A. Soustavy lineárních rovnic. y = 2x + 5 2x – y = -5 a1x1 + a2x2 = b a1 = 2 a2 = -1 b = - 5 x + y = 5 3x + 3y = 18 x + y = 5 3x + 3y = 15 x + y = 5 x + 3y = 18 žádné řešení nekonečně mnoho řešení jedno řešení

x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 vektory koeficientů matice 3 x 3 koeficientů x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 rozšířená matice soustavy 3 x 4 Ekvivalentní úpravy (tj. množina řešení se nemění): výměna řádků násobení řádků konstantou přičtení násobku řádku k jinému řádku

x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 k 2. rovnici přidám (-2)-násobek 1. rovnice k 3. rovnici přidám (-3)-násobek 1. rovnice x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3x + 6y – 5z = 0 2. rovnici násobím 1/2 x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3y – 11z = -27 k 3. rovnici přidám (-3)-násobek 2. rovnice x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 3y – 11z = -27

x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 -1/2z = -3/2 3. rovnici násobím -2 x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 z = 3 k 1. rovnici přičtu (-1)-násobek 2. rovnice x + 11/2z = 35/2 y – 7/2z = -17/2 z = 3 k 1. rovnici přičtu (-11/2)-násobek 3.rovnice a k 2. rovnici přičtu (7/2)-násobek 3.rovnice x + = 1 y = 2 z = 3

B. Gaussova – Jordanova eliminace. Smyslem je převést rozšířenou matici soustavy na redukovanou „stupňovitou“ matici: B1. Gaussova eliminace. jestliže řádek neobsahuje pouze nuly, pak první nenulový prvek zleva je 1 (vedoucí 1) všechny řádky obsahující pouze nuly jsou umístěny dole jako poslední jestliže dva následující řádky neobsahují pouze nuly, pak vedoucí 1 u dolního je vpravo od vedoucí 1 u horního. splňuje body 1-3 z = 5 y = 2 – 6z = -28 x = 7 – 3z – 4y = 104 matice soustavy matice ve stupňovitém tvaru B2. Gaussova - Jordanova eliminace. každý sloupec, který obsahuje „vedoucí“ jedničku, má na ostatních místech nuly z = 5 y = - 28 x = 104

Výsledkem Gaussovy eliminace je matice ve stupňovitém tvaru, tj. není Matice je v redukovaném stupňovitém tvaru: 1. Vedoucí prvek nenulového řádku je první zleva v tomto řádku. Nulový řádek nemá vedoucí prvek. Vedoucí prvek následujícího řádku je umístěn vpravo od vedoucího prvku řádku aktuálního. Ve sloupci, v němž se nachází vedoucí prvek, jsou ostatní sloupce nulové. Výsledkem Gaussovy eliminace je matice ve stupňovitém tvaru, tj. není splněn bod 3. v definici redukovaného stupňovitého tvaru. Výsledkem Gaussovy Jordanovy eliminace je matice v redukovaném stupňovitém tvaru.

Příklad. (soustava 3 rovnic s 5 proměnnými) a) vytvoření stupňovité matice (Gaussova eliminace) matice ve stupňovitém tvaru b) Zpětný chod (Gauss – Jordanova eliminace) x3 = 1, x5 = 2 x1 = u x2 = v x4 = 7/3 -2v/3 – u/3 soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení

C. Homogenní soustavy lineárních rovnic. Jedná se o soustavy lineárních rovnic s nulovou pravou stranou. Příklad. jedničky, které nejsou vedoucí (nejsou první zleva v řádku) vedoucí jedničky matice je ve stupňovitém tvaru. 2 možnosti: x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 0 (pro s = t = 0) triviální řešení nekonečně mnoho řešení pro s nebo t různé od 0 x5 = t x4 = 0 x3 = -t x2 = s x1 = -s -t x4 = 0 x3 + x5 = 0 x1 + x2 + x5 = 0 Řešení homogenní soustavy rovnic (m rovnic s n neznámými): má vždy triviální řešení pokud m < n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení

Transponováním matice A vzniká matice B. D. Operace s maticemi. A má 3 řádky a 2 sloupce , je to matice 3 x 2 A = B má 2 řádky a 3 sloupce, je to matice 2 x 3 B = Řádky matice A = sloupce matice B, B = AT, A = BT. Transponováním matice A vzniká matice B. Transponováním matice B vzniká matice A. Násobení matice A konstatou c znamená násobení každého prvku matice A = cA =

Sčítání (odčítání) matic znamená sčítání (odčítání) příslušných prvků. A + C = = Sčítání (odčítání) matic znamená sčítání (odčítání) příslušných prvků. Matice musejí být stejného typu (v příkladu jsou 3 x 2) Nulová matice má všechny své prvky rovny 0 A = B = AB = = = Součin matic AB je možno provést pouze v případě, že matice A je typu m x n a matice B je typu n x p. Výsledná matice AB je pak typu m x p.

