Dvourozměrné geometrické útvary Úhel Měření nekonvexních úhlů. Autor © Mgr. Radomír Macháň

Zopakujme si nejdříve, co o úhlu už víme. Úhel je část roviny vymezená dvěma polopřímkami se stejným počátkem. Tyto polopřímky se nazývají ramena úhlu, jejich společný počátek je pak vrchol úhlu. A B + V Tak, myslí si ještě stále někdo, že úhel jsou ty dvě „čáry“ (ramena)? Pak tedy ještě jednou: Úhel jsou nejen ta dvě ramena, ale i všechny body mezi nimi! Je to část roviny vymezená rameny úhlu.

Úhel. Úhel se značí dvěma způsoby: α 1) pomocí vrcholu a dvou bodů, z nichž každý leží na jednom z ramen. Písmenko označující vrchol se píše mezi těmito dvěma body (v našem příkladě jde o úhel AVB). Zapisujeme: AVB 2) pomocí malých písmen řecké abecedy (α, β, γ, δ, …) A α B + V

Zopakujme si nejdříve, co o úhlu už víme. Každá dvě ramena vymezují ne jeden, ale rovnou dva úhly. Úhel menší (maximálně roven) než 180° (úhel přímý) – konvexní úhel. A A B B + + V V Úhel větší než 180° (úhel přímý) – nekonvexní (konkávní) úhel.

Úhel je veličina, která se dá měřit. K měření slouží úhloměr.

Základní jednotkou velikosti úhlů je stupeň (pozor, ne ten Celsiův). Velikost úhlu AVB se značí … AVB nebo jen …  Nejmenší úhel má velikost 0 stupňů, zapisujeme … 0° Největší úhel má velikost 360 stupňů, zapisujeme … 360°

Menšími jednotkami velikosti úhlů jsou minuty a vteřiny. Každý stupeň má 60 minut (1°= 60′) a každá minuta má 60 vteřin (1′ = 60″). 1°= 60′ = 3600″

Úhly se dají sčítat a odčítat. Když se mluví o sčítání nebo odčítání úhlů, myslí se tím sčítání a odčítání jejich velikostí. Když mají úhly stejnou velikost, tak jsou shodné. Při sčítání a odčítání se zvlášť sčítají a odčítají stupně a zvlášť minuty, případně vteřiny.

Nyní si nejdříve zopakujeme, jak se měří úhly konvexní a poté se naučíme měřit úhly nekonvexní. AVB =  = 54°

Opakování - měření úhlů konvexních. Úhly měříme úhloměrem tak, že tento přiložíme svým počátkem k vrcholu úhlů a jednou jeho nulou (ramenem) k jednomu z ramen měřeného úhlu. K jednomu z ramen úhlu jsme přiložili pravé rameno úhloměru a z toho plyne, že budeme měřit na stupnici od nuly zprava (proti směru pohybu hodinových ručiček). AVB =  = 70°

Opakování - měření úhlů konvexních. Úhly měříme úhloměrem tak, že tento přiložíme svým počátkem k vrcholu úhlů a jednou jeho nulou (ramenem) k jednomu z ramen měřeného úhlu. AVB =  = 110° K jednomu z ramen úhlu jsme přiložili levé rameno úhloměru a z toho plyne, že budeme měřit na stupnici od nuly zleva (ve směru pohybu hodinových ručiček).

Měření úhlů nekonvexních. Jak již z vlastní zkušenosti víme, běžný úhloměr má měřící rozsah, tedy stupnici, jen v rozmezí od 0°do 180°. A jelikož úhly nekonvexní mají velikost větší, musíme tomu přizpůsobit i postup při jejich měření. Nyní si tedy ukážeme, jak na to.

Měření úhlů nekonvexních. Úhel rozdělíme prodloužením jednoho ramene na úhly dva. Jeden o velikosti 180°a jeden menší, který již můžeme běžným, nám již známým způsobem změřit. Na závěr pak velikosti obou úhlů sečteme, čímž určíme velikost daného úhlu. AVB =  = = 180° + 70°= 250° 70° 180°

Měření úhlů. AVB =  = 180° + 128° = 308° Úhel rozdělíme prodloužením jednoho ramene na úhly dva. Jeden o velikosti 180°a jeden menší, který již můžeme běžným, nám již známým způsobem změřit. Na závěr pak velikosti obou úhlů sečteme, čímž určíme velikost daného úhlu. AVB =  = 180° + 128° = 308°

Měření úhlů. AVB =  = = 180° + 62° = = 242° Úhel rozdělíme prodloužením jednoho ramene na úhly dva. Jeden o velikosti 180°a jeden menší, který již můžeme běžným, nám již známým způsobem změřit. Na závěr pak velikosti obou úhlů sečteme, čímž určíme velikost daného úhlu. AVB =  = = 180° + 62° = = 242°

Měření úhlů. AVB =  = 180° + 33° = 213° Úhel rozdělíme prodloužením jednoho ramene na úhly dva. Jeden o velikosti 180°a jeden menší, který již můžeme běžným, nám již známým způsobem změřit. Na závěr pak velikosti obou úhlů sečteme, čímž určíme velikost daného úhlu. AVB =  = 180° + 33° = 213°

Měření úhlů. AVB =  = 180° + 154° = 334° Úhel rozdělíme prodloužením jednoho ramene na úhly dva. Jeden o velikosti 180°a jeden menší, který již můžeme běžným, nám již známým způsobem změřit. Na závěr pak velikosti obou úhlů sečteme, čímž určíme velikost daného úhlu. A nyní, protože nám to již jde, to zkusíme i bez prodlužování ramene. Jde jen o to, správně přiložit úhloměr! AVB =  = 180° + 154° = 334°

Příklady na procvičení - 1 Změř všechny vnitřní úhly čtyřúhelníku ABCD.

Příklady na procvičení - 1 Změř všechny vnitřní úhly čtyřúhelníku ABCD. BCD =  = 75°  +  +  +  = 227° + 38° + 75° + 20° = 360° CDA =  = 20° DAB =  = 227° ABC =  = 38°

Příklady na procvičení - 2 Změř všechny vnitřní úhly čtyřúhelníku OPQR.

Příklady na procvičení - 3 Změř všechny vnitřní úhly čtyřúhelníku ABCDE.

Příklady na procvičení - 4 Změř všechny vyznačené nekonvexní úhly.