Pravděpodobnostní hodnocení vstupních parametrů zemin a hornin a spolehlivostní analýza geotechnických konstrukcí

Obsah Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů. Metoda Monte Carlo Metoda a LHS (latinské hyperkrychle).

Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko.

Spolehlivost Spolehlivost = schopnost systému (konstrukce) zachovávat požadované vlastnosti po celou dobu životnosti = pravděpodobnost, že požadované vlastnosti budou zachovány (ps) ps = 1 – pf kde pf je pravděpodobnost poruchy. 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko.

Definování rizika Riziko je pravděpodobnost vzniku nežádoucího jevu během přípravy, realizace a provozování podzemních staveb Riziko H (hazard): H = pf * Cf kde Cf je průměrná očekávaná hmotná škoda, ke které by došlo při vzniku poruchy kde pf je pravděpodobnost poruchy. 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko.

Druhy rizik Rizika technického řešení Rizika geotechnických poměrů zájmového území Rizika výstavby podzemního díla Rizika provozní 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko.

EN 1990- Zásady navrhování konstrukcí EN 1990: „Alternativně lze použít návrh založený přímo na pravděpodobnostních metodách“ Stochastický návrh je nutné vždy porovnat s výpočtem metodou dílčích koeficientů 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko.

EN1997-1 Navrhování geotechnických konstrukcí EN 1997: Charakteristické hodnoty geotechnických parametrů Pokud se použijí statistické metody, charakteristická hodnota se má odvodit tak, že vypočtená pravděpodobnost horší hodnoty„ řídící výskyt uvažovaného mezního stavu není větší než 5%.“ Pokud se při výběru charakteristických hodnot vlastností základové půdy použijí statistické metody, mají takové metody rozlišovat mezi místním a regionálním odběrem vzorků a mají dovolit užití apriori znalostí srovnatelných vlastností základové půdy 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko.

Riziko horninového prostředí Hledáme odpověď na otázku: „Jaké vstupní parametry mají být použity v matematické analýze?“ Zohlednění variability geologického prostředí → spolehlivé stanovení pravděpodobnosti poruchy → přizpůsobení konstrukce akceptovatelné míře rizika 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko.

2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.

Deterministický a pravděpodobnostní přístup Deterministicky formulovaná podmínka spolehlivosti: RN ≥ EN Pravděpodobnostní přístup (funkce spolehlivosti): R – E ≥ 0 kde R (odpor konstrukce = únosnost) a E (vnější zatížení) jsou náhodné veličiny s hustotami pravděpodobnosti fR(r) a fE(e). 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.

Stochastická definice stupně stability FS Pravděpodobnost porušení pf: R vzdorující síly (náhodná veličina), S  posouvající síly (náhodná veličina) 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.

Porovnání postupů deterministické a stochastické analýzy 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.

Metody řešení spolehlivosti lze rozdělit na dvě základní skupiny: aproximační metody simulační metody: Monte Carlo LHS - Latin Hypercube Sampling (Metoda latinských hyperkrychlí) 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.

3. Metoda Monte Carlo

Stochastické metody – Monte Carlo Metoda MC pracuje na principu numerické simulace. Na základě generovaných pseudonáhodných čísel z intervalu 0 – 1 je možné generovat realizace náhodných čísel s určitým rozdělením pravděpodobnosti. Její distribuční funkce je . Nejprve je generováno pseudonáhodné číslo , index i označuje náhodnou veličinu a index j označuje číslo simulace. 3. Metoda Monte Carlo

Zjednodušený postup výpočtu dle MC - Generujeme realizace všech náhodných veličin vstupujících do výpočtu tak, jak bylo naznačeno. Tím získáme jeden set (sadu) vstupních hodnot. - Vygenerujeme N výpočtových setů (zpravidla je nutno generovat x*106 setů). - Provedeme N výpočtů a případy, kdy neplatí R – E ≥ 0 označíme Nf. - Dle elementární definice pravděpodobnosti pak spočteme pravděpodobnost poruchy: - Spolehlivost celého systému: 3. Metoda Monte Carlo

Příklad – stabilita svahu v MC Geometrie Deterministické Stochastické (c) 3. Metoda Monte Carlo

Ekvivalentní plastické přetvoření 3. Metoda Monte Carlo

Vodorovné posuny 3. Metoda Monte Carlo

Vliv korelace (Spearmanova) 3. Metoda Monte Carlo

Vliv typu rozdělení Bez korelace 3. Metoda Monte Carlo

Vliv typu rozdělení S korelací 3. Metoda Monte Carlo

4. Metoda LHS

Metoda LHS Latinský čtyřhran je čtvercová síť popisující pozicí výběrů, kdy je v každé řadě a sloupci pouze jeden vzorek (výběr). Latinská hyperkrychle je zobecnění Latinského čtyřhranu – každý vzorek je pouze jeden v jedné řadě (v intervalu jedné osy) 4 Metoda LHS

Zjednodušený postup výpočtu dle LHS: Rozdělíme si interval distribuční funkce na N stejných dílků (zpravidla x*101), přičemž každý dílek má stejnou pravděpodobnost 1/N a může být vybrán právě jednou (náhodné permutace). Generujeme N realizací náhodných veličin vstupujících do výpočtu a sestavíme N setů pro výpočet. Provedeme N výpočtů. Další postup je shodný s metodou MC. 4. Metoda LHS

Zjednodušený princip LHS 4. Metoda LHS

Obecný princip LHS (median) Pro proměnné spočteme distribuční funkce, ty normujeme na interval <0,1> a rozdělíme na N nepřekrývajících se intervalů o stejné pravděpodobnosti (zde N = 5), 4. Metoda LHS

Obecný princip LHS Princip sestavení matice - Permutační tabulka 4. Metoda LHS

Obecný princip LHS Z N hodnot získaných pro každý typ simulované náhodné proměnné (jejich počet je K), sestavíme matici N*K a zpětně spočteme skutečné hodnoty (odnormování). N hodnot proměnných je spárováno náhodným způsobem navzájem 4. Metoda LHS

Výsledná sada dat 4. Metoda LHS

„LHS – mean“ vs „LHS – median srovnání metod výběru vzorků 4. Metoda LHS

Pravděpodobnostní analýzy metodou LHS - příčný profil tunelu Brusnice (staničení 3,100 km) 4. Metoda LHS

Vliv počtu výpočtů – aritmetický průměr 4. Metoda LHS

Vliv počtu výpočtů – směrodatná odchylka 4. Metoda LHS

Vliv počtu simulací N Střední hodnota Směrodatná odchylka 4. Metoda LHS

Vliv počtu simulací N Střední hodnota Směrodatná odchylka 4. Metoda LHS

Zohlednění korelací mezi proměnnými Většina postupů je implementací statistické korelace formou záměny pořadí vzorků u jednotlivých proměnných a nemění již jejich hodnoty. Metody: Pearsonův lineární korelační koeficientu Spearmanův koeficient pořadové korelace Metoda žíhání 4. Metoda LHS

Nevýhody LHS Obtížnější získávaní naměřených dat a jejich zpracování statistickým softwarem – QC- Expert, Anthill apod. Nutnost použít algoritmus LHS se zohledněním korelací Více výpočtů řešené úlohy (pro N simulací) 4. Metoda LHS

Výhody LHS značného snížení počtu simulací oproti standardní metodě Monte Carlo při zachování vysoké přesnosti odhadů zachovává pravděpodobnostní rozdělení přiřazené všem simulovaným proměnným zohledňuje korelovanost mezi proměnnými. 4. Metoda LHS