Jednotková matice E je čtvercová matice, Jestliže i-tý řádek matice A obsahuje prvky ai1, ai2, ..., ain a j-tý sloupec matice B obsahuje prvky b1j, b2j, ... ,bnj, pak prvek cij matice AB tvar cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj Jednotková matice E je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále 1 a všude jinde 0. Je-li A čtvercová matice a E je jednotková matice stejného typu jako A, pak AE = EA = A. Pro čtvercové matice A, B obecně platí AB ≠ BA, záleží tedy na pořadí násobení. = = Příklad. A = B = E = AB = BA = E, kde E je jednotková matice.

Nechť A je čtvercová matice Nechť A je čtvercová matice. Matice A-1, pro kterou platí A-1A = AA-1 = E, kde E je jednotková matice stejného typu jako A, se nazývá inverzní matice k A. Matice A, ke které existuje A-1, se nazývá regulární. Pokud existuje A-1, je určena jednoznačně. Pokud ke čtvercovým maticím A, B existují matice inverzní, pak (AB)-1 existuje a (AB)-1 = B-1A-1. Metoda nalezení inverzní matice. Dá se ukázat, že je platný následující postup: Na rozšířenou matici (A, E), kde A je čtvercová regulární matice a E jednotková matice stejného typu, uplatňujeme opakovaně řádkové úpravy definované při Gaussově eliminačním algoritmu, dokud nedostaneme rozšířenou matici (E, B). Pak B = A-1. Příklad. A = (A,E) = Řádkové úpravy provádíme na celou matici 3 x 6.

Následující tvrzení jsou ekvivalentní: matice A je regulární ~ ~ ~ ~ ~ A-1 = Následující tvrzení jsou ekvivalentní: homogenní soustava rovnic má pouze triviální řešení matice A je regulární

E. Nehomogenní soustavy lineárních rovnic. Jedná se o soustavy lineárních rovnic s nenulovou pravou stranou. Nechť A je regulární (čtvercová, n x n) matice, nechť b, x jsou nenulové (n x 1) matice (vektory). Řešením rovnice Ax = b je x = A-1b. Pro každý Vektor b toto řešení existuje a je jediné. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: homogenní soustava rovnic má pouze triviální řešení matice A je regulární Pro každý vektor b má rovnice Ax = b právě jedno řešení tvaru x = A-1b. Determinant matice A (det A) je číslo, pro které platí: det A = 0 právě když A není regulární, tj. právě když A-1 neexistuje. det A ≠ 0 právě když A je regulární, tj. právě když A-1 existuje. Jestliže A = , pak det A = a11a22 – a12a21 minus Jestliže A = plus pak det A = a11a22a33 +a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12

Následující tvrzení jsou ekvivalentní: homogenní soustava rovnic má pouze triviální řešení matice A je regulární Pro každý vektor b má rovnice Ax = b právě jedno řešení tvaru x = A-1b. det A ≠ 0. Výpočet determinantu pro obecnou čtvercovou matici A přesahuje rámec této přednášky. (Cramerovo pravidlo). Řešení systému lineárních rovnic Ax = b, kde A je typu n x n a det A ≠ 0 je tvaru x1 = det A1/det A, x2 = det A2/det A, …, xn = det An/det A, kde Aj vznikne z matice A nahrazením j-tého jejího sloupce sloupcem b.

