Vybraná rozdělení pravděpodobnosti Martina Litschmannová, Adéla Vrtková

Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodná veličina (dále NV)? Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Jaké základní typy náhodných veličin známe? Diskrétní NV (dále DNV) a spojité NV (dále SNV). Co je to rozdělení pravděpodobnosti? Předpis, který jednoznačně určuje všechny pravděpodobnosti typu 𝑃 𝑋∈𝑀 , kde 𝑀⊂ℝ (tj. 𝑃 𝑋=𝑎 , 𝑃 𝑋<𝑎 , 𝑃 𝑋>𝑎 , 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 , …, kde 𝑎,𝑏 ∈ℝ).

Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Jak lze popsat rozdělení pravděpodobnosti DNV? Distribuční funkcí 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋<𝑥 , resp. pravděpodobnostní funkcí 𝑃 𝑥 𝑖 . Jak lze popsat rozdělení pravděpodobnosti SNV? Distribuční funkcí 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋<𝑥 , resp. hustotou pravděpodobností 𝑓 𝑥 . Jaké základní číselné charakteristiky používáme pro popis NV? Střední hodnota 𝐸 𝑋 , rozptyl 𝐷 𝑋 , směrodatná odchylka 𝜎 𝑋 , 𝑝-kvantily 𝑥 𝑝 .

Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co nám říká Čebyševova nerovnost? ∀𝑘>0: 𝑃 𝜇−𝑘𝜎≤𝑋≤𝜇+𝑘𝜎 >1− 1 𝑘 2 Např.: 𝑃 𝜇−𝜎≤𝑋≤𝜇+𝜎 >0 𝑃 𝜇−2𝜎≤𝑋≤𝜇+2𝜎 >0,75 𝑃 𝜇−3𝜎≤𝑋≤𝜇+3𝜎 >0,89

Vybraná rozdělení náhodné veličiny Rozdělení diskrétní náhodné veličiny Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Rozdělení spojité náhodné veličiny ¨Rovnoměrné rozdělení Exponenciální rozdělení Weibullovo rozdělení Normální rozdělení

Vybraná rozdělení diskrétní náhodné veličiny

Diskrétní náhodná veličina Příklady Technika: počet deformovaných bitů při sériovém přenosu sekvence 150 bitů (známe-li pravděpodobnost deformace bitu) Biomedicína: počet nemocných na 1000 obyvatel (víme-li, jaká je p-st onemocnění) Obecně: počet úspěchů v 𝑛 nezávislých pokusech

Diskrétní náhodná veličina Příklady Technika: počet škrábanců na 1 m2 lakovaného povrchu (víme-li, že průměrně lze očekávat 3 škrábance na 10 m2) Biomedicína: počet červených krvinek v 10 ml krve ženy (víme-li, že u průměrně lze pozorovat 4,8∙ 10 12 červených krvinek v 1l krve (u žen)) Obecně: počet události v časovém intervalu, na ploše, v objemu

1 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je 0,49. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi čtyřmi dětmi v rodině je je právě jedna dívka? 𝑋… počet dívek mezi 4 dětmi 𝐷… narodí se dívka, 𝑃 𝐷 =𝜋=0,49 𝐷 … narodí se kluk, 𝑃 𝐷 =1−𝜋=0,51 𝑋=1 = 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 ∪ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 ∪ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 ∪ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 P 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 =P 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 =𝑃 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 =𝜋∙ 1−𝜋 3 𝑃 𝑋=1 =𝑃 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 ∪ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 ∪ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 ∪ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 = 4 1 ∙𝜋∙ 1−𝜋 3 𝑃 𝑋=1 =𝟎,𝟐𝟔𝟎

𝑋 … počet úspěchů v 𝑛 Bernoulliho pokusech Binomické rozdělení 𝑋 … počet úspěchů v 𝑛 Bernoulliho pokusech 𝑋→𝐵𝑖 𝑛;𝜋 pravděpodobnost úspěchu počet pokusů Počet příznivých realizací posloupnosti Bernoulliho pokusů. Pravděpodobnostní funkce: 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑛 𝑘 𝜋 𝑘 1−𝜋 𝑛−𝑘 Pravděpodobnost výskytu jedné příznivé realizace posloupnosti Bernoulliho pokusů.

