Martina Litschmannová Pravděpodobnost je… Martina Litschmannová

Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování náhodnosti a neurčitosti. (Náhodnost je spojena s nedostatečnou znalostí počátečních podmínek.)

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Pokus – děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. X Deterministické pokusy Náhodné pokusy Pro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane. Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek.

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Padne šestka.

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Padne sudé číslo.

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, …). Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. Pro laika v oboru nutno specifikovat!!!

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout. (značíme A, B, X, Y, …) Elementární jev ω – jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Základní prostor Ω – množina všech elementárních jevů

Typy jevů Padne „7“. Padne „6“. Padne méně než „7“. Jev nemožný Jev náhodný Jev jistý  Ω A … jev praktický nemožný ⟺ 𝑃 𝐴 <0,05 B … jev praktický jistý ⟺ 𝑃 𝐵 >0,95

Vybrané vztahy mezi jevy Ω A doplněk jevu A 𝐴 Ω A B průnik jevů A a B 𝐴∩𝐵 Ω A B sjednocení jevů A a B 𝐴∪𝐵 𝐴 Ω A B jevy disjunktní Ω 𝐵 1 𝐵 2 𝐵 5 𝐵 6 𝐵 3 𝐵 4 𝐵 7 úplná množina vzájemně disjunktních jevů Ω= 𝑖=1 𝑛 𝐵 𝑖 , 𝑘𝑑𝑒 ∀𝑖≠𝑗: 𝐵 𝑖 ∩𝐵 𝑗 =∅

Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?

Klasická definice pravděpodobnosti (Pierre Simon de Laplace, 1812) Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. Nechť Ω je množina n rovnocených elementárních jevů. Pravděpodobnost jevu A, jenž je složen z m těchto elementárních jevů je: 𝑃 𝐴 = 𝑚 𝑛 Mějme „férovou“ hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne „6“? Označme: A … padne „6“, pak 𝑃 𝐴 = 1 6 .

Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20 Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) 𝑃 𝐴 = lim 𝑛→∞ 𝑛(𝐴) 𝑛 Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí „6“ na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka „férová“?

Statistická definice pravděpodobnosti Relativní četnost jevu "padne 6" 𝑃 𝐴 = lim 𝑛→∞ 𝑛(𝐴) 𝑛

Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: 𝑃 𝐴 = lim 𝑛→∞ 𝐴 Ω Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?

Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). Pravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna 1. Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností.

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. Označme: C … náhodně vybraný útvar je červený ♥ … náhodně vybraný útvar je srdíčko

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete 𝑃 𝐶 . 𝑃 𝐶 = 𝑛 𝐶 𝑛 = 5 20 =0,25

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete 𝑃 𝐶∩♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete 𝑃 𝐶∩♥ . 𝑃 𝐶∩♥ = 2 20 =0,10

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

Podmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐵 ≠0 P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete 𝑃 𝐶|♥ . 𝑃 𝐶|♥ = 𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 ♥ = 𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 𝑛 ♥ 𝑛 = 𝑃 𝐶∩♥ 𝑃 ♥ = 2 6

Podmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐵 ≠0 P(A|B) čti „pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B“

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ .

V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek) V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete 𝑃 𝐶∪♥ . 𝑃 𝐶∪♥ = 𝑛 𝐶 + 𝑛 ♥ −𝑛 𝐶∩♥ 𝑛 =𝑃 𝐶 +𝑃 ♥ −𝑃 𝐶∩♥

Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti Nechť množina Ω obsahuje n elementárních jevů, nechť P je pravděpodobnost na této množině, A a B jevy. Potom platí : 0≤𝑃 𝐴 ≤1 𝑃 Ω =1;𝑃 ∅ =0 𝑃 𝐴 =1−𝑃 𝐴 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 A, B … disjunktní jevy ⇒ 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴|𝐵 .𝑃 𝐵 A, B … nezávislé jevy ⇒𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 .𝑃 𝐵

1 Pan Ondra Hypoch tak dlouho obtěžoval lékaře, až mu lékař napsal prášky. V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky: a) vypadání zubů (15%), b) upadnutí palců na rukou (20%). Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš Pick; přednáška „Dirichletovy šuplíčky“ na semináři OSMA)

a) v prvním tahu vytáhneme bílou kuličku, Jev Definice jevu B1 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že a) v prvním tahu vytáhneme bílou kuličku, Jev Definice jevu B1 při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C1 při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička B2 při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička C2 při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička 10 ks 5 ks

Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že b) vytáhli-li jsme v prvním tahu bílou kuličku, ve druhém tahu vytáhneme taky bílou kuličku, 1. tah 10 ks 5 ks 2. tah (byla-li v 1. tahu vytažena bílá kulička) 10 ks 4 ks

c) ve dvou tazích vytáhneme 2 bílé kuličky, Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 2 bílé kuličky,

c) ve dvou tazích vytáhneme 1 bílou a 1 černou kuličku, Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 1 bílou a 1 černou kuličku, nebo

nebo c) ve druhém tahu vytáhneme bílou kuličku, Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve druhém tahu vytáhneme bílou kuličku, nebo Pokus probíhající po etapách … možnost záznamu pomocí rozhodovacího (stochastického) stromu

Věta o úplné pravděpodobnosti 𝐵 1 𝐵 2 𝐵 5 𝐵 6 𝐵 3 𝐵 4 𝐵 7 𝐴 𝑃 𝐴 =𝑃 𝑖=1 𝑛 𝐴∩ 𝐵 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐴∩ 𝐵 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐴| 𝐵 𝑖 𝑃 𝐵 𝑖

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%

Pravoúhlý Vennův diagram 10% 90% 70% 30% 80% 20%

0,07 0,63 0,24 0,06

Rozhodovací strom Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

Studenti D DV KV CH Pohlaví Délka vlasů

2 Předpokládejme, že v populaci je 25% dětí, 60% osob v reprodukčním věku a 15% osob v postreprodukčním věku. Pravděpodobnost úrazu u dítěte je 20%, pravděpodobnost úrazu u osoby v reprodukčním věku je 10% a pravděpodobnost úrazu u osob v postreprodukčním věku je 40%. Jaká je pravděpodobnost úrazu v dané populaci?

Bayesův teorém Thomas Bayes (1702 – 1761) zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes

A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost

Aposteriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 𝑃 𝐶𝐻|𝐷𝑉 =? Aposteriorní pravděpodobnost

Studenti D DV KV CH Daný stav Výsledek testu

Aposteriorní pravděpodobnost Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 𝑃 𝐶𝐻|𝐷𝑉 = 𝑃 𝐶𝐻∩𝐷𝑉 𝑃 𝐷𝑉 ≅0,226 Aposteriorní pravděpodobnost

Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70% B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 22,6%

3 Předpokládejme, že v populaci je 25% dětí, 60% osob v reprodukčním věku a 15% osob v postreprodukčním věku. Pravděpodobnost úrazu u dítěte je 20%, pravděpodobnost úrazu u osoby v reprodukčním věku je 10% a pravděpodobnost úrazu u osob v postreprodukčním věku je 40%. Jaká je pravděpodobnost, že osoba, která utrpěla úraz je dítě?

Využití Bayesova teorému v lékařské diagnostice

Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Etiologické studie (hledání a výklad příčin vzniku) Matematické modely diagnostického nebo prognostického rozhodování Screeningové testování Hodnocení kvality screeningového testu pro detekci sledované osoby Cíl: Vyvážit klady včasné detekce nemoci u osob, které nemoc skutečně mají a nepříznivé důsledky, které vzniknou tím, že test určí jako nemocné i ty osoby, které sledovanou nemoc nemají.

Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Označme: ¨ Předpokládejme, že známe: Senzitivita a specificita jsou charakteristiky testu. Odhadují se na základě zkušenosti, resp. dle pilotního projektu. 𝑁 + nemoc se u pacienta vyskytuje 𝑁 − nemoc se u pacienta nevyskytuje 𝑇 + test vyšel pozitivní 𝑇 − test vyšel negativní 𝑃(𝑁 + ) p-st výskytu nemoci (prevalence – apriorní p-st) 𝑃 𝑇𝑃 =𝑃( 𝑇 + |𝑁 + ) p-st, že test je pozitivní u nemocné osoby (senzitivita testu) 𝑃 𝑇𝑁 =𝑃( 𝑇 − |𝑁 − ) p-st, že test je negativní u osoby, která nemoc nemá (specificita testu)

Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Předpokládejme, že známe: Co nás zajímá? 𝑃(𝑁 + ) p-st výskytu nemoci (prevalence – apriorní p-st) 𝑃 𝑇𝑃 =𝑃( 𝑇 + |𝑁 + ) p-st, že test je pozitivní u nemocné osoby (senzitivita testu) 𝑃 𝑇𝑁 =𝑃( 𝑇 − |𝑁 − ) p-st, že test je negativní u osoby, která nemoc nemá (specificita testu) 𝑃 𝐹𝑁 =𝑃( 𝑇 − |𝑁 + ) p-st, že test je negativní u nemocné osoby (falešná negativita testu) 𝑃 𝐹𝑃 =𝑃( 𝑇 + |𝑁 − ) p-st, že test je pozitivní u osoby, která nemoc nemá (falešná pozivita testu) 𝑃 𝑃𝑁𝑇 =𝑃( 𝑁 − |𝑇 − ) p-st, že osoba, u níž je test negativní, skutečně nemoc nemá (prediktivní hodnota negativního testu) 𝑃 𝑃𝑃𝑇 =𝑃( 𝑁 + |𝑇 + ) p-st, že osoba, u níž je test pozitivní, skutečně nemoc má (prediktivní hodnota pozitivního testu) 𝑅== 𝑃( 𝑁 + ∩𝑇 + )+ 𝑃( 𝑁 − ∩𝑇 − ) p-st, že test dává správné výsledky (přesnost testu)

nemá rakovinu tlustého střeva 4 Představme si, že provádíme test na okultní krvácení ve stolici (FOB) u 2030 osob ke zjištění chorobných změn v dolní části zažívacího traktu. Pak můžeme popsat možné stavy pomocí níže uvedené tabulky. Určete senzitivitu a specificitu testu, prediktivní hodnoty a přesnost testu. má rakovinu tlustého střeva nemá rakovinu tlustého střeva celkem test pozitivní 20 180 200 test negativní 10 1820 1830 30 2000 2030

4 Předpokládejme, že prevalence choroby je 0,005. Máme k dispozici dva diagnostické testy 𝑇 1 , 𝑇 2 . První test ( 𝑇 1 ) má sensitivitu 0,95 a specificitu 0,90, druhý test ( 𝑇 2 ) má sensitivitu 0,92 a specificitu 0,99. a) Určete prediktivní hodnoty a přesnost testu 𝑻 𝟏 .

4 Předpokládejme, že prevalence choroby je 0,005. Máme k dispozici dva diagnostické testy 𝑇 1 , 𝑇 2 . První test ( 𝑇 1 ) má sensitivitu 0,95 a specificitu 0,90, druhý test ( 𝑇 2 ) má sensitivitu 0,92 a specificitu 0,99. b) U osob pozitivně testovaných testem 𝑇 1 byl proveden test 𝑇 2 . Určete pravděpodobnost, že osoba, která má pozitivní i test 𝑇 2 , skutečně nemoc má.

4 Předpokládejme, že prevalence choroby je 0,005. Máme k dispozici dva diagnostické testy 𝑇 1 , 𝑇 2 . První test ( 𝑇 1 ) má sensitivitu 0,95 a specificitu 0,90, druhý test ( 𝑇 2 ) má sensitivitu 0,92 a specificitu 0,99. c) Jak se změní výsledky testování, změníme-li pořadí testů? Určete prediktivní hodnoty a přesnost testu 𝑻 𝟐 a poté určete pravděpodobnost, že osoba, která má pozitivní test 𝑇 2 a poté i test 𝑇 1 , skutečně nemoc má. V čem je rozdíl mezi jednotlivými přístupy?

ROC křivka V praxi je senzitivita a specificita testu svázána, závisí na volbě prahové hodnoty, která rozhoduje o pozitivním a negativním výsledku testu. Jak určit prahovou hodnotu testu tak, abychom stanovili rovnováhu mezi FN a FP závěry?

ROC křivka ROC křivka – křivka, která vyjadřuje vztah mezi senzitivitou a specificitou testu pro různé prahové hodnoty. Nejlepší diagnostický test se vyznačuje ROC křivkou s největší plochou pod křivkou (Area Under Curve – AUC). Je-li plocha rovná 1, je test ideální a má 100% senzitivitu i specificitu. Když ROC křivka odpovídá testu A, znamená to, že každé zlepšení senzitivity je zaplaceno stejně významným zhoršením specificity a test není dobře navržen. Plocha pod křivkou je 0,5 a test tak není lepší než házení mincí.

ROC křivka ROC křivka – křivka, která vyjadřuje vztah mezi senzitivitou a specificitou testu pro různé prahové hodnoty. 𝑨𝑼𝑪 Kvalita testu 0,50 – 0,75 oprávněný 0,75 – 0,92 dobrý 0,92 – 0,97 velmi dobrý 0,97 – 1,00 vynikající

Literatura Litschmannová, M. (2012), Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti, elektronická skripta a doplňkové interaktivní materiály (kapitola Úvod do teorie pravděpodobnosti)

Děkuji za pozornost!