Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0029 Číslo materiálu VY_32_INOVACE_06-14 Název školy Střední průmyslová škola stavební, Resslova 2, České Budějovice Autor Ing. Michal Kronika Tematický celek Stavební mechanika Ročník 2. – 3. Datum tvorby 22. 8. 2012 Anotace - názorný výklad nové látky a okamžité procvičení - prezentace Metodický pokyn výkladová prezentace na interaktivní tabuli nebo projektor Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora

Postup výpočtu vnitřních sil Prostý nosník zatížený spojitým trojúhelníkovým zatížením

Zadání příkladu Určete průběh V, M, N na prostém nosníku délky L = 6 m zatíženým spojitým trojúhelníkovým zatížením o velikosti 3 kN ve vrcholu trojúhelníka. Na nosníku vypočtěte: reakce Az, Ay, Bz, posouvající síly V, přechodný průřez P.P., momenty M, normálové síly N. Velikosti vnitřních sil vyneste do obrazců.

1. Popis zadání a výpočet náhradního břemena Popíšeme si obrázek zadání. Zakreslím odhad reakcí. Vypočteme si náhradní břemeno Q´, které využijeme při výpočtu reakcí. Náhradní břemeno je v těžišti spojitého trojúhelníkového zatížení. Tj. v 1/3 od vrcholu. Velikost Q´ je obsah trojúhelníkového zatížení v kN Q´= 𝒇 ∙𝑳 𝟐 = 𝟑 ∙ 𝟔 𝟐 = Q´= 9 kN 𝑄 ´ = 3∙6 2 =9 𝑘𝑁 𝐴 𝑦 a b 𝐴 𝑧 𝐵 𝑧

2. Výpočet reakcí Az, Ay, Bz 𝑄 ´ = 3∙6 2 =9 𝑘𝑁 a: Q´ ∙ 2 3 𝐿 - Bz ∙ 6 = 0 Bz = 𝑄´∙ 2 3 𝐿 6 = 9 ∙ 2 3 6 6 = 36 6 = 6 kN Az - Q´ + Bz = 0 Az = Q´ - Bz = 9 - 6 = 3 kN Ay = 0 kN Svislá reakce v levé podpoře Az = 3 kN a směřuje nahoru. V pravé Bz = 6 kN a také směřuje nahoru. Vodorovná reakce Ay = 0 kN. 𝐴 𝑦 2/3∙𝐿 1/3∙𝐿 a b 𝐴 𝑧 𝐵 𝑧

3. Výpočet a obrazec posouvajících sil 𝑄 ´ = 3∙6 2 =9 𝑘𝑁 Val = 0 kN Vap = Val + Az = 0 + 3 = 3 kN Vbl = Vap - 𝑓𝐿∙𝐿 2 = Vap - 𝑓∙𝐿 𝐿 ∙𝐿 2 = 3 - 3∙6∙6 6 ∙2 = 3 - 9 = - 6 kN Vbp = Vbl + Bz = - 6 + 6 = 0 kN Při spojitém trojúhelníkovém zatížení je posouvající síla v intervalu (a, b)funkce kvadratická. Klesá po parabole 2°. Křivka klesá v závislosti na stoupajícím zatížení. Zatížení v libovolném místě nosníku se zjistí dle podobnosti trojúhelníků. 𝑓 𝐿 = 𝑓𝑦 𝑦 ; fy = 𝑓∙𝑦 𝐿 ; fL = 𝑓∙𝐿 𝐿 𝐴 𝑦 =0 a 2/3∙𝐿 1/3∙𝐿 b 𝐵 𝑧 =6𝑘𝑁 𝐴 𝑧 =3𝑘𝑁 Pořadnice po nosníku y Parabola 2°

4. Přechodný průřez P.P 𝑄 ´ = 3∙6 2 =9 𝑘𝑁 Přechodný průřez se nachází v místě kde je posouvající síla rovna „0“. Při spojitém trojúhelníkovém zatížení klesá v obrazci posouvající síla po parabole 2°. Křivka klesá v závislosti na stoupajícím zatížení. Zatížení v libovolném místě nosníku se zjistí dle podobnosti trojúhelníků. 𝑓 𝐿 = 𝑓𝑦 𝑦 ; fy = 𝒇∙𝒚 𝑳 ; fL = 𝑓∙𝐿 𝐿 P.P. najdeme takto : Vap - fy ∙ 𝑦 2 = 0 (vzdálenost y je neznámá) Vap = 𝑓∙𝑦 𝐿 ∙ 𝑦 2 = 𝑓∙𝑦2 𝐿 .2 y = 𝑉𝑎𝑝 ∙𝐿 ∙2 𝑓 = = 3 ∙6 ∙2 3 = 12 = 3,464 m P.P. leží ve vzdálenosti 3,464 m napravo od podpory „a“. Označme si jej „c“. 𝐴 𝑦 =0 a 2/3∙𝐿 1/3∙𝐿 b 𝐵 𝑧 =6𝑘𝑁 𝐴 𝑧 =3𝑘𝑁 Pořadnice po nosníku y Parabola 2° c

5. Výpočet a obrazec momentů 𝑄 ´ = 3∙6 2 =9 𝑘𝑁 Ma = 0 kN, Mb = 0 kN Velikost momentu v P.P. v bodě „c“ musí být maximální. Velikost zatížení v bodě c: fyc = 𝒇∙𝒚𝒄 𝑳 Moment v bodě c zleva: Mmaxc = Az ∙ yc - fyc ∙ 𝑦𝑐 2 ∙ 𝑦𝑐 3 = = Az ∙ yc - 𝑓∙𝑦𝑐 𝐿 ∙ 𝑦𝑐 2 ∙ 𝑦𝑐 3 = = 3 ∙ 3,464 - 3∙3,464 6 ∙ 3,464 2 ∙ 3,464 3 = = 10,392 - 3∙3,4643 36 = = 10,392 - 3∙41,565 36 = Mmaxc = 10,392 - 3,464 = 6,928kNm 𝐴 𝑦 =0 a 2/3∙𝐿 1/3∙𝐿 b 𝐵 𝑧 =6𝑘𝑁 𝐴 𝑧 =3𝑘𝑁 Pořadnice po nosníku y 0 kNm c 0 kNm Parabola 3°