Binomické rozdělení - 𝐵𝑖 𝑛;𝜋 X … počet úspěchů v n nezávislých pokusech, které mají pouze dva možné výsledky (úspěch, neúspěch) 𝑋→𝐵𝑖 𝑛;𝜋 počet pokusů pravděpodobnost úspěchu Pravděpodobnostní funkce: 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑛 𝑘 𝜋 𝑘 1−𝜋 𝑛−𝑘 Střední hodnota: 𝐸 𝑋 =𝑛π Rozptyl: 𝐷 𝑋 =𝑛𝜋 1−𝜋

Binomické rozdělení - 𝐵𝑖 𝑛;𝜋 X … počet úspěchů v n nezávislých pokusech, které mají pouze dva možné výsledky (úspěch, neúspěch) 𝑋→𝐵𝑖 𝑛;𝜋 Pravděpodobnostní funkce: 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑛 𝑘 𝜋 𝑘 1−𝜋 𝑛−𝑘 Střední hodnota: 𝐸 𝑋 =𝑛π Rozptyl: 𝐷 𝑋 =𝑛𝜋 1−𝜋 Příklady: počet vadných výrobků mezi 30 testovanými, počet nevzrostlých rostlin ze 100 zasazených cibulek, počet deformovaných bitů při sériovém přenosu sekvence 150 bitů…

1 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je 0,49. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi čtyřmi dětmi v rodině je právě jedna dívka? jsou méně než dvě dívky? jsou alespoň tři dívky?

1 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je 0,49. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi čtyřmi dětmi v rodině je

Poissonův proces Bodový proces Sledujeme chod procesu, v němž čas od času dochází k nějaké význačné události. Registrujeme počet události 𝑁(𝑠;𝑡) v časovém intervalu 𝑠;𝑠+𝑡 Jako Poissonův proces označujeme proces, který je: ordinární – tj. pravděpodobnost výskytu více než jedné události v limitně krátkém časovém intervalu 𝑡⟶0 je nulová. (tzv. řídké jevy), stacionární – tj. rychlost výskytu událostí 𝜆 je konstantní v průběhu celého sledovaného intervalu, beznásledný – tj. pravděpodobnost výskytu události není závislá na čase, který uplynul od minulé události. 𝑡 0 𝑡 1 𝑡 2 𝑡 𝑛 …

Poissonovo rozdělení Definujme si náhodný pokus jako Poissonův proces (nezávislé události probíhající v čase t, s rychlostí výskytu λ; popř. nezávislé události objevující se na ploše t, resp. v objemu t s hustotou výskytu λ). Pak 𝑋 … počet výskytu události v uzavřené oblasti (v čase, na ploše, v objemu) 𝑋→𝑃𝑜 𝜆𝑡 Pravděpodobnostní funkce: 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝜆𝑡 𝑘 𝑘! 𝑒 −𝜆𝑡 Střední hodnota, rozptyl: 𝐸 𝑋 =𝐷 𝑋 =𝜆𝑡 Příklady: počet žádostí o technickou podporu za den, počet mikrodefektů na zadaném vzorku materiálu, počet mikroorganismů v 1 dl vody, …

dojde alespoň ke čtyřem chybám? 2 Při bezdrátovém přenosu informace dojde k chybě (bitová 0 se změní na bitovou 1 nebo obráceně) v průměru jednou za 1200 𝜇𝑠. Jaká je pravděpodobnost, že během 4800 𝜇𝑠 nedojde k žádné chybě? dojde alespoň ke čtyřem chybám?

Vybraná rozdělení spojité náhodné veličiny

Rovnoměrné rozdělení - 𝑅𝑜 𝑎;𝑏 𝑋 má rovnoměrné rozdělení 𝑅𝑜 𝑎;𝑏 , jestliže má pro všechna 𝑥∈ 𝑎;𝑏 konstantní hustotu pravděpodobnosti. 𝑋→𝑅𝑜 𝑎;𝑏 𝑓 𝑥 = 1 𝑏−𝑎 𝑥∈ 𝑎;𝑏 0 𝑥∉ 𝑎;𝑏 f(x) x plocha = 𝑏−𝑎 ∙ 1 𝑏−𝑎 =1