Příklad. x1 + 2x3 = 6 -3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 - x1 - 2x2 + 3x3 = 8 A = A1 = A2 = A3 = x1 = det A1/ det A = -40/44 = -10/11 x2 = det A2/ det A = 72/44 = 18/11 x3 = det A3/ det A = 152/44 = 38/11

F. Výpočet inverzní matice pomocí determinantu. Máme regulární čtvercovou matici A s prvky aij, i = 1, …, N, j = 1, …, N. Prvky matice A-1 označíme bij. Platí , kde Aji je čtvercová matice, která vznikne z matice A vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce. Poznámka: Pozor na pořadí indexů ve vzorci!! Máme bij, ale Aji

Příklad. Nechť jsou dány matice A, B. Vypočtěte matici X, jestliže A.X = B Řešení. X = A-1.B . Vypočteme prvky inverzní matice. det A = 5

G. Analytická geometrie. Rn = {[x1, x2, ..., xn] T; xi  R, i = 1, 2, ..., n}, prvky lze chápat jako vektory, speciálně R2 = {[x1, x2] T; xi  R, i = 1, 2} u Příklad. 3 vektor u  R2 1 vektor opačný -u  R2 -3 3 -1 1

násobení reálným číslem. Operace s vektory. Sčítání násobení reálným číslem. (1, 2) (-2, 1) (-3, 1) k je reálné číslo (jednosložkový vektor = skalár) (3, 6) (1, 2)

Délka vektoru. x =(x1, x2, ..., xn) T. Délka (velikost) vektoru je reálné číslo Jestliže x má délku | x |, pak y = x / | x | má délku | y | = 1. y se nazývá normalizovaný vektor. Příklad. Normalizujte vektor Normalizovaný vektor Zkouška. x =(x1, x2, ..., xn) T, y =(y1, y2, ..., yn) T. Skalární součin

Odchylka vektorů. x =(x1, x2, ..., xn) T, y =(y1, y2, ..., yn) T. Odchylka vektorů Dva vektory x a y jsou kolmé, jestliže (x, y) = 0. Poznámka. Jestliže 2 vektory jsou kolmé, pak cos a = 0, kde a je jejich odchylka. Proto (x, y) = 0. Orientace úhlu odchylky vektorů je proti směru hodinových ručiček. a

Přímka v R2. Rovnici přímky y = px + q lze přepsat ve tvaru ax + by + c = 0. Pak vektor u = (-b, a) je směrový vektor přímky. vektor n = (a, b) je směrový vektor přímky kolmé k ax + by + c = 0. Říkáme mu normálový vektor k přímce. (n je kolmý k u.) Příklad. n . u = n1u1 + n2u2 = -ab + ab = 0. Normálový a směrový vektor přímky jsou kolmé vektory. ax + by + c = 0 n = (a, b) normálový vektor přímky u = (-b, a) směrový vektor přímky [0, 0]

Příklad. Přímka p prochází body [1, 2] a [3, 5]. Napište její rovnici a rovnici přímky q, která je k ní kolmá a která prochází bodem [1, 2]. směrový vektor p je u = (-2, -3) = (-b, a). p: -3x +2y + c = 0 Zbývá určit c. Přímka prochází bodem [1, 2]. -3 + 4 + c = 1 + c = 0, c = -1 p: -3x +2y - 1 = 0 Normálový vektor n = (-3, 2). q: 2x + 3 y + c = 0 Přímka prochází bodem [1, 2]. 2 + 6 + c = 8 + c = 0, c = -8 q: 2x + 3 y - 8 = 0 Parametrická rovnice přímky v R2 je parametrická rovnice přímky procházející bodem [x0, y0] se směrovým vektorem u, t je reálné číslo.

Vzájemná poloha přímek v rovině. Přímky v rovině mohou být rovnoběžné, nebo různoběžné. Nechť přímka p prochází bodem A = [a1, a2] a její směrový vektor je u = (u1, u2), přímka q prochází bodem B = [b1, b2] a její směrový vektor je v = (v1, v2).   Příklad. p: 3x + 2y + 1 = 0, q: -6x - 4y +10 = 0. Směrové vektory u = (-2, 3), v = (4, -6). Zvolíme k = -1/2 a platí (-2, 3 ) = -1/2(4, -6). Přímka p prochází bodem [0, -1/2]. Dosazením do rovnice pro q je zřejmé, že tento bod neleží na přímce q. Přímky jsou tedy rovnoběžné různé.

