Obecná soustava sil a momentů v prostoru Zcela obecné zatížení silami a momenty na těleso v prostoru (vede na 6 rovnic) Specifické případy Svazek sil - paprsky všech sil se protínají v 1 bodě (3 rovnice) Soustava rovnoběžných sil - paprsky sil jsou rovnoběžné (3 rovnice) Rovinná soustava sil a momentů - síly v jedné rovině a momenty jsou kolmé (3 rovnice) Rovinný svazek sil (2 rovnice) Rovinná soustava rovnoběžných sil (2 rovnice) Snaha o převrácení (akce) Viklan u obce Kadov, ~30 t Třicetitunový granodioritový viklan u Kadova, Na konci 19. Století byl Viklan násilně shozen a až do r. 1983 ležel na zemi. V tomto roce tým nadšenců pod vedením Ing. Pavla Pavla usadil Viklan na původní lože. Kámen na tomto místě setrval čtyři roky a pak byl znovu shozen. V r. 1987 byl opět dopraven na správné místo a opatřen klíny, které zabraňují pohybu a tím i úrazům ke kterým by mohlo při opětovném pádu dojít. Viklan byl prohlášen za chráněný přírodní výtvor. Copyright (c) 2007-2008 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/

Výsledný účinek soustavy sil a momentů v prostoru Před řešením úlohy rovnováhy či ekvivalence provedeme redukci známých sil Fi a momentů Mj k danému bodu, obvykle počátku O. Tím obdržíme jedinou výslednici Fr a jediný moment MO k danému bodu (počátku) Bivektorem lze nahradit jakoukoli soustavu sil a momentů z F1 z M0 Fr r2 r1 y Fi O y O y M1 Mj x x F r = i=1 n F i M O = i=1 n M OFi + j=1 m M j = i=1 n  r i × F i  + j=1 m M j Fr a MO - bivektor

Složky sil Velikost síly Úhly Úhel y: Složky momentů Velikost momentu M Ox = i=1 n  r iy F iz − r iz F iy  + j=1 m M jx M Oy = i=1 n  r iz F ix − r ix F iz  + j=1 m M jy M Oz = i=1 n  r ix F iy − r iy F ix  + j=1 m M jz M O = M Ox 2 + M Oy 2 + M Oz 2 cosλ= M Ox M O ,cosμ= M Oy M O ,cosν= M Oz M O F rx = i=1 n F ix = F i cos α i F ry = i=1 n F iy = F i cos β i F rz = i=1 n F iz = F i cos γ i F r = F rx 2 + F ry 2 + F rz 2 cos α r = F rx F r ,cos β r = F ry F r ,cos γ r = F rz F r F r ⋅ M O = F r M O cosψ,cosψ= F rx M Ox + F ry M Oy + F rz M Oz F r M O = =cos α r cosλ+cos β r cosμ+cos γ r cosν

Kromě obecných případů redukce k O mohou nastat tyto čtyři specifické soustavu lze nahradit jedinou silou Fr, která vytváří rovněž moment MO (rotací souřadné soustavy kolmé na MO přechází na rovinný případ) Výpočet paprsku síly z definice složek momentu pozn. Tyto tři rovnice jsou lineárně závislé, k určení bodu na paprsku výslednice stačí libovolné dvě F r ⊥ M O , F r ⋅ M O =0, z z z MO Fr Fr Fr Fr p O y O y O y x x x -Fr M Ox =y F rz −z F ry , M Oy =z F rx −x F rz , M Oz =x F ry −y F rx

2. výsledkem je jediná síla působící v počátku 3. výsledkem je moment (volný vektor), který může být nahrazen dvojicí sil v jakékoli rovině kolmé na moment 4. soustava je v rovnováze (princip výpočtu rovnováhy) F r ≠ 0 ∧ M O = 0 F r = 0 ∧ M O ≠ 0 z z MO F p O O y y x x -F F r = 0 ∧ M O = 0

Určete výslednou sílu, výsledný moment a úhel y soustavy sil k bodu O z F r = i=1 3 F i = 3;4;5 kN F r = 3 2 + 4 2 + 5 2 =7,071kN M Ox =0 F 1 −7 F 2 +7,2 F 3 =8kNm M Oy =0 F 1 +0−1,2 F 3 =−6kNm M Oz =0 F 1 +0 F 2 +0=0kNm M O = 8 2 + −6 2 =10kNm cosλ= M Ox M O =0,8 cosμ= M Oy M O =−0,6,cosν=0 cosψ= 3⋅8+4⋅ −6 +5⋅0 7,071⋅10 =0 F2 = 4 kN F3 = 5 kN O 7,2 m y 7 m 1,2 m x F1 = 3 kN 5y−4z=8∧3z−5x=−6∧4x−3y=0 ∞řešení, z prvních dvou rovnic −5x+5y−z=2např. bod 0;0;−2 paprsek má směr síly F r Fz=5 kN x y Soustavu lze nahradit jedinou silou, která působí na paprsku z=-2 m Fy=4 kN Fx=3 kN

