Základy infinitezimálního počtu Limita funkce v bodě Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Ivana Mastíková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Limita funkce v bodě Pojem limita patří k nejzákladnějším pojmům matematiky. Pojem limita není pro nás úplně nový, s pojmem limita jsme se již setkali v odvětví matematiky, které se zabývalo posloupnostmi. Posloupnosti jsme si zavedli jako funkce definované na množině přirozených čísel. f Vyjdeme z grafu funkce f. Víme, jestliže se bod x neomezeně blíží k bodu a, pak se f(x) blíží k b, tedy ke každému -okolí bodu b existuje  okolí bodu a, že pro všechna x U (a) je f(x)  U (b). Toto vyjadřujeme slovy, že funkce f(x) má v bodě a limitu b.  f(x) b  a x Zapisujeme 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =𝒃    Říkáme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a R právě, když 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =𝒇(𝒂)

Limita funkce v bodě Teď vezmeme funkci, která není v bodě a spojitá. Budeme řešit chování funkce pro x z redukovaného okolí bodu a, tedy x U (a) – {a} f Opět vyjdeme z grafu funkce f. Víme, jestliže se bod x blíží k bodu a, pak se f(x) blíží k bodu b, tedy ke každému redukovanému -okolí bodu b existuje redukované  okolí bodu a, že pro všechna x U (a) – {a} je f(x)  U (b) – {b}.  f(x) b  a x   Čím více se přibližujeme bodu a, tím více se funkční hodnota limitně blíží k bodu b. A opět platí, že limita funkce f(x) v bodě a je rovna b.

Limita funkce v bodě Nyní již můžeme definovat limitu funkce v bodě Funkce f má v bodě a limitu b, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu b existuje okolí bodu a tak, že pro všechna x a z tohoto okolí náleží všechny hodnoty f(x) zvolenému okolí bodu b. Věty o limitě funkce v bodě Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu Funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝑓(𝑎) Příklad: Řešení: Vypočtěte lim 𝑥→2 3 𝑥 2 −1 𝑥 3 +𝑥+1 Funkce f(x) = 3 𝑥 2 −1 𝑥 3 +𝑥+1 je v bodě 2 spojitá, pak lim 𝑥→2 3 𝑥 2 −1 𝑥 3 +𝑥+1 = 3∙ 2 2 −1 2 3 +2+1 = 11 11 =1

Limita funkce v bodě Věta o limitě dvou funkcí Jestliže x U (a) – {a} platí, že f(x) = g(x) a současně lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑏 , potom má v bodě a limitu funkce f a platí lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑏 Příklad: Vypočtěte limitu funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −9 𝑥 2 −2𝑥−3 ; 𝐷 𝑓 =𝑅− −1;3 v bodě 3 Řešení: Funkce f(x) = 𝑥 2 −9 𝑥 2 −2𝑥−3 není v bodě 3 spojitá, pak předpis funkce f upravíme tak, aby nově vzniklá funkce g byla v bodě 3 spojitá. 𝑥 2 −9 𝑥 2 −2𝑥−3 = 𝑥−3 ∙ 𝑥+3 𝑥−3 ∙ 𝑥+1 = 𝑥+3 𝑥+1 =𝑔(𝑥), pak lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→3 𝑥+3 𝑥+1 = 6 4 = 3 2

Limita funkce v bodě Věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí Jestliže lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐴 a lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝐵 , potom platí: lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝐴+𝐵 lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 − lim𝑔 𝑥→𝑎 𝑥 =𝐴−𝐵 lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 ∙𝑔 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ∙ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐴∙𝐵 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎 lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 = 𝐴 𝐵 za předpokladu, že lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 ≠0 Příklad: Řešení: lim 𝑥→−1 1 𝑥 2 +𝑙𝑛 𝑥+2 = lim 𝑥→−1 1 𝑥 2 + Příklad: Vypočtěte lim 𝑥→−1 1 𝑥 2 +𝑙𝑛 𝑥+2 + lim 𝑥→−1 𝑙𝑛 𝑥+2 = 1 −1 2 +𝑙𝑛 −1+2 =1

