Hra života způsobuje chaos

Matematické modely vymezit zkoumaný systém zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase tvorba matematického modelu: vzájemný vztah základních veličin výstupem matematického modelu jsou data popisující chování zkoumaného systému ověření výstupních dat na reálném systému korekce matematického modelu

Matematické modely modelem může být i celulární automat, což je typ matematického modelu reálné situace, nejčastěji počítačový algoritmus (program) vlastnosti CA: nespojitost v čase diskrétnost hodnot základních veličin příkladem z oblasti biologie je CA Game of Life

Game of Life vytvořil v roce 1970 britský matematik John Conway modeluje dynamiku vývoje populací živých organismů hra se odehrává na nekonečně rozlehlé čtvercové hrací síti políčka sítě se nazývají buňky, každá buňka je buď živá nebo mrtvá stav všech buněk se mění najednou „zero-player“ hra – hráč pouze určí výchozí konfiguraci a dále již hra běží automaticky podle předem daných pravidel

Game of Life Pravidla pro vznik další generace: živá buňka zůstane živá pokud přesně dvě nebo tři z osmi buněk v jejím okolí jsou živé, jinak zemře mrtvá buňka se stane živou pokud přesně tři z osmi buněk v jejím okolí jsou živé, jinak zůstane mrtvá živé buňky jsou vyznačeny barevně, mrtvé buňky vyznačeny nejsou

Game of Life drobné rozdíly ve výchozí konfiguraci vedou k dramaticky rozdílný výsledkům pět základních scénářů vývoje populací buněk: populace roste bez omezení populace vymře populace zůstane stabilní populace se periodicky mění populace migruje Game of Life hra modeluje pouze dynamiku změn populací, co když ale chceme kvantitativní předpověď?

Ryby v rybníce rozmnožují se, umírají kolik ryb můžeme očekávat v rybníce po jednom roce, dvou, třech a více letech?

Ryby v rybníce nejjednodušší modely – počet ryb se každý rok např. zdvojnásobí tyto modely jsou nerealistické rybník má jen omezený prostor rybník má jen omezené potravinové zdroje velký počet ryb uživí větší počet jejich parazitů i predátorů musíme najít přesnější model, který zahrnuje omezenou kapacitu rybníka

Ryby v rybníce model vytvořil belgický matematik Pierre François Verhulst (1804 – 1849) Verhulstův model nepracuje s počty ryb, ale s jejich populační hustotou populační hustota je podíl počtu ryb a maximálního možného počtu ryb (kapacity prostředí) populační hustota je tedy nezáporné reálné číslo v modelu rychlost růstu závisí na tom, jak „daleko“ nebo „blízko“ je hustota populace ke kapacitě prostředí

Ryby v rybníce tři základní předpoklady Verhulstova modelu: je-li hustota populace mnohem nižší než kapacita prostředí, očekáváme její velký nárůst je-li hustota populace blízko kapacity prostředí, bude nárůst malý překročí-li hustota populace kapacitu prostředí, očekáváme její pokles

𝑃 𝑛+1 = 𝑃 𝑛 +𝑐 𝑃 𝑛 1− 𝑃 𝑛 Ryby v rybníce Verhulstův model (logistická rovnice) má tedy tvar: 𝑃 𝑛+1 = 𝑃 𝑛 +𝑐 𝑃 𝑛 1− 𝑃 𝑛

Hledání konstanty c matematický biolog Robert May v roce 1976 publikoval v Nature článek pod názvem „Simple mathematical models with very complicated dynamics“ May ukázal překvapující důsledky změn konstanty c pro chování modelovaného systému (např. populací ryb v rybníce) jednoduchá kvadratická funkce vede k velice složitému chování a nakonec k chaosu

Deterministický chaos pojem zavedl do matematiky James A. Yorke a jeho student Tien-Lien Li v článku „Period Three Implies Chaos“ zcela deterministický (nenáhodný) systém se chová nepředvídatelně, chaoticky v původním smyslu slova: je extrémně citlivý na počáteční podmínky (efekt motýlího křídla) jeho vnitřní dynamika vede od stability, přes bifurkace až k náhodému chování, které je nerozeznatelné od šumu po relativně krátké době, ztrácí model popisující tento systém schopnost jakýchkoli předpovědí

Děkuji Vám za pozornost

Použitá literatura Burger, E. B., Starbird M.: The Heart Of Mathematics, Third Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2010 Gleick, J.: Chaos. Ando, Praha, 1996 Wikipedia: https://www.wikipedia.org