ŠKOLA: Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna, nám. Míru 6, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1020 NÁZEV PROJEKTU: Peníze do škol ČÍSLO ŠABLONY: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT AUTOR: Mgr. Vítězslav Kurz TEMATICKÁ OBLAST: Analytická geometrie NÁZEV DUMu: Parabola POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu: 19 KÓD DUMu: VY_32_INOVACE_2_2_19_KUR DATUM TVORBY: 23.6. 2013 ANOTACE (ROČNÍK): Prezentace je určena pro použití v předmětu Seminář z matematiky, který je vyučován ve 3. a 4. ročníku. Je vytvořena k použití ve vyučovací hodině, je možno ji však použít i k samostudiu při přípravě k maturitě.

Doporučené vzorce Vrcholové rovnice paraboly: (𝑥−𝑚) 2 =∓2𝑝 𝑦−𝑛 …𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑒𝑣í𝑟á 𝑑𝑜 𝑜𝑠𝑦 𝑦 (𝑦−𝑛) 2 =∓2𝑝 𝑥−𝑚 …𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑒𝑣í𝑟á 𝑑𝑜 𝑜𝑠𝑦 𝑥 p…vzdálenost mezi ohniskem F a řídící přímkou. Znaménko – (pokud se rozevírá do záporné poloosy) Znaménko + (pokud se rozevírá do kladné poloosy) 𝑉= 𝑚;𝑛 … vrchol paraboly Obecné rovnice paraboly: 𝑥 2 +2𝑟𝑥+2𝑠𝑦+𝑡=0…𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑒𝑣í𝑟á 𝑑𝑜 𝑜𝑠𝑦 𝑦 𝑦 2 +2𝑟𝑥+2𝑠𝑦+𝑡=0…𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑒𝑣í𝑟á 𝑑𝑜 𝑜𝑠𝑦 𝑥

Parabola Př.1: Napište rovnice paraboly, která má dáno ohnisko F a řídící přímku d: 𝐹= 5;−3 , 𝑑:𝑦=−1 Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y.

Příklad 1: Př.1: Napište rovnice paraboly, která má dáno ohnisko F a řídící přímku d: 𝐹= 5;−3 , 𝑑:𝑦=−1 Určíme nejdříve souřadnice vrcholu. Ten leží mezi ohniskem a řídící přímkou uprostřed – odsud poznáme y-onovou souřadnici. X-ová souřadnice je stejná jako u ohniska F.

Příklad 1: Př.1: Napište rovnice paraboly, která má dáno ohnisko F a řídící přímku d: 𝐹= 5;−3 , 𝑑:𝑦=−1 Určíme nejdříve souřadnice vrcholu. Ten leží mezi ohniskem a řídící přímkou uprostřed – odsud poznáme y-onovou souřadnici. X-ová souřadnice je stejná jako u ohniska F. Vrchol V, má tedy souřadnice: 𝑉= 5;−2

Příklad 1: Př.1: Napište rovnice paraboly, která má dáno ohnisko F a řídící přímku d: 𝐹= 5;−3 , 𝑑:𝑦=−1 Určíme nejdříve souřadnice vrcholu. Ten leží mezi ohniskem a řídící přímkou uprostřed – odsud poznáme y-onovou souřadnici. X-ová souřadnice je stejná jako u ohniska F. Vrchol V, má tedy souřadnice: 𝑉= 5;−2 Dále si uvědomíme, že vzdálenost ohniska od řídící přímky má hodnotu p. Vzdálenost je rovna 2.

Příklad 1: Př.1: Napište rovnice paraboly, která má dáno ohnisko F a řídící přímku d: 𝐹= 5;−3 , 𝑑:𝑦=−1 Určíme nejdříve souřadnice vrcholu. Ten leží mezi ohniskem a řídící přímkou uprostřed – odsud poznáme y-onovou souřadnici. X-ová souřadnice je stejná jako u ohniska F. Vrchol V, má tedy souřadnice: 𝑉= 5;−2 Dále si uvědomíme, že vzdálenost ohniska od řídící přímky má hodnotu p. Vzdálenost je rovna 2. Vzhledem k poloze ohniska a řídící přímky se parabola rozevírá do záporné poloosy y. Znaménko bude tedy -. Vybereme si tedy rovnici: (𝑥−𝑚) 2 =−2𝑝(𝑦−𝑛)

Příklad 1: Př.1: Napište rovnice paraboly, která má dáno ohnisko F a řídící přímku d: 𝐹= 5;−3 , 𝑑:𝑦=−1 Určíme nejdříve souřadnice vrcholu. Ten leží mezi ohniskem a řídící přímkou uprostřed – odsud poznáme y-onovou souřadnici. X-ová souřadnice je stejná jako u ohniska F. Vrchol V, má tedy souřadnice: 𝑉= 5;−2 Dále si uvědomíme, že vzdálenost ohniska od řídící přímky má hodnotu p. Vzdálenost je rovna 2. Vzhledem k poloze ohniska a řídící přímky se parabola rozevírá do záporné poloosy y. Znaménko bude tedy -. Vybereme si tedy rovnici: (𝑥−𝑚) 2 =−2𝑝(𝑦−𝑛) Nyní sestavíme rovnici paraboly: (𝑥−5) 2 =−4(𝑦+2)

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚)

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚) 6 (𝑦−2) 2 =3𝑥

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚) 6 (𝑦−2) 2 =3𝑥 (𝑦−2) 2 = 1 2 𝑥

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚) 6 (𝑦−2) 2 =3𝑥 (𝑦−2) 2 = 1 2 𝑥 (𝑦−2) 2 =2∙ 1 4 𝑥 Z tohoto tvaru již lze vyčíst vše potřebné.

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚) 6 (𝑦−2) 2 =3𝑥 (𝑦−2) 2 = 1 2 𝑥 (𝑦−2) 2 =2∙ 1 4 𝑥 Z tohoto tvaru již lze vyčíst vše potřebné. Vrchol má souřadnice: 𝑉=

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚) 6 (𝑦−2) 2 =3𝑥 (𝑦−2) 2 = 1 2 𝑥 (𝑦−2) 2 =2∙ 1 4 𝑥 Z tohoto tvaru již lze vyčíst vše potřebné. Vrchol má souřadnice: 𝑉= 0;2 Vzdálenost mezi ohniskem a řídící přímkou 𝑝=

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚) 6 (𝑦−2) 2 =3𝑥 (𝑦−2) 2 = 1 2 𝑥 (𝑦−2) 2 =2∙ 1 4 𝑥 Z tohoto tvaru již lze vyčíst vše potřebné. Vrchol má souřadnice: 𝑉= 0;2 Vzdálenost mezi ohniskem a řídící přímkou 𝑝= 1 4 Parabola se rozevírá do kladné poloosy x. Řídící přímka má tedy rovnici

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚) 6 (𝑦−2) 2 =3𝑥 (𝑦−2) 2 = 1 2 𝑥 (𝑦−2) 2 =2∙ 1 4 𝑥 Z tohoto tvaru již lze vyčíst vše potřebné. Vrchol má souřadnice: 𝑉= 0;2 Vzdálenost mezi ohniskem a řídící přímkou 𝑝= 1 4 Parabola se rozevírá do kladné poloosy x. Řídící přímka má tedy rovnici 𝑥=− 1 8 Ohnisko je na opačné straně, tedy k x-ové souřadnici bodu V tuto Hodnotu přičtu, dostávám:

Příklad 2: Př.2: Napište ohnisko a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 3𝑥=6 (𝑦−2) 2 Nejprve tuto rovnici upravíme na vrcholový tvar: (𝑦−𝑛) 2 =2𝑝(𝑥−𝑚) 6 (𝑦−2) 2 =3𝑥 (𝑦−2) 2 = 1 2 𝑥 (𝑦−2) 2 =2∙ 1 4 𝑥 Z tohoto tvaru již lze vyčíst vše potřebné. Vrchol má souřadnice: 𝑉= 0;2 Vzdálenost mezi ohniskem a řídící přímkou 𝑝= 1 4 Parabola se rozevírá do kladné poloosy x. Řídící přímka má tedy rovnici 𝑥=− 1 8 Ohnisko je na opačné straně, tedy k x-ové souřadnici bodu V tuto Hodnotu přičtu, dostávám: 𝐹= 1 8 ;2 .

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly.