Limita funkce v bodě cvičení 1 Vypočtěte limity funkcí v daném bodě. Řešení ve tvaru zlomku zapisujte a/b f(x) = x2 – 5cosx, a = 0 g(x) = 𝑥+6 +4 1−𝑥 , a = -2 Vypočtěte limitu funkcí v daném bodě. Užijte větu o limitě dvou funkcí h1(x) = 𝑥−2 𝑥 2 −3𝑥+2 , a = 2 h2(x) = 𝑥 2 +5𝑥−6 𝑥−𝑥 2 , a = 1 h3(x) = 𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 −2𝑥−15 , a = 5 h4(x) = 𝑥 3 + 𝑥 2 +𝑥+1 𝑥 2 −2𝑥−3 , a = -1

Limita funkce v bodě Věta o třech limitách. Jestliže xU (a) – {a} platí fx) g(x)  h (x) a současně lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 ℎ 𝑥 =𝑏 , potom existuje také limita funkce g v bodě a a platí lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑏 Tuto větu použijeme k dokázání důležité limity - lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1 Nejdříve si musíme dokázat tvrzení, že pro každé reálné x platí |sin x|  |x|. Při důkazu vyjdeme z jednotkové kružnice Je-li x = 0 pak je také sin x = 0 = x, tedy |sin x| = |x| + A Pro 0 < x < 𝜋 2 je x = 𝐴𝐽 a sin x = 𝐴𝑃  x > sin x a pro x  𝜋 2 je |sin x| 1  𝜋 2  x = |x|  |sin x|  |x| Je-li x < 0, pak sin x = - sin(-x), kde je (-x) > 0 a tedy |sin(-x)|<|(-x)|=|x|  |sin x|=|sin(-x)|<|x| 1 x sinx P P J sinx x

Limita funkce v bodě Při důkazu lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1 opět vyjdeme z jednotkové kružnice Z předchozího víme, že pro každé x  0 platí, |sin x|<|x|. Z toho vyplývá, že 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 <1. Je-li 𝑥∈ 0; 𝜋 2 je sin x > 0, pro 𝑥∈ − 𝜋 2 ;0 je sin x < 0  𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 pro všechna x  0 Pro každé x > 0 platí x > sin x  sin 𝑥 𝑥 <1 B A x tg x Obsah kruhové výseče PTA = 𝜋 𝑟 2 𝑥 2𝜋 = 𝑥 2 je menší než obsah trojúhelníku PTB = 𝑡𝑔 𝑥 2 = sin 𝑥 cos 𝑥 ∙ 1 2  𝑥 2 < sin 𝑥 2 cos 𝑥  cos 𝑥< 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 <1 a platí lim 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥= lim 𝑥→0 1=1 1 sinx P 1 T Tedy podle věty o třech limitách je i 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 =𝟏

Limita funkce v bodě Využití dokázané limity 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 =𝟏 při výpočtu limit goniometrických funkcí. Příklad: Vypočtěte limitu funkce 𝑓 𝑥 = 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 v bodě x = 0. Řešení: lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 = lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 ∙ 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑥 2 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑥 2 ∙ 1 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑥 2 ∙ lim 𝑥→0 1 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 =1∙ 1 2 = 1 2

Limita funkce v bodě cvičení 2 Vypočtěte limity funkcí: lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥 3𝑥 lim 𝑥→0 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 lim 𝑥→0 𝑡𝑔𝑥 𝑥 lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥+ 𝑡𝑔 2 𝑥 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥 3𝑥 − 3 𝑥 2 +1

Limita funkce v bodě shrnutí Připomeneme si nové pojmy:

Použitá literatura Rektorys, K. Přehled užité matematiky I. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2009. ISBN 9788071961802. Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 808584978X. RNDr. Hrubý, D., RNDr. Kubát J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. ISBN 8071960632. RNDr. Petáková J. Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 8071960993.