Rovnoměrné rozdělení - 𝑅𝑜 𝑎;𝑏 𝑋 má rovnoměrné rozdělení 𝑅𝑜 𝑎;𝑏 , jestliže má pro všechna 𝑥∈ 𝑎;𝑏 konstantní hustotu pravděpodobnosti. 𝑋→𝑅𝑜 𝑎;𝑏 Hustota pravděpodobnosti: 𝑓 𝑥 = 1 𝑏−𝑎 𝑥∈ 𝑎;𝑏 0 𝑥∉ 𝑎;𝑏   Střední hodnota: 𝐸 𝑋 = 𝑎+𝑏 2 , Rozptyl: 𝐷 𝑋 = 𝑎−𝑏 2 12 Příklady: zaokrouhlovací chyba, doba čekání na uskutečnění jevu opakujícího se v pravidelných intervalech

3 Zaokrouhlíme-li reálné číslo na celé číslo, pak zaokrouhlovací chyba má rovnoměrné rozdělení 𝑅𝑜 −0,5;0,5 . Určete pravděpodobnost, že velikost zaokrouhlovací chyby bude menší než 0,3.

3 Zaokrouhlíme-li reálné číslo na celé číslo, pak zaokrouhlovací chyba má rovnoměrné rozdělení 𝑅𝑜 −0,5;0,5 . Určete pravděpodobnost, že velikost zaokrouhlovací chyby bude menší než 0,3.

Exponenciální rozdělení - 𝐸𝑥𝑝(𝜆) X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu 𝑋→𝐸𝑥𝑝 𝜆 Poissonův proces: viz slide 15 Příklady: doba do remise onemocnění (nejjednodušší modelové rozdělení pro délku doby do výskytu sledované události), doba do poruchy zařízení, doba mezi 3. a 4. poruchou zařízení, …

Exponenciální rozdělení - 𝐸𝑥𝑝(𝜆) X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu 𝑋→𝐸𝑥𝑝 𝜆 Hustota pravděpodobnosti: 𝑓 𝑡 = 𝜆∙ 𝑒 −𝜆𝑡 , 𝑡>0 0, 𝑡≤0. Distribuční funkce: 𝐹 𝑡 = 1− 𝑒 −𝜆𝑡 , 𝑡>0 0, 𝑡≤0. Střední hodnota: 𝐸 𝑋 = 1 𝜆 Rozptyl: 𝐷 𝑋 = 𝐸 𝑋 2 = 1 𝜆 2

Exponenciální rozdělení - 𝐸𝑥𝑝(𝜆) X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu 𝑋→𝐸𝑥𝑝 𝜆 POZOR!!! Předpokládá konstantní intenzitu události 𝜆 𝑡 - rozdělení „bez paměti“

Intenzita poruch (riziková funkce) - 𝜆 𝑡 Pro nezápornou náhodnou veličinu 𝑋 se spojitým rozdělením popsaným distribuční funkcí 𝐹(𝑡) definujeme pro 𝐹(𝑡)≠1 intenzitu poruch jako 𝜆 𝑡 = 𝑓 𝑡 1−𝐹 𝑡 . Období stabilního života Období dětských nemocí Období stárnutí

Intenzita poruch (riziková funkce) - 𝜆 𝑡 Pro nezápornou náhodnou veličinu 𝑋 se spojitým rozdělením popsaným distribuční funkcí 𝐹(𝑡) definujeme pro 𝐹(𝑡)≠1 intenzitu poruch jako 𝜆 𝑡 = 𝑓 𝑡 1−𝐹 𝑡 . Co udává hodnota 𝜆 𝑡 ? Představuje-li náhodná veličina 𝑋 dobu do poruchy nějakého zařízení, pak pravděpodobnost, že pokud do času 𝑡 nedošlo k žádné poruše, tak k ní dojde v následujícím krátkém úseku délky ∆𝑡, je přibližně 𝑃 𝑡≤𝑋<𝑡+∆𝑡|𝑋>𝑡 = 𝑃 𝑡<𝑋<𝑡+∆𝑡 𝑃 𝑋>𝑡 ≅ 𝑓 𝑡 ∙∆𝑡 1−𝐹 𝑡 =𝜆 𝑡 ∙∆𝑡.

