Množina bodů dané vlastnosti Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou daných navzájem různých bodů. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň

Množina bodů dané vlastnosti Budeme se zabývat množinami (skupinami) bodů, které spojuje nějaká společná vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body této množiny (skupiny) charakteristická a body, které tuto vlastnost nemají, do této množiny (skupiny) nepatří.

Množina bodů dané vlastnosti Množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme takový geometrický útvar G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Každý bod útvaru G má danou vlastnost V. 2) A obráceně, každý bod, který má danou vlastnost V, je bodem útvaru G. Co říkáte? Že tomu nerozumíte? Ano. Vypadá to složitě jako většina nejen matematických definicí. Ve skutečnosti v tom však nic složitého hledat nemusíte. Však uvidíte sami na konkrétních základních množinách bodů dané vlastnosti, o nichž se postupně budeme učit.

Množina bodů dané vlastnosti Pokusíme si však problematiku množin bodů dané vlastnosti nejprve osvětlit na příkladu, který s geometrií vůbec nesouvisí.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10, která jsou zároveň čísly složenými. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují dané podmínky: 4, 6, 8, 9 Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících dvě zadané podmínky (mající dvě dané vlastnosti): 1) jsou menší než 10 2) jsou to složená čísla. Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku minimálně ještě jedním číslem kromě jedničky a samy sebou.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 1: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují danou podmínku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou menší než 10.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 3: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10, která jsou zároveň čísly složenými a sudými. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují dané podmínky: 4, 6, 8 Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících tři zadané podmínky (mající tři dané vlastnosti): 1) jsou menší než 10 2) jsou to složená čísla 3) jsou to čísla sudá Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku číslem 2.

Množina bodů dané vlastnosti Doufám, že už jste pojem množina prvků (čísel) dané vlastnosti dostatečně dobře pochopili, a proto již přejdeme ke konkrétním v geometrii nejčastěji používaným množinám bodů dané vlastnosti.

Množina bodů dané vlastnosti Tak nejprve k čemu nám znalost množin bodů dané vlastnosti bude. Při řešení konstrukčních úloh vždy hledáme dvě i více množin, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadované v zadání úlohy a každý společný bod (průnik) hledaných množin pak vede k řešení úlohy samotné.

Množina bodů dané vlastnosti Tak a teď už se podívejte na následující snímek. Jsou na něm body AB spojeny v úsečku a její osa o. Navíc pak ještě pár bodů. Obrázek si dobře prohlédněte a pak odpovězte na následující otázky.

Množina bodů dané vlastnosti 1) Co můžeme říci o bodech C, D? 2) Co platí pro vzdálenost těchto bodů od bodů A a B? 3) Které další body mají tutéž vlastnost?

Množina bodů dané vlastnosti 1) Co můžeme říci o bodech C, D? Oba leží na ose o. 2.) Co platí pro vzdálenost těchto bodů od bodů A a B? |AC|= |CB| |AD|= |DB| 3) Které další body mají tutéž vlastnost? G, I

Množina bodů dané vlastnosti 4) Má bