Grafické řešení soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých Rovnice a nerovnice Grafické řešení soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých VY_32_INOVACE_M1r0115 Mgr. Jakub Němec

Grafické řešení soustavy rovnic Grafické řešení soustavy lineárních rovnic se opírá o fakt, že grafem každé lineární rovnice je přímka. V našem případě lze každou lineární rovnici upravit do tvaru 𝒚=𝒌𝒙+𝒒, který uvádí vztah mezi neznámou x a y. Základem je umět vytvořit graf lineární rovnice, což jsme se naučili ve třetí lekci (mimochodem tento postup znáte i z nižších ročníků, popř. ze základní školy). V našem případě zakreslíme oba grafy do jednoho obrázku. V případě že: a) získáme průsečík, soustava rovnic má jedno řešení (stačí zjistit x-ovou a y-ovou souřadnici průsečíku). b) získáme dvě rovnoběžky, soustava rovnic nemá řešení. c) získáme jednu přímku, která je totožná pro obě rovnice, má soustava rovnic nekonečně mnoho řešení.

−7𝑥+3𝑦−20=−8𝑥+2𝑦−16 −8𝑥−4𝑦+3=7𝑥+𝑦−7 𝑥+𝑦=4 −15𝑥−5𝑦=−10/:5 𝑥+𝑦=4 −1+𝑦=4 Nejdříve danou soustavu rovnic vypočteme algebraicky, abychom se ujistili ve výsledku, který budeme dále zjišťovat graficky. Upravíme obě rovnice do základního tvaru. Vyřešíme soustavu sčítací metodou (dosazovací metoda je také možná). Zjistili jsme hodnoty neznámých. −7𝑥+3𝑦−20=−8𝑥+2𝑦−16 −8𝑥−4𝑦+3=7𝑥+𝑦−7 𝑥+𝑦=4 −15𝑥−5𝑦=−10/:5 𝑥+𝑦=4 −1+𝑦=4 −3𝑥−𝑦=−2 𝑦=5 −2𝑥=2/: −2 𝑥=−1 𝒙;𝒚 = −𝟏;𝟓

𝑥+𝑦=4 𝑦=−𝑥+4 = −𝟏;𝟓 −3𝑥−𝑦=−2 𝑦=−3𝑥+2 Nyní vyřešíme příklad graficky. Z upravených rovnic si jednu vybereme, vyjádříme z ní hodnotu y, díky čemuž určíme její grafické znázornění. Do stejného obrázku určíme grafické znázornění druhé rovnice (stejným postupem). Místo, kde se obě přímky (tedy grafická znázornění daných rovnic) protínají, nazýváme průsečík. Jeho souřadnice, které hledáme kolmo k souřadným osám, jsou řešením naší soustavy rovnic. 𝑥+𝑦=4 𝑦=−𝑥+4 = −𝟏;𝟓 −3𝑥−𝑦=−2 𝑦=−3𝑥+2

4𝑥+4𝑦=𝑥+3𝑦−2 7𝑥−5𝑦+4=𝑥−7𝑦+10 3𝑥+𝑦=−2 6𝑥+2𝑦=6/: −2 3𝑥+𝑦=−2 −3𝑥−𝑦=−3 Nejdříve danou soustavu rovnic vypočteme algebraicky, abychom se ujistili ve výsledku, který budeme dále zjišťovat graficky. Upravíme obě rovnice do základního tvaru. Vyřešíme soustavu sčítací metodou (dosazovací metoda je také možná). Zjistili jsme, že rovnice nemá řešení. 4𝑥+4𝑦=𝑥+3𝑦−2 7𝑥−5𝑦+4=𝑥−7𝑦+10 3𝑥+𝑦=−2 6𝑥+2𝑦=6/: −2 3𝑥+𝑦=−2 −3𝑥−𝑦=−3 0=−5 𝑲= ∅

3𝑥+𝑦=−2 𝑦=−3𝑥−2 −3𝑥−𝑦=−3 𝑦=−3𝑥+3 Nyní vyřešíme příklad graficky. Z upravených rovnic si jednu vybereme, vyjádříme z ní hodnotu y, díky čemuž určíme její grafické znázornění. Do stejného obrázku určíme grafické znázornění druhé rovnice (stejným postupem). Přímky jsou evidentně rovnoběžné, nemají tedy žádný průsečík, tudíž nemají řešení. 3𝑥+𝑦=−2 𝑦=−3𝑥−2 −3𝑥−𝑦=−3 𝑦=−3𝑥+3

−6𝑥+2𝑦−7=−3𝑥−𝑦+2 −5𝑥+2𝑦+4=−4𝑥+𝑦+7 −3𝑥+3𝑦=9/: −3 −𝑥+𝑦=3 𝑥−𝑦=−3 −𝑥+𝑦=3 Řešte danou soustavu rovnic nejprve algebraicky, poté graficky. Rovnice nejdříve upravíme na co nejjednodušší tvar. Využijeme sčítací metody řešení soustavy rovnic. Rovnice má nekonečně mnoho řešení. −6𝑥+2𝑦−7=−3𝑥−𝑦+2 −5𝑥+2𝑦+4=−4𝑥+𝑦+7 −3𝑥+3𝑦=9/: −3 −𝑥+𝑦=3 𝑥−𝑦=−3 −𝑥+𝑦=3 0=0 𝑲= 𝒙;𝒚+𝟑 , 𝒙;𝒚 ∈ ℝ 𝟐

Při grafickém řešení této soustavy si opět vybereme jednu z rovnic a vyjádříme neznámou y. Druhá rovnice má stejné vyjádření, výsledná přímka bude tedy totožná. −𝑥+𝑦=3 𝑦=𝑥+3

Úkol závěrem 1) Řešte soustavu rovnic graficky: a) −7𝑥+8𝑦−15=−4𝑥+7𝑦−12 −4𝑥+5𝑦−7=2𝑥+3𝑦+1 b) 3𝑥+4𝑦+5=−𝑥+3𝑦−2 𝑥+5𝑦−3=4𝑥+4𝑦+4 c) 5𝑥+2𝑦−1=4𝑥−𝑦+4 7𝑥−4𝑦+2=5𝑥−10𝑦+12

Zdroje Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2. Pro přípravu obrázků byly použity programy Malování (součást operačního systému Windows) a Funkce 2.01 (freeware licence).