Exponenciální rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu 𝑋→𝐸𝑥𝑝 𝜆 POZOR!!! Předpokládá konstantní rizikovou funkci 𝜆 𝑡 - rozdělení „bez paměti“ 𝜆 𝑡 = 𝑓 𝑡 1−𝐹 𝑡 = 𝜆 𝑒 −𝜆𝑡 1− 1− 𝑒 −𝜆𝑡 =𝜆

4 Doba do poruchy jistého zařízení má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 24 měsíců. S jakou pravděpodobností bude bezporuchový provoz delší než 4 roky? Poznámka: Použití exponenciálního rozdělení je z důvodu konstantní a tudíž neflexibilní intenzity poruch omezené. 𝑋 … doba do poruchy (rok) 𝑋→𝐸𝑥𝑝(𝜆= 1 2 ) (𝐸 𝑋 =2 𝑟𝑜𝑘𝑦 ⇒ 𝜆= 1 2 𝑟𝑜𝑘 −1 ) 𝑃 𝑋>4 =1−𝐹 4 = 𝑒 − 1 2 ∙4 = 𝑒 −2 ≅𝟎,𝟖𝟔𝟓

4 Doba do poruchy jistého zařízení má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 24 měsíců. S jakou pravděpodobností bude bezporuchový provoz delší než 4 roky?

X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Zobecnění exponenciálního rozdělení Tímto rozdělením lze modelovat i dobu do výskytu události u systémů (jedinců), které jsou v období dětských nemocí, resp. v období stárnutí. 𝑋→𝑊 𝜃;𝛽 parametr měřítka (angl. scale) 𝜃= 1 𝜆 ; 𝜽>𝟎 parametr tvaru (angl. shape); 𝜷>𝟎

X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Zobecnění exponenciálního rozdělení Tímto rozdělením lze modelovat i dobu do výskytu události u systémů (jedinců), které jsou v období dětských nemocí, resp. v období stárnutí. 𝑋→𝑊 1 𝜆 ;𝛽 Hustota pravděpodobnosti: 𝑓 𝑡 = 𝛽 𝜆 𝛽 𝑡 𝛽−1 𝑒 − 𝜆𝑡 𝛽 , 𝑡>0 0, 𝑡≤0. Distribuční funkce: 𝐹 𝑡 = 1− 𝑒 − 𝜆𝑡 𝛽 , 𝑡>0 0, 𝑡≤0. Intenzita poruch: 𝜆 𝑡 = 𝛽 𝜆 𝛽 𝑡 𝛽−1 , 𝑡>0 0, 𝑡≤0. Proč se 𝛽 označuje jako parametr tvaru?

X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Zobecnění exponenciálního rozdělení Tímto rozdělením lze modelovat i dobu do výskytu události u systémů (jedinců), které jsou v období dětských nemocí, resp. v období stárnutí. 𝑋→𝑊 1 𝜆 ;𝛽 Intenzita poruch: 𝜆 𝑡 = 𝛽 𝜆 𝛽 𝑡 𝛽−1 , 𝑡>0 0, 𝑡≤0. V appletu Spojitá rozdělení (excel) sledujte vliv parametru 𝛽 na tvar 𝜆 𝑡 a vliv parametru 𝜃 na škálu hodnot studované náhodné veličiny.

X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Zobecnění exponenciálního rozdělení Tímto rozdělením lze modelovat i dobu do výskytu události u systémů (jedinců), které jsou v období dětských nemocí, resp. v období stárnutí. 𝑋→𝑊 1 𝜆 ;𝛽 Intenzita poruch: 𝜆 𝑡 = 𝛽 𝜆 𝛽 𝑡 𝛽−1 , 𝑡>0 0, 𝑡≤0.

X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Weibullovo rozdělení X … délka časových intervalů mezi událostmi v Poissonově procesu Zobecnění exponenciálního rozdělení Tímto rozdělením lze modelovat i dobu do výskytu události u systémů (jedinců), které jsou v období dětských nemocí, resp. v období stárnutí. 𝑋→𝑊 𝜃;𝛽

5 Předpokládejme, že doba do poruchy (měsíc) určitého systému má Weibullovo rozdělení s lineárně rostoucí intenzitou poruch a parametrem měřítka 10. V jakém rozmezí očekáváte dobu do poruchy? (Posuďte na základě grafu hustoty pravděpodobnosti.)

S jakou pravděpodobností bude doba do poruchy delší než 1 rok? 5 Předpokládejme, že doba do poruchy (měsíc) určitého systému má Weibulovo rozdělení s lineárně rostoucí intenzitou poruch a parametrem měřítka 10. S jakou pravděpodobností bude doba do poruchy delší než 1 rok?

