K u ž e l Popis tělesa Výpočet povrch Výpočet objemu Matematika 9.ročník ZŠ K u ž e l Popis tělesa Výpočet povrch Výpočet objemu Creation IP&RK

Kužel – popis tělesa Kužele v našem okolí:

Kužel – popis tělesa Kužel vzniká rotací (otáčením) pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné jeho odvěsny. Rotací přepony vzniká plášť kužele. Rotací odvěsny vzniká kruhová podstava.

Kužel – popis + označení v – výška kužele r – poloměr podstavy s – délka strany kužele s α – úhel boční strany v Pokud výška kužele neprochází středem podstavy, nazýváme takový kužel kosý (kužel je zešikmený). α r Osovým řezem kužele je rovnoramenný trojúhelník. Platí: s2= r2 + v2

Kužel – síť tělesa Trochu jinak: Rozvinutý plášť kužele má tvar kruhové výseče, jejímž poloměrem je strana kužele a jejíž oblouk má délku rovnu obvodu podstavy. V s r rozvinutý plášť Poloměr rozvinutého pláště se rovná délce strany kužele. V S oblouk kružnice s Délka oblouku kružnice rozvinutého pláště se rovná obvodu podstavy. 2pr r podstava S

Opakování - Délka kružnice a obvod kruhu Pro výpočet povrchu a objemu kužele si zopakujeme: Poměr délky kružnice a jejího průměru je pro všechny kružnice stejný (roven číslu ).   d B S r k C A   Vzorce: o =  · d o = 2 ·  · r K výpočtům používáme  = 3,14

Opakování – Obsah kruhu Obsah kruhu vypočítáme, když druhou mocninu jeho poloměru vynásobíme číslem . platí: d = 2 . r r = ½ d S vědomím, že pak :

Kužel – povrch tělesa ↔ S = Sp + Spl Spl Sp Sp = .r2 Spl=.r.s Povrch kužele je součtem obsahu podstavy a obsahu pláště. S = Sp + Spl V s Spl OBSAH PODSTAVY OBSAH PLÁŠTĚ 2pr Sp Sp = .r2 Spl=.r.s r S = .r2 + .r.s ↔ S = .r.(r + s)

Kužel – povrch tělesa - příklad Vypočítejte povrch rotačního kužele, který má průměr podstavy 𝑑=9 𝑐𝑚 a výšku 𝑣=7,2 𝑐𝑚. Řešení: 𝑑=9 𝑐𝑚 𝑟=4,5 𝑐𝑚 𝒔 𝟐 = 𝒗 𝟐 + 𝒓 𝟐 𝑣=7,2 𝑐𝑚 𝑠 2 = 7,2 2 + 4,5 2 = 51,84+20,25 𝑠= 72,09 ≐8,5 𝑐𝑚 𝑺=𝝅𝒓·(𝒓+𝒔) 𝑆=3,14·4,5·(4,5+8,5) 𝑺≐𝟏𝟖𝟑,𝟕 𝒄𝒎 𝟐 S = .r.(r + s) Povrch kužele je 183,7 𝑐𝑚 2 .

Kužel – povrch tělesa - příklad Povrch kužele je 48,4 m2 a poloměr jeho podstavy je 2m. Vypočítej délku strany kužele. Zadání: r = 2 m S = 48,4 m2 s = ? (m) S = .r.(r + s) 48,4 = 3,14.2.(2+s) s = ? 48,4 = 6,28.(2+s) 48,4 = 12,56 + 6,28s 35,84 = 6,28s s = 5,7 m 2 m Strana kužele má délku 5,7 m.

Kužel – povrch tělesa - příklad Střecha věže má tvar rotačního kužele. Průměr podstavy je 5,4 𝑚 a výška 3,2 𝑚. Kolik metrů plechu potřebujeme na pokrytí střechy věže, jestliže na švy potřebujeme 10% plechu? 𝑑=5,4 𝑚 𝑟=2,7 𝑚 𝑣=3,2𝑚 V Spl= .r.s Řešení: 𝑠 2 = 𝑣 2 + 𝑟 2 𝑠 2 = 3,2 2 + 2,7 2 𝑣 𝑆 𝑝𝑙 =3,14·2,7·4,2 𝑠= 17,53 𝑠 𝑆 𝑝𝑙 =35,607 6 𝑚 2 𝑠≐4,2 𝑚 · 𝑺 𝒑𝒍 ≐𝟑𝟔 𝒎 𝟐 S 𝑟 100% . . . . 36 𝑚 2 → 10% . . . . 3,6 𝑚 2 36 𝑚 2 +3,6 𝑚 2 =39,6 𝑚 2 ≐40 𝑚 2 Na střechu potřebujeme přibližně 40 𝑚 2 .

Kužel – povrch tělesa 𝐒=𝟐𝟎𝟒,𝟏 𝒄𝒎 𝟐 𝐒=𝟐𝟗𝟖 𝒄𝒎 𝟐 Příklady na samostatné procvičení: Vypočítejte povrch rotačního kužele, jehož průměr podstavy je 𝑑=10 𝑐𝑚 a délka strany pláště 𝑠 = 8 𝑐𝑚. Výsledek 𝐒=𝟐𝟎𝟒,𝟏 𝒄𝒎 𝟐 Výsledek Nálevka má tvar rotačního kužele , jehož podstava má průměr 12 cm výšku 14 cm. Kolik plechu potřebujeme na zhotovení nálevky, jestliže na přehýbání je počítáme 4 % ? 𝐒=𝟐𝟗𝟖 𝒄𝒎 𝟐

Kužel – objem tělesa V = Sp . v Sp = pr2 V = pr2v Sp obsah podstavy: 1 3 v V Sp r Sp = pr2 Sp obsah podstavy: r poloměr kužele v výška kužele V = pr2v 1 3

Vypočítej objem kužele o průměru 12cm a výšce 8cm. Kužel – Objem tělesa - příklad Vypočítej objem kužele o průměru 12cm a výšce 8cm. v = 8cm V V = pr2v 1 3 V = 3,14 . 62 . 8 1 3 V = 301,44 cm3 r = d : 2 = 6 cm

Kužel – Objem tělesa - příklad Forma pro odlévání svíček vznikne vyvrtáním otvoru ve tvaru kužele do válce daných rozměrů. Vypočítej objem takto vyrobené svíčky. v = 20cm r = 5cm V = pr2v 1 3 V = . 3,14 . 52 . 20 1 3 V = 523,4 cm3 Objem svíčky je 523,4 cm3.

Kužel – Objem tělesa - příklad Vypočítej objem kužele, který vznikne rotací rovnostranného trojúhelníku s délkou strany 8cm kolem své osy. V = pr2v 1 3 s = 8cm d = 8cm v r Pomocí Pythagorovy věty spočítáme výšku kužele:. v2= s2 - r2 v2= 82 - 42 v = 6,9cm V = ∙3,14 ∙ 42∙ 6,9 1 3 V = 115,6cm3

Kužel – S a V tělesa – souhrnný příklad Vypočtěte povrch a objem kužele s poloměrem 45 mm a výškou 12 cm. 𝑠= 𝑣 2 + 𝑟 2 𝑟=45 𝑚𝑚 =4,5 𝑐𝑚 𝑠= 12 2 + 4,5 2 𝑣=12 𝑐𝑚 𝑉=… 𝑐𝑚 3 𝑠= 144+20,25 V 𝑆=… 𝑐𝑚 2 𝑠= 164,25 𝑉= 1 3 𝑆 𝑝 ∙ 𝑣 𝑠=12,8 𝑆= 𝑆 𝑝 + 𝑆 𝑝𝑙 𝑠=12,8 𝑐𝑚 s 𝑉= 1 3 ∙ 𝜋𝑟 2 ∙𝑣 𝑆= 𝜋𝑟 2 +𝜋𝑟𝑠 v 𝑆= 𝜋𝑟(𝑟+𝑠) 𝑉= 1 3 ∙ 3,14∙4,5 2 ∙12 𝑆=3,14∙4,5(4,5+12,8) 𝑉= 1 3 ∙3,14∙20,25∙12 𝑆=3,14∙4,5∙17,3 · r S 𝑆=244,45 𝑉=254,34 𝑆=244,45 𝑐𝑚 2 𝑉=254,34 𝑐𝑚 3

Kužel – S a V tělesa – souhrnný příklad Vypočtěte objem a povrch kužele s poloměrem 5 cm a obsahem pláště 204,1 cm2. v V r 𝑟=5 𝑐𝑚 𝑆 𝑝𝑙 =204,1 𝑐𝑚 2 𝑉=… 𝑐𝑚 3 𝑆=… 𝑐𝑚 2 VÝSLEDEK 𝑽=𝟑𝟏𝟒 𝒄𝒎 𝟑 ;𝐒=𝟐𝟖𝟐,𝟔 𝒄𝒎 𝟐

Komolý kužel – popis tělesa Pokud boční hrany kužele protneme rovinou, která je rovnoběžná s jeho podstavou: vzniknou dvě tělesa – komolý kužel a doplňkový kužel.

Komolý kužel – síť tělesa Vzdálenost rovin obou podstav je výška komolého jehlanu.

Komolý kužel – popis tělesa v – výška kužele (vzdálenost podstav) V r1 – poloměr spodní podstavy r2 – poloměr horní podstavy s – délka strany kužele α – úhel boční strany C D 𝑆 2 𝑟 2 𝑋 2 𝑣 𝑠 S = π[r12 +r22 + s(r1 + r2)] · Pokud spojnice středů podstav není kolmá k podstavám, nazýváme takový kužel kosý (kužel je zešikmený). A 𝑆 1 𝑟 1 𝑋 1

Kužel – souhrn učiva v – výška kužele r – poloměr podstavy s – délka strany kužele α – úhel boční strany s S = πr2 + πrs = πr(r + s) v Pokud výška kužele neprochází středem podstavy, nazýváme takový kužel kosý (kužel je zešikmený). Existují i další kužele – eliptický (podstavou je elipsa) ad. α r