Obecná soustava sil v prostoru - úloha rovnováhy Prostorová soustava sil {F1, ..., Fn} a momentů {M1, ..., Mm} je v rovnováze se silami {R1, ..., Ro} je-li výsledný účinek všech sil a všech momentů nulový Celkem k dispozici 6 statických podmínek rovnováhy = 6 neznámých, jednoznačné řešení pokud determinant soustavy ≠ 0 Momentové podmínky rovnováhy lze volit k libovolnému bodu (obvykle k O) i=1 n F i + j=1 o R j = 0 i=1 n M Oi F + j=1 o M Oj R + k=1 m M k = 0 silové (směrové) podmínky momentové podmínky : F ix + R jx =0 : M Oix F + M Ojx R + M kx =0 : F iy + R jy =0 : M Oiy F + M Ojy R + M ky =0 : F iz + R jz =0 : M Oiz F + M Ojz R + M kz =0

Každý moment je volný vektor a lze ho nahradit dvojicí sil na rameni Pro úlohu ekvivalence postačí vložit “-” před neznámé členy R a MR a tím je převést na pravou stranu všech rovnic Až tři silové podmínky lze nahradit podmínkami momentovými, maximálně 6 momentových podmínek rovnováhy (ekvivalence), osy nesmí být nulovými přímkami Nulové přímky soustavy - přímky ke kterým je statický moment soustavy nulový (vede na momentovou podmínku 0=0) Pro výpočet reakcí tuhého tělesa v prostoru je k dispozici 6 podmínek rovnováhy. Pro výpočet více reakcí je obecně třeba doplnit další podmínky, např. podmínky přetvárné.

Příklad - rovnováha Určete síly a momenty v uchycení chrliče dle schématu zatížení a reakcí jiné podmínky (výpočet, kontrola) O M z +0,6⋅0,5=0⇒ M z =−0,3kNm −0,6 R 2 −0,3⋅0,5=0⇒ R 2 =−0,25kN R x − R 2 −0,5=0⇒ R x =0,25kN 0,6 R 1 −0,6⋅5−1,2⋅0,2=0⇒ R 1 =5,4kN R y − R 1 =0⇒ R y =5,4kN R z −5−0,2=0⇒ R z =5,2kN −0,6 R x +0,3⋅0,5=0 0,6 R y −0,6⋅5−1,2⋅0,2=0 O O sv. Vít v Praze O Geometrie 1/2 chrliče z R2 R1 F2 = 0,5 kN 0,2 m Kromě bohoslužeb se ve sv. Vítu odehrávaly i korunovace českých králů a královen. Je místem uložení ostatků svatých zemských patronů, panovníků, šlechticů a arcibiskupů. Založen byl kolem roku 925 knížetem Václavem I. jako románská rotunda, která byla po roce 1060 přestavěna v trojlodní baziliku se dvěma věžemi. Stavbu současné gotické katedrály zahájil roku 1344 Karel IV. pod vedení stavitelů Matyáše z Arrasu a později Petra Parléře. Jedná se o první gotickou katedrálu francouzského typu na našem území. zdola.com/praha Mz O R1 1,2 m y Rx,Ry,R z R2 0,6 m x F3 = 0,2 kN F1 = 5 kN

Ekvivalentní nahrazení soustavy šroubem Soustavu sil a momentů jsme zredukovali do bivektoru Fr a MO v počátku O Moment MO rozložíme do Mn a Mc (Mc je koaxiální s Fr a Mn je kolmý na Mc a zároveň v rovině s MO) M c = M O cosψ, M n = M O sinψ M cx = M c cos α r , M cy = M c cos β r , M cz = M c cos γ r M n = M 0 − M c z MO z MO Fr Fr y y Mn Mc O y O y x x

Ekvivalentní nahrazení soustavy šroubem Sílu Fr posuneme tak, aby zároveň nahrazovala účinek momentu Mn Moment Mc posuneme do centrální osy c, určenou rovnicemi (k výpočtu postačují pouze libovolné dvě rovnice) Výsledný účinek na těleso je posuvný a otáčivý podél, resp. okolo osy c (šroub) Síla Fr a kolineární moment Mc tvoří tzv. invarianty soustavy sil M cx =y F rz −z F ry , M cy =z F rx −x F rz , M cz =x F ry −y F rx z z c c Fr Fr Fr Mn Mc Mc O y O y x x

Ekvivalentní nahrazení soustavy dvěma mimoběžnými silami Moment Mc nahraďme dvojicí sil R1 na libovolném rameni p dle obrázku. Součtem síly -R1 a Fr je síla R2 Soustavu obecných sil (a momentů) jsme nahradili dvěma mimoběžnými silami R1 a R2 (silový kříž) z z c c R2 Fr Fr Mc O y O y x x R1 R1 p p -R1 -R1