Jakou dobu „přežije“ alespoň čtvrtina takovýchto systémů? 5 Předpokládejme, že doba do poruchy (měsíc) určitého systému má Weibulovo rozdělení s lineárně rostoucí intenzitou poruch a parametrem měřítka 10. Jakou dobu „přežije“ alespoň čtvrtina takovýchto systémů?

5 Předpokládejme, že doba do poruchy (měsíc) určitého systému má Weibulovo rozdělení s lineárně rostoucí intenzitou poruch a parametrem měřítka 10. Jaká je hodnota intenzity poruch v 10 měsících? Jaká je pravděpodobnost, že u systému, který „přežil“ 10 měsíců, dojde k poruše v následujících 14 dnech? 𝜆 𝑡 = 𝑓 𝑡 1−𝐹 𝑡 = 0,0736 0,3679 ≅0,2 𝑃 𝑡≤𝑋<𝑡+∆𝑡|𝑋>𝑡 ≅𝜆 𝑡 ∙∆𝑡 𝑃 10≤𝑋<10,5|𝑋>10 ≅0,2∙0,5=𝟎,𝟏𝟎𝟎 z distr. f-ce: 𝑃 10≤𝑋<10,5|𝑋>10 ≅0.098

Normální rozdělení - 𝑁 𝜇; 𝜎 2 Bývá vhodné k popisu náhodných veličin, které lze interpretovat jako aditivní výsledek mnoha nepatrných a vzájemně nezávislých faktorů (např. chyba měření, výška člověka, IQ, délky končetin …). Popisuje náhodné veličiny, jejichž hodnoty se symetricky shlukují kolem střední hodnoty a vytvářejí tak charakteristický tvar hustoty pravděpodobnosti známý pod názvem Gaussova křivka. 𝑋→𝑁 𝜇; 𝜎 2 střední hodnota rozptyl

Normální rozdělení - 𝑁 𝜇; 𝜎 2 𝑋→𝑁 𝜇; 𝜎 2 Hustota pravděpodobnosti: 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 2

Normální rozdělení - 𝑁 𝜇; 𝜎 2 𝑋→𝑁 𝜇; 𝜎 2 Hustota pravděpodobnosti: 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 2 Vliv s𝑡ř𝑒𝑑𝑛í ℎ𝑜𝑑𝑛𝑜𝑡𝑦 𝜇 na pozici Gaussovy křivky Vliv směrodatné odchylky 𝜎 na tvar Gaussovy křivky

Normální rozdělení - 𝑁 𝜇; 𝜎 2 𝑋→𝑁 𝜇; 𝜎 2 Hustota pravděpodobnosti: 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 2 Distribuční funkce: 𝐹 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 −∞ 𝑥 𝑒 − 1 2 𝑡−𝜇 𝜎 2 𝑑𝑡 (integrál nelze řešit analyticky)

Normované (standardizované) normální rozdělení - 𝑁 0;1 𝑍→𝑁 0;1 Hustota pravděpodobnosti: 𝜑 𝑧 = 1 2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑧 2 Distribuční funkce: Φ 𝑧 = 1 2𝜋 −∞ 𝑧 𝑒 − 1 2 𝑡 2 𝑑𝑡 Vlastnosti normovaného normálního rozdělení: Φ 𝑧 =1−Φ −𝑧 𝑧 𝑝 =− 𝑧 1−𝑝 , kde 𝑧 𝑝 je p-kvantil std. norm. rozdělení

Normované (standardizované) normální rozdělení 𝑍→𝑁 0;1 Hustota pravděpodobnosti: 𝜑 𝑧 = 1 2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑧 2 Distribuční funkce: Φ 𝑧 = 1 2𝜋 −∞ 𝑧 𝑒 − 1 2 𝑡 2 𝑑𝑡 (Φ 𝑧 je tabelována pro 𝑥>0)

Standardizace normálního rozdělení Nechť 𝑋→𝑁 𝜇; 𝜎 2 . Definujme náhodnou veličinu 𝑍, mnohdy nazývanou z-skóre, jako 𝑍= 𝑋−𝜇 𝜎 . Náhodná veličina 𝑍 má normované normální rozdělení, 𝑍→𝑁 0;1 . Mezi distribuční funkci normální náhodné veličiny 𝑋 a normované normální náhodné veličiny 𝑍 platí převodní vztah 𝐹 𝑥 =Φ 𝑥−𝜇 𝜎 . Důkaz: 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋<𝑥 =𝑃 𝑍𝜎+𝜇<𝑥 =𝑃 𝑍< 𝑥−𝜇 𝜎 =Φ 𝑥−𝜇 𝜎

6 Nechť náhodná veličina modelující IQ (inteligenční kvocient) evropské populace má normální rozdělení se střední hodnotou 100 bodů a směrodatnou odchylkou 15 bodů. V jakém rozmezí očekáváte IQ evropské populace? (Posuďte na základě grafu hustoty pravděpodobnosti.)

