nit. Její konce poté svážeme a vytvoříme kruhový náramek. Kolika způsoby lze korálky do kruhu uspořádat? (Pozn.: Uspořádání korálků lišící se jen točením kruhu nepovažujeme za různé.) 6 Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 6, 8. 7 Kolik devíticiferných přirozených čísel bez opakování je možno sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mají-li čísla začínat ciframi 3 nebo 5? 8 Jestliže se zvětší počet prvků o dva, zvětší se počet permutací bez opakování z těchto prvků vytvořených dvanáctkrát. Určete původní počet prvků.

1 Na konferenci má vystoupit pět řečníků A, B, C, D, E. Určete, kolik je možností pro pořadí jejich proslovů. 1 Každý z řečníků přednese právě jeden proslov v předem stanoveném pořadí. Vzhledem k tomu, že na konferenci vystupuje právě pět řečníků, sestavujeme uspořádané pětice z pěti prvků (proslovů řečníků). Tyto uspořádané pětice představují permutace bez opakování z pěti prvků. Počet všech možných pořadí přednášených proslovů je tedy roven počtu P(5) všech permutací bez opakování Z

1 Na konferenci má vystoupit pět řečníků A, B, C, D, E. Určete, kolik je možností pro pořadí jejich proslovů. 1 n = 5 Počet všech možných pořadí proslovů pěti řečníků je 120. Rozložíme faktoriál. Dopočítáme příklad. Dosadíme do vzorce. Z

2 Určete, kolika způsoby může 10 táborníků při nástupu na ranní rozcvičku nastoupit do řady, v níž bude táborník Aleš stát vždy na kraji řady. 2 Deset táborníků vytvoří řadu deseti cvičenců, jedná se tedy o permutace bez opakování. Nejprve necháme nastoupit devět táborníků, Aleše postavíme stranou. Počet těchto seřazení je roven počtu P(9) všech permutací z devíti prvků (táborníků). Aleše potom zařadíme buď na levý kraj, nebo na pravý kraj řady. Při nástupu máme tedy 2 možnosti zařazení Aleše do řady. Celkový počet všech seřazení deseti táborníků požadované vlastnosti při ranní rozcvičce je tedy roven: 2 . P(9) Z

P(9) upravíme pomoci vzorce. Určete, kolika způsoby může 10 táborníků při nástupu na ranní rozcvičku nastoupit do řady, v níž bude táborník Aleš stát vždy na kraji řady. 2 Počet všech možných seřazení deseti táborníků požadované vlastnosti je 725 760. Rozložíme faktoriál. Dopočítáme příklad. P(9) upravíme pomoci vzorce. Z

3 Chlapce si označíme A, B, C, D, E a předpokládejme, že chlapci A, B Určete, kolika způsoby se na pětimístné lavici může rozmístit pět chlapců, z nichž dva chtějí sedět vedle sebe. Chlapce si označíme A, B, C, D, E a předpokládejme, že chlapci A, B chtějí sedět vedle sebe. Rozmístění pěti chlapců na lavici představuje uspořádané pětice neboli permutace bez opakování z pěti prvků. Je zřejmé, že v každé takovéto pětici se bude vyskytovat uspořádaná dvojice [A, B] nebo [B, A] tvořená chlapci, kteří chtějí sedět vedle sebe. Počet těchto uspořádaných dvojic je roven počtu P(2) všech permutací bez opakování ze dvou prvků. Označíme-li tuto uspořádanou dvojici jediným prvkem S, pak se můžeme na rozmístění dívat jako na uspořádané čtveřice sestavované z prvků S, C, D, E neboli permutace bez opakování ze čtyř prvků, jejichž počet je roven počtu P(4) všech permutací bez opakování ze čtyř prvků. Počet všech možných rozmístění chlapců je tedy roven P(2) . P(4). Z