Příklad. Přímky p : x = 1 + 2t, y = 2 – t, q: x + 3y + 1 = 0. Zjistěte vzájemnou polohu obou přímek. Napište rovnice přímek kolmých k těmto přímkám v bodě x = 0. Směrový vektor přímky p je u = (2, -1), směrový vektor přímky q je v = (-3, 1). Jestliže jsou přímky rovnoběžné, pak existuje konstanta k tak, že 2 = -3k, -1 = k. Obě tyto rovnice nemohou být současně splněny. Přímky jsou tedy různoběžné. Směrový vektor kolmice k p je w = (w1, w2). Pro směrový vektor přímky p a směrový vektor kolmice k p musí platit, že jejich skalární součin je roven 0. Tedy 2w1-w2 = 0. Nejjednodušší je zvolit kolmý vektor w = (-u2, u1) = (1, 2), ale například také (u2, -u1) nebo všechny k-násobky w. Všechny tyto vektory vyhovují podmínce kolmosti, tj. w u = 0. Kolmice k přímce p v bodě [0, 5/2] je tedy x = t, y = 5/2 + 2t. Směrový vektor kolmice ke q je z = (1, 3) (nebo jeho libovolný k-násobek) a kolmice prochází bodem [0, -1/3]. Můžeme tedy psát rovnici kolmice 3x - y + c = 0, 0 + 1/3 + c = 0, c = -1/3. Tedy kolmice ke q má tvar 3x + y – 1/3 = 0 nebo parametricky x = t, y = -1/3 + 3t.

Příklad. Napište rovnici tečny a normály ke křivce y = x 2 + 3 v bodě x = 1. x = 1, y = 4. Směrový vektor je dán derivací funkce v bodě 1. Derivace v bodě x = 1 je rovna 2x = 2. Směrový vektor tečny tedy je (1, 2). Parametrická rovnice tečny Neparametrická rovnice = vektorová rovnice přímky (1, 2) = (-b, a). Rovnice 2x – y + c = 0, 2 – 4 + c = - 2 + c = 0, c = 2. 2x – y + 2 = 0 Normálový vektor (2, -1) = (a, b) je směrový vektor normály. Rovnice -x - 2y + c = 0, -1 - 8 + c = -9 + c = 0, c = +9 x + 2y – 9 = 0.

Příklad. K přímce p: y = 3x v bodě x = 1 je vedena kolmice, která protíná osu x v bodě [K, 0]. Vypočtěte K. p : 3x – y = 0, směrový vektor (-b, a) = (1, 3), x = 1, y = 3. Pro normálu je (1, 3) = (a, b). Rovnice normály je x + 3y + c = 0, 1 + 9 + c = 10 + c = 0 x + 3y -10 = 0. y = 0, pak x = K = 10.

Úkol k procvičení. Trojúhelník má vrcholy v bodech P = [0, 0], Q = [4, 0], R = [4, 3]. Vpočtěte délku všech 3 stran trojúhelníka rovnice 3 těžnic, jejich délku a souřadnice těžiště.

Aplikace (Matice Leslie). Rozmnožování řady druhů je věkově závislé. Předpoklady. Sledujeme samice v populaci. Předpokládáme, že k množení dochází jen jednou za sezónu Na konci sezóny spočítáme potomky každého jedince. Jedinci stáří 4 roky a starší neexistují. Označme Nx(t ) počet samic věku x v čase t, Předpokládáme: 40% jedinců věku 0 30% jedinců věku 1 10% jedinců věku 2 jsou naživu v okamžiku sčítání jedinců na konci sezóny

N(t + 1) = L N( t ) Leslie matice Nechť N0( t ) = 1000, N1( t ) = 200, N2( t ) = 100, N3( t ) = 10

Obecně: Pi část samic stáří i, která přežije do následující sezóny. Fi průměrný počet živých potomků samice stáří i na 1 samici.

Aplikace (Lineární regrese). Pro hodnoty nezávisle proměnné x1, x2, …, xn měřím veličinu y =(y1, y2, … , yn )T Předpokládám, že nezávisle proměnná není zatížena chybou měření a y je zatíženo chybou měření. x nadmořská výška y délka vegetační sezóny Hledám přímku, která by “nejlépe odpovídala“ měřením.

Součet čtverců odchylek bodů přímky a měření Odchylky přímky a dat: Některé jsou kladné, Některé jsou záporné Některé jsou nulové. Součet čtverců odchylek bodů přímky a měření kvadratická funkce 2 proměnných lineární funkce 2 proměnných