Kolik procent Evropanů má IQ v rozmezí 85-115 bodů? 6 Nechť náhodná veličina modelující IQ (inteligenční kvocient) evropské populace má normální rozdělení se střední hodnotou 100 bodů a směrodatnou odchylkou 15 bodů. Kolik procent Evropanů má IQ v rozmezí 85-115 bodů? 𝑃 85≤𝑋≤115 =𝐹 115 −𝐹 85 =0,8413−0,1587=𝟎,𝟔𝟖𝟐𝟔

Kolik procent Evropanů má IQ vyšší než 115 bodů? 6 Nechť náhodná veličina modelující IQ (inteligenční kvocient) evropské populace má normální rozdělení se střední hodnotou 100 bodů a směrodatnou odchylkou 15 bodů. Kolik procent Evropanů má IQ vyšší než 115 bodů?

Jakou hodnotu IQ překračuje maximálně 5% evropské populace? 4 Nechť náhodná veličina modelující IQ (inteligenční kvocient) evropské populace má normální rozdělení se střední hodnotou 100 bodů a směrodatnou odchylkou 15 bodů. Jakou hodnotu IQ překračuje maximálně 5% evropské populace?

Kolik procent hodnot náhodné veličiny leží v rozmezí 𝜇±𝜎? 7 Nechť náhodná veličina 𝑋 má normální rozdělení se střední hodnotou 𝜇 a směrodatnou odchylkou 𝜎. Kolik procent hodnot náhodné veličiny leží v rozmezí 𝜇±𝜎? Kolik procent hodnot náhodné veličiny leží v rozmezí 𝜇±2𝜎? Kolik procent hodnot náhodné veličiny leží v rozmezí 𝜇±3𝜎?

Pravidlo 3𝜎 Pro NV s normálním rozdělením lze vyčíslit pravděpodobnost, že náhodná veličina se bude vyskytovat v intervalu 𝜇−𝑘𝜎;𝜇+𝑘𝜎 . k 𝑃 𝜇−𝑘𝜎<𝑋<𝜇+𝑘𝜎 1 0,682 2 0,954 3 0,998 Srovnejte s představou, kterou jsme měli na základě Čebyševovy nerovnosti!

Čebyševova nerovnost: ∀𝑘>0: 𝑃 𝜇−𝑘𝜎<𝑋<𝜇+𝑘𝜎 >1− 1 𝑘 2 Pravidlo 3 𝜎 Čebyševova nerovnost: ∀𝑘>0: 𝑃 𝜇−𝑘𝜎<𝑋<𝜇+𝑘𝜎 >1− 1 𝑘 2 k 𝑃 𝜇−𝑘𝜎<𝑋<𝜇+𝑘𝜎 1 >0 2 >0,75 3 >0,89 Empirické pravidlo 3𝜎 k 𝑃 𝜇−𝑘𝜎<𝑋<𝜇+𝑘𝜎 1 0,682 2 0,954 3 0,998

Nástroje pro grafické ověření normality Normalita je v drtivé většině analýz a testů hlavním předpokladem o datech. (Jde o předpoklad, že data pocházejí z procesu s normálním rozdělením.) Odhad hustoty

Nástroje pro grafické ověření normality Normalita je v drtivé většině analýz a testů hlavním předpokladem o datech. (Jde o předpoklad, že data pocházejí z procesu s normálním rozdělením.) Q-Q graf Na ose x jsou vyneseny teoretické kvantily normálního rozdělení, na ose y jsou výběrové kvantily konstruované přímo z dat. Jsou-li analyzovaná data realizacemi NV s normálním rozdělením, má graf tvar přímky (podrobněji ve skriptech, str. 167)

Literatura Litschmannová, M. (2012), Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti, elektronická skripta a doplňkové interaktivní materiály (kapitoly Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti a Spojitá rozdělení pravděpodobnosti)

DěkujEME za pozornost!