P(2) a P(4) upravíme pomoci vzorce. 3 Určete, kolika způsoby se na pětimístné lavici může rozmístit pět chlapců, z nichž dva chtějí sedět vedle sebe. Počet všech možných rozmístění pěti chlapců na lavici požadované vlastnosti je 48. Rozložíme faktoriály. Dopočítáme příklad. P(2) a P(4) upravíme pomoci vzorce. Z

4 Šest českých a sedm anglických knih je třeba uspořádat na poličce tak, aby byly seřazeny nejprve české a poté anglické knihy. Kolika způsoby to lze provést? 4 Na každé seřazení se můžeme dívat jako na uspořádanou třináctici, jejíchž prvních šest členů tvoří české knihy a následujících sedm členů tvoří anglické knihy. Jelikož se každá kniha vyskytuje v uspořádané třináctici právě jednou, jedná se o permutace bez opakování. Seřazením českých knih na poličce tvoříme uspořádané šestice, jejichž počet je roven počtu P(6) všech permutací z šesti prvků. Nezávisle na tomto uspořádání seřadíme anglické knihy, které budou tvořit uspořádané sedmice a jejich počet je roven počtu P(7) všech permutací bez opakování ze sedmi prvků. Celkový počet uspořádání knih na poličce: P(6) . P(7) Z

P(6) a P(7) upravíme pomoci vzorce. Šest českých a sedm anglických knih je třeba uspořádat na poličce tak, aby byly seřazeny nejprve české a poté anglické knihy. Kolika způsoby to lze provést? 4 Počet všech možných uspořádání knih na poličce požadované vlastnosti je 3 628 800. Rozložíme faktoriály. P(6) a P(7) upravíme pomoci vzorce. Dopočítáme příklad. Z

5 Mějme 10 korálků (každý jiné barvy), které budeme navlékat na nit. Její konce poté svážeme a vytvoříme kruhový náramek. Kolika způsoby lze korálky do kruhu uspořádat? (Pozn.: Uspořádání korálků lišící se jen točením kruhu nepovažujeme za různé.) 5 Navlékáme-li na nit korálky do řady, nikoliv do kruhu, vytváříme tak uspořádané desetice, v nichž se vyskytuje každý korálek právě jednou. Počet všech těchto uspořádání je tedy roven počtu P(10) všech permutací bez opakování z deseti prvků. Avšak v okamžiku svázání niti a vytvoření kruhového náramku bude několik uspořádání v kruhu shodných. Mějme nějaké uspořádání v kruhu, jeho libovolný korálek označíme jako první a ostatní korálky očíslujeme ve směru hodinových ručiček. Otočíme-li celé uspořádání o jeden korálek ve směru hodinových ručiček (první korálek bude na druhém místě, druhý na třetím, atd.), dostaneme shodné uspořádání. Takto můžeme uspořádání pootočit celkem 10krát a vždy dostaneme shodné uspořádání. Když jsme ale korálky navlékali do řady, všechna tato uspořádání jsme již započítali, a proto je musíme z celkového počtu všech uspořádání vyloučit. Počet všech možných uspořádání korálků do kruhu je roven: P(10) : 10 Z

P(10) upravíme pomoci vzorce. Mějme 10 korálků (každý jiné barvy), které budeme navlékat na nit. Její konce poté svážeme a vytvoříme kruhový náramek. Kolika způsoby lze korálky do kruhu uspořádat? (Pozn.: Uspořádání korálků lišící se jen točením kruhu nepovažujeme za různé.) 5 Korálky lze do kruhu uspořádat celkem 362 880 způsoby. Rozložíme faktoriál. Dopočítáme příklad. P(10) upravíme pomoci vzorce. Z

