NÁZEV: VY_32_INOVACE_07_07_M8_Hanak TÉMA: Kruh a kružnice Základní škola Libina, příspěvková organizace, Libina 548,788 05,IČ: 708 708 61 Název projektu: Škola hrou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem republiky Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace AUTOR: Ing. Roman Hanák NÁZEV: VY_32_INOVACE_07_07_M8_Hanak TÉMA: Kruh a kružnice OBSAH: Thaletova kružnice ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.4.00/21.2364

ANOTACE V této hodině si ukážeme, jak sestrojíme Thaletovu kružnici a jak budeme využívat při konstrukčních úlohách. Na začátku jsou řešené příklady a v další části jsou příklady na samostatné procvičení. Inovativnost je v tom, že se zde vyskytuje řada moderních interaktivních prvků. Máme zde názorné grafické animace, obrázky, komentáře k řešení a hypertextové odkazy. Žáci lépe pochopí probíranou látku a hodina je pro ně zajímavější. Každý řešený příklad je pomocí animací rozdělen na dílčí kroky, takže vyučující se nezdržuje psaním na tabuli, ale pomocí ovladače postupně odkrývá řešení příkladu a má tak možnost žáky nechat samostatně tvořit a věnovat se těm žákům, kteří potřebují individuální pomoc. Na konci hodiny je stránka, kde jsou odkazy na internetové stránky, které prověří matematické dovednosti formou her nebo různých testů. Vyučující má možnost vybrat si z uvedených odkazů stránku, na které otestuje vědomosti žáků. Hodina je tvořena tak, aby mohla být odučena v multimediální učebně nebo v počítačové učebně, které mají připojení k internetu.

Thaletova věta Vrchol C trojúhelníku ABC leží na kružnici sestrojené nad průměrem AB, právě když trojúhelník ABC je pravoúhlý a pravým úhlem při vrcholu C. Jiná definice: Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.

Thaletova věta 𝐶 2 𝐶 3 𝑘 𝑆 · · 𝐶 1 𝐶 4 · · 𝐴 𝐵

Dokážeme platnost Thaletovy věty pro libovolný bod X kružnice k, kde X≠𝐴, 𝑋≠𝐵. Body AB jsou průměrem kružnice k. 𝑘 𝑆 𝑋 Rovnoramenné trojúhelníky: △𝐴𝑋𝑆 𝛼 △𝐵𝑋𝑆 𝛽 𝑟 Pro trojúhelník ABX platí: 𝛼 𝛽 𝛼+ 𝛼+𝛽+𝛽=180° 𝐴 𝑟 𝐵 2𝛼+2𝛽=180° /:2 𝑟 𝛼+𝛽=90° ∢𝐴𝑋𝐵 =90°

1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑆 𝑘 1. 𝑘;𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚

1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑆 𝑃 𝑘 2. 𝑃; 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚

1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑆 𝑂 𝑃 𝑘 3. 𝑂; O∈⟷𝑆𝑃, 𝑆𝑂 = 𝑂𝑃

4. 𝑙;𝑙 𝑂;𝑟=2,5 𝑐𝑚 −𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑡𝑜𝑣𝑎 𝑘𝑟𝑢ž𝑛𝑖𝑐𝑒 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑆 𝑂 𝑃 𝑘 𝑙 4. 𝑙;𝑙 𝑂;𝑟=2,5 𝑐𝑚 −𝑇ℎ𝑎𝑙𝑒𝑡𝑜𝑣𝑎 𝑘𝑟𝑢ž𝑛𝑖𝑐𝑒

1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑇 1 𝑆 𝑂 𝑃 𝑘 𝑙 𝑇 2 5. 𝑇 1 , 𝑇 2 ; 𝑇 1 , 𝑇 2 ∈𝑘∩𝑙

1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑇 1 𝑆 𝑂 𝑃 𝑡 1 𝑘 𝑙 𝑇 2 6. 𝑡 1 ; 𝑡 1 =⟷𝑀 𝑇 1

1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑇 1 𝑡 2 𝑆 𝑂 𝑃 𝑡 1 𝑘 𝑙 𝑇 2 6. 𝑡 2 ; 𝑡 2 =⟷𝑀 𝑇 2

1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑇 1 · 𝑡 2 𝑆 𝑂 𝑃 𝑡 1 𝑘 𝑙 𝑇 2 Pro výpočet vzdálenosti 𝑃 𝑇 1 využijeme △𝑆𝑃 𝑇 1

1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚 1) Sestrojte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=2 𝑐𝑚 a bod P, pro který platí 𝑆𝑃 =5 𝑐𝑚. Sestrojte tečnu kružnice k procházející bodem P. Vypočítejte délku úsečky PT. Řešení: 𝑇 1 𝑃𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑃𝑦𝑡ℎ𝑎𝑔𝑜𝑟𝑜𝑣𝑦 𝑣ě𝑡𝑦: · 𝑃 𝑇 1 2 = 𝑆𝑃 2 − 𝑆 𝑇 1 2 2 𝑐𝑚 𝑃 𝑇 1 2 = 5 2 − 2 2 𝑃 𝑇 1 2 =25−4 𝑆 5 𝑐𝑚 𝑃 𝑃 𝑇 1 2 =21 𝑃 𝑇 1 = 21 𝑃 𝑇 1 ≐4,58 𝑐𝑚 Délka úsečky 𝑃 𝑇 1 je 4,58 cm.

Příklady na samostatné procvičení: 1) Narýsujte kružnici 𝑘 𝑆;𝑟=3 𝑐𝑚 a vyznačte bod K tak, aby platilo 𝑆𝐾 =6 𝑐𝑚. a) Sestrojte tečny bodem K ke kružnici k. b) Vypočítejte vzdálenost bodu K od dotykových bodů tečen ke kružnici k 𝐾 𝑇 1 =5,2 𝑐𝑚 Př.2) Pro body A, B platí 𝐴𝐵 =7 𝑐𝑚. Bodem B veďte přímku tak, aby měla od bodu A vzdálenost: a) 3 cm; b) 7 cm; c) 8,5 cm .

Moje škola – matematika A Hypertextové odkazy Matematické hry Moje škola – matematika A Moje škola – matematika B ZŠ Dobřichovice – pracovní listy Matematika pro každého Matematika pro základní školy Fyzikální, matematické a chemické tabulky

Použité zdroje: MOLNÁR, Josef; EMANOVSKÝ, Petr; LEPÍK, Libor a kol. Matematika 8. Olomouc: Prodos, 2000, ISBN 80-7230-062-8. DYTRYCH, Martin; DOBIASOVÁ, Irena; LIVŇANSKÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky. Pohořelice: Fortuna, 2001, ISBN 80-7168-766-9. MULLEROVÁ, Jana; BĚLOUN, František; BRANT, Jiří a kol. Matematika pro 8. ročník. Praha: Kvarta, 1999, ISBN 80-85570-93-9. Galerie klipart