Nulové přímky soustavy Každá přímka protínající paprsky sil R1 a R2 tvoří nulovou přímku soustavy (moment k nim je nulový) Pro bivektor je to každá přímka protínající Fr a kolmá k MO K nulovým přímkám nemá smysl provádět momentové podmínky (výsledkem je nulový moment) Pokud není soustava v rovnováze, pak existuje buď Fr≠0 či MO≠0 a existují nulové přímky. Rotaci tělesa okolo nulových přímek není bráněno R2 R1 Tímto bodem prochází nulová přímka, např. kolmá k rovině (reakce nebrání rotaci-vyjímkový případ podepření)

Nahraďte soustavu šroubem a silovým křížem z :F rx =0 :M Ox =0 :F ry =30kN :M Oy =4 F 3 −2 F 1 =0 :F rz =40kN :M Oz =2 F 2 =60kNm F r = 30 2 + 40 2 =50kN, M O =60kNm cos α r =0,cos β r =0,6,cos γ r =0,8 cosλ=0,cosμ=0,6,cosν=0,8,cosψ= 40⋅60 50⋅60 =0,8,sinψ=0,6 M c = M 0 cosψ=48kNm, M n = M 0 sinψ=36kNm M c = 0;28,8;38,4 kNm, M n = M O − M c = 0;−28,8;21,6 kNm 40y−30z=0= M nx ⇒z= 4 3 y −40x=−28,8= M ny ⇒x=0,72m 2 m F3 = 20 kN F1 = 40 kN O 6 m y 4 m F4 = 20 kN x F2 = 30 kN Skripta Kufner, Kuklík SM10, pp. 35

Výsledný účinek šroubu Výsledný účinek mimoběžných sil R1 a R2 kolmý vektor na c = 0;30;40 např. 0;4;−3 , protože 0;30;40 ⋅ 0;4;−3 =0 pro rameno 5 m kolmé k c je R 1 = 48 5 =9,6kN, R 1 = −9,6;0;0 kN R 2 =− R 1 + F r = 9,6;0;0 + 0;30;40 = 9,6;30;40 kN R 2 =50,91kN Výsledný účinek šroubu Výsledný účinek mimoběžných sil R1 a R2 c c z z Mc = 48 kNm R2 = 50,91 kN y y x=0,72 m x=0,72 m 5 m Fr = 50 kN x x R1 = 9,6 kN

Prostorová soustava rovnoběžných sil Paprsky všech sil jsou rovnoběžné Násobky jednotkového vektoru f Výsledný účinek k počátku O F i = F i f F r = F i = F i f = f F r M O F = r i × F i = r i × F i f = r i F i × f F r ⋅ M O F = f F r ⋅ r i F i × f  ⊥ f =0 F r = F rx 2 + F ry 2 + F rz 2 =  F i  2 f x 2 + f y 2 + f z 2 = F i f Fi http://zhola.com/praha z O y x MO Fr

Soustava rovnoběžných svislých sil Obvykle rovnoběžné svislé síly, redukce šesti na tři podmínky rovnováhy Průsečík výslednice s rovinou xy F ix =0, F iy =0, M iz =0, F iz ≠0 : F rz = F iz : M x = M ix = F iz y i = F rz y r : M y = M iy = − F iz x i =− F rz x r x r = − M y F rz = F iz x i F rz y r = M x F rz = F iz y i F rz z -F1z F2z O y x xr yr Frz

Určete výslednici rovnoběžných svislých sil Podmínky ekvivalence : F rz =3−5+6+1=5kN : M x = F 3 y 3 + F 4 y 4 = 6⋅0,8+1⋅0,8=5,6kNm : M y =− F 1 x 1 − F 4 x 4 = −3⋅0,6−1⋅0,6=−2,4kNm x r = − M y F rz = 2,4 5 =0,48m y r = M x F rz = 5,6 5 =1,12m z F3=6 kN F2=5 kN F1=3 kN F4=1 kN y O 0,6 m xr 0,8 m yr x Frz

Otázky Jaké budou reakce v patě zpívající fontány při zatížení vlastní tíhou? Obecně tři silové a tři momentové, díky symetrii jsou tíhy jednotlivých částí prakticky na ose symetrie (soustava svislých sil v ose), výsledkem je převážně svislá reakce v patě. z O y x Letohrádek královny Anny, Praha Na horní míse dudáček, byla ulita z bronzu dělolijcem a zvonařem Tomášem Jarošem v r. 1573 dle nákresu F. Terzia. zdola.com Frz

Přednášky z předmětu SM1, Stavební fakulta ČVUT v Praze Autor Vít Šmilauer Náměty, připomínky, úpravy, vylepšení zasílejte prosím na vit.smilauer@fsv.cvut.cz Created 10/2007 in OpenOffice 2.3, ubuntu linux 6.06 Last update 12/7/2017