6 Každé pěticiferné číslo lze považovat za uspořádanou pětici. Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 6, 8. Každé pěticiferné číslo lze považovat za uspořádanou pětici. V žádné uspořádané pětici se cifry neopakují, každá cifra se v ní vyskytuje právě jednou a jejím prvním členem není cifra nula. Tyto uspořádané pětice jsou permutacemi bez opakování z pěti prvků a jejich počet je roven počtu P(5) všech permutací bez opakování z pěti prvků. Současně musíme vyloučit pěticiferná čísla začínající nulou. V těchto uspořádaných pěticích je již první člen obsazen nulou a ostatní členy tvoříme z cifer 2, 4, 6, 8. To znamená, že odečítáme počet P(4) všech permutací bez opakování ze čtyř prvků. Celkový počet hledaných přirozených čísel: P(5) – P(4) Z

P(5) a P(4) upravíme pomoci vzorce. 6 Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 6, 8. Počet všech hledaných přirozených čísel je 96. P(5) a P(4) upravíme pomoci vzorce. Dopočítáme příklad. Rozložíme faktoriály. Z

7 Kolik devíticiferných přirozených čísel bez opakování je možno sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mají-li čísla začínat ciframi 3 nebo 5? 7 Každé devíticiferné číslo představuje uspořádanou devítici sestavenou z devíti cifer tak, že se v ní každá zadaná cifra vyskytuje právě jednou. Jedná se o permutace bez opakování. Má-li začínat devíticiferné číslo 3, pak se nachází 3 na prvním místě uspořádané devítice a ostatní její členy vybíráme z cifer 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Počet těchto výběrů je roven počtu P(8) všech permutací bez opakování z osmi prvků. Devíticiferné číslo začínající 5 má na prvním místě uspořádané devítice 5 a ostatní její členy vybíráme z cifer 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Počet těchto výběrů je roven počtu P(8) všech permutací bez opakování z osmi prvků. Celkový počet hledaných čísel je tedy roven: 2 . P(8) Z

P(8) upravíme pomoci vzorce. Kolik devíticiferných přirozených čísel bez opakování je možno sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mají-li čísla začínat ciframi 3 nebo 5? 7 Počet všech hledaných přirozených čísel je 80 640. Dopočítáme příklad. P(8) upravíme pomoci vzorce. Rozložíme faktoriál. Z

8 Jestliže se zvětší počet prvků o dva, zvětší se počet permutací bez opakování z těchto prvků vytvořených dvanáctkrát. Určete původní počet prvků. 8 Označíme-li původní počet prvků n, pak P(n) je počet všech těchto permutací bez opakování vytvořených z n prvků. Zvětšíme-li počet prvků o 2, pak počet P(n + 2) je počet všech těchto permutací bez opakování vytvořených z (n + 2) prvků. Řešením rovnice 12 . P(n) = P(n + 2) určíme hledaný počet prvků. Z

8  Jestliže se zvětší počet prvků o dva, zvětší se počet permutací bez opakování z těchto prvků vytvořených dvanáctkrát. Určete původní počet prvků. 8 Řešíme vzniklou rovnici. Upravíme rovnici. Rozložíme vyšší faktoriál na nižší. Zapíšeme podmínku řešitelnosti. P(n) a P(n + 2) upravíme pomoci vzorce. 

8   Jestliže se zvětší počet prvků o dva, zvětší se počet permutací bez opakování z těchto prvků vytvořených dvanáctkrát. Určete původní počet prvků. 8 Rozhodneme, zda n1 a n2 vyhovují zadání slovní úlohy. Vyřešíme kvadratickou rovnici.  

8  Jestliže se zvětší počet prvků o dva, zvětší se počet permutací bez opakování z těchto prvků vytvořených dvanáctkrát. Určete původní počet prvků. 8 Kořeny kvadratické rovnice: n1 = 2 n2 = – 5 Podmínka řešitelnosti: n  N Z podmínky řešitelnosti vyplývá, že výsledek n2 = – 5 kvadratické rovnice není řešením slovní úlohy. Počet prvků množiny nemůže být záporný. Hledaný počet prvků množiny je 2. Z 