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 −9=−4𝑦−3

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 −9=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 =−4𝑦+6

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 −9=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 =−4𝑦+6 (𝑥−3) 2 =−2∙2 𝑦− 3 2

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 −9=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 =−4𝑦+6 (𝑥−3) 2 =−2∙2 𝑦− 3 2 Z posledního uvedeného tvaru lze vyčíst vše potřebné. Souřadnice vrcholu jsou 𝑉=

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 −9=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 =−4𝑦+6 (𝑥−3) 2 =−2∙2 𝑦− 3 2 Z posledního uvedeného tvaru lze vyčíst vše potřebné. Souřadnice vrcholu jsou 𝑉= 3; 3 2 . Vzdálenost ohniska od řídící přímky 𝑝=

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 −9=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 =−4𝑦+6 (𝑥−3) 2 =−2∙2 𝑦− 3 2 Z posledního uvedeného tvaru lze vyčíst vše potřebné. Souřadnice vrcholu jsou 𝑉= 3; 3 2 . Vzdálenost ohniska od řídící přímky 𝑝=2. Parabola se rozevírá do záporné poloosy y. Ohnisko je tedy 𝐹=

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 −9=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 =−4𝑦+6 (𝑥−3) 2 =−2∙2 𝑦− 3 2 Z posledního uvedeného tvaru lze vyčíst vše potřebné. Souřadnice vrcholu jsou 𝑉= 3; 3 2 . Vzdálenost ohniska od řídící přímky 𝑝=2. Parabola se rozevírá do záporné poloosy y. Ohnisko je tedy 𝐹= 3; 1 2 . Rovnice řídící přímky je

Příklad 3: Př.3: Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly, dané rovnicí: 𝑥 2 +4𝑦−6𝑥+3=0 Příklad je podobný jako předchozí. Nejdříve si musíme postupnými úpravami převést na vrcholový tvar paraboly. 𝑥 2 −6𝑥=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 −9=−4𝑦−3 (𝑥−3) 2 =−4𝑦+6 (𝑥−3) 2 =−2∙2 𝑦− 3 2 Z posledního uvedeného tvaru lze vyčíst vše potřebné. Souřadnice vrcholu jsou 𝑉= 3; 3 2 . Vzdálenost ohniska od řídící přímky 𝑝=2. Parabola se rozevírá do záporné poloosy y. Ohnisko je tedy 𝐹= 3; 1 2 . Rovnice řídící přímky je: 𝑦= 5 2

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. Osa má být rovnoběžná s osou y. Použijeme tedy obecnou rovnici paraboly: 𝑥 2 +2𝑟𝑥+2𝑠𝑦+𝑡=0 Dosadíme postupně všechny tři body.

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. Osa má být rovnoběžná s osou y. Použijeme tedy obecnou rovnici paraboly: 𝑥 2 +2𝑟𝑥+2𝑠𝑦+𝑡=0 Dosadíme postupně všechny tři body. 𝐴: 2 2 +2𝑟∙2+2𝑠∙4+𝑡=0

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. Osa má být rovnoběžná s osou y. Použijeme tedy obecnou rovnici paraboly: 𝑥 2 +2𝑟𝑥+2𝑠𝑦+𝑡=0 Dosadíme postupně všechny tři body. 𝐴: 2 2 +2𝑟∙2+2𝑠∙4+𝑡=0 𝐵: (−1) 2 +2𝑟∙ −1 +2𝑠∙7+𝑡=0

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. Osa má být rovnoběžná s osou y. Použijeme tedy obecnou rovnici paraboly: 𝑥 2 +2𝑟𝑥+2𝑠𝑦+𝑡=0 Dosadíme postupně všechny tři body. 𝐴: 2 2 +2𝑟∙2+2𝑠∙4+𝑡=0 𝐵: (−1) 2 +2𝑟∙ −1 +2𝑠∙7+𝑡=0 𝐶: 1 2 +2𝑟+2𝑠∙3+𝑡=0 Upravíme

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. Osa má být rovnoběžná s osou y. Použijeme tedy obecnou rovnici paraboly: 𝑥 2 +2𝑟𝑥+2𝑠𝑦+𝑡=0 Dosadíme postupně všechny tři body. 𝐴: 2 2 +2𝑟∙2+2𝑠∙4+𝑡=0 𝐵: (−1) 2 +2𝑟∙ −1 +2𝑠∙7+𝑡=0 𝐶: 1 2 +2𝑟+2𝑠∙3+𝑡=0 Upravíme 4+4𝑟+8𝑠+𝑡=0 1−2𝑟+14𝑠+𝑡=0 1+2𝑟+6𝑠+𝑡=0 Poslední rovnici vynásobíme číslem -1, přičteme k první a druhé.

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. Osa má být rovnoběžná s osou y. Použijeme tedy obecnou rovnici paraboly: 𝑥 2 +2𝑟𝑥+2𝑠𝑦+𝑡=0 Dosadíme postupně všechny tři body. 𝐴: 2 2 +2𝑟∙2+2𝑠∙4+𝑡=0 𝐵: (−1) 2 +2𝑟∙ −1 +2𝑠∙7+𝑡=0 𝐶: 1 2 +2𝑟+2𝑠∙3+𝑡=0 Upravíme 4+4𝑟+8𝑠+𝑡=0 1−2𝑟+14𝑠+𝑡=0 1+2𝑟+6𝑠+𝑡=0 Poslední rovnici vynásobíme číslem -1, přičteme k první a druhé. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0 Druhou rovnici vydělíme 2 a přičteme k první.

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0 Druhou rovnici vydělíme 2 a přičteme k první. 3+6𝑠=0 𝑠=− 1 2

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0 Druhou rovnici vydělíme 2 a přičteme k první. 3+6𝑠=0 𝑠=− 1 2 Dosadíme do rovnice 3+2𝑟+2𝑠=0

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0 Druhou rovnici vydělíme 2 a přičteme k první. 3+6𝑠=0 𝑠=− 1 2 Dosadíme do rovnice 3+2𝑟+2𝑠=0 3+2𝑟−1=0 𝑟=−1

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0 Druhou rovnici vydělíme 2 a přičteme k první. 3+6𝑠=0 𝑠=− 1 2 Dosadíme do rovnice 3+2𝑟+2𝑠=0 3+2𝑟−1=0 𝑟=−1 A obě hodnoty dosadíme do rovnice 1+2𝑟+6𝑠+𝑡=0

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0 Druhou rovnici vydělíme 2 a přičteme k první. 3+6𝑠=0 𝑠=− 1 2 Dosadíme do rovnice 3+2𝑟+2𝑠=0 3+2𝑟−1=0 𝑟=−1 A obě hodnoty dosadíme do rovnice 1+2𝑟+6𝑠+𝑡=0 1−2−3+𝑡=0 𝑡=4 Sestavíme rovnici paraboly:

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0 Druhou rovnici vydělíme 2 a přičteme k první. 3+6𝑠=0 𝑠=− 1 2 Dosadíme do rovnice 3+2𝑟+2𝑠=0 3+2𝑟−1=0 𝑟=−1 A obě hodnoty dosadíme do rovnice 1+2𝑟+6𝑠+𝑡=0 1−2−3+𝑡=0 𝑡=4 Sestavíme rovnici paraboly: 𝑥 2 −2𝑥−𝑦+4=0 Rovnice paraboly ve vrcholovém tvaru je:

Příklad 4: Př.4: Je dána trojice bodů 𝐴= 2;4 ,𝐵= −1;7 ,𝐶= 1;3 . Určete rovnice paraboly, které těmito body A,B,C procházejí a mají osu rovnoběžnou s osou y. 3+2𝑟+2𝑠=0 0−4𝑟+8𝑠=0 Druhou rovnici vydělíme 2 a přičteme k první. 3+6𝑠=0 𝑠=− 1 2 Dosadíme do rovnice 3+2𝑟+2𝑠=0 3+2𝑟−1=0 𝑟=−1 A obě hodnoty dosadíme do rovnice 1+2𝑟+6𝑠+𝑡=0 1−2−3+𝑡=0 𝑡=4 Sestavíme rovnici paraboly: 𝑥 2 −2𝑥−𝑦+4=0 Rovnice paraboly ve vrcholovém tvaru je: (𝑥−1) 2 =𝑦−3

Zdroj: Sbírka úloh pro gymnázia – Analytická geometrie, Prometheus