Grafické řešení kvadratických rovnic Rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratických rovnic VY_32_INOVACE_M1r0111 Mgr. Jakub Němec

Grafické řešení kvadratických rovnic V současnosti již známe pět různých algebraických způsobů, kterými lze vyřešit kvadratická rovnice. V této lekci si představíme další dva způsoby, kterými lze získat množinu kořenů, tentokráte grafické. Oba způsoby se opírají o grafické zobrazení kvadratické funkce. Vzniká křivka, která je nazývána parabola. Nebudeme si vysvětlovat její vlastnosti, ale naznačíme, jak ji vytvořit. Vhodnou aplikací paraboly pro daný příklad získáme výsledné kořeny kvadratické rovnice.

Grafické zobrazení 𝑦= 𝑥 2 , tedy kvadratické funkce, získáme tak, že si zvolíme několik bodů a najdeme jejich hodnoty. Jak je vidět, u kvadratického členu nezáleží na tom, jestli je dosazované číslo kladné nebo záporné, jejich hodnota je stejná.

Spojením všech bodů, které lze dosadit, získáme graf kvadratické funkce, tedy křivku, které říkáme parabola. Můžete si všimnout, že parabola je osově souměrná podle osy y a začíná v tzv. vrcholu paraboly, od kterého jde na obě strany zrcadlově stejně.

𝑥 2 +2𝑥−3=0 𝑥−1 ∙ 𝑥+3 =0 𝑥−1=0 𝑥+3=0 𝑥=1 𝑥=−3 𝑲= −𝟑;𝟏 Řešte graficky danou kvadratickou rovnici. Vzhledem k tomu, že kvadratickou rovnici řešíme poprvé, určíme si pro kontrolu kořeny rovnice algebraicky (zvolený postup záleží na řešiteli). 𝑥 2 +2𝑥−3=0 𝑥−1 ∙ 𝑥+3 =0 𝑥−1=0 𝑥+3=0 𝑥=1 𝑥=−3 𝑲= −𝟑;𝟏

První, jednodušší, grafickým řešení kvadratické rovnice spočívá v rozdělení normovaného tvaru dané rovnice na dvě části – kvadratickou, tedy 𝑥 2 , a lineární s absolutní, získáme tedy takovýto tvar rovnice 𝒙 𝟐 =−𝟐𝒙+𝟑. Úpravou získáme dva grafy, jejichž x-ové souřadnice průsečíků jsou řešením rovnice. Nejdříve si sestavíme kvadratickou část, tedy parabolu.

Pravá část rovnice 𝒙 𝟐 =−𝟐𝒙+𝟑, tedy lineární a absolutní člen, je třeba také zobrazit graficky. Tento postup již známe z lekce grafického řešení lineárních rovnic.

X-ové souřadnice průsečíků levé a pravé strany kvadratické rovnice, tedy paraboly a přímky, určují námi hledané kořeny.

Druhý způsob grafického řešení je založen na algebraickém řešení kvadratické rovnice – úpravě na čtverec. Tento způsob řešení si pouze předvedeme, její hlubší podstatu pochopíte až při hodinách, v nichž budete studovat kvadratické funkce. Dané řešení je totiž založeno na posunování grafu kvadratické funkce. Úpravou na čtverec získáme tzv. vrchol paraboly, tedy místo, kde parabola „začíná“. Upravíme tedy danou rovnici na čtverec. 𝑥 2 +2𝑥−3=0 𝑥 2 +2𝑥+1−1−3=0 𝑥+1 2 −4=0

Vrchol získáme z této úpravy tak, že převrátíme hodnotu v závorce (x-ová souřadnice) a číslo mimo závorku ponecháme beze změny (y-ová souřadnice). V našem případě z rovnice 𝑥+1 2 −4=0 získáme vrchol 𝑉= −1;4 , od nějž vedeme parabolu na „obě strany“. Místa, kde parabola protne osu x, jsou naše hledané kořeny.

Určete graficky kořeny kvadratické rovnice 𝑥 2 −4𝑥+4=0. Upravíme na tvar, kde na levé straně rovnice bude kvadratický člen a na pravé straně lineární a absolutní člen, tedy 𝑥 2 =4𝑥−4. Vzhledem k tomu, že rovnice má jedno řešení, získáme pouze jeden průsečík, přímka je tedy tečnou paraboly.

Určete graficky kořeny kvadratické rovnice 𝑥 2 −4𝑥+6=0. Upravíme na tvar, kde na levé straně rovnice bude kvadratický člen a na pravé straně lineární a absolutní člen, tedy 𝑥 2 =4𝑥−6. Kvadratická rovnice nemá žádné řešení, což lze vidět i na jejím grafickém řešení, protože přímka a parabola nemají žádný společný bod.

Úkol závěrem 1) Graficky urči kořeny daných rovnic: b) 𝑥 2 +3𝑥−40=0 c) 𝑥 2 +4𝑥+4=0 2) Dokažte graficky, proč nemá rovnice 𝑥 2 −𝑥+6=0 žádný reálný kořen.

Zdroje Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2. Pro přípravu obrázků byly použity programy Malování (součást operačního systému Windows) a Funkce 2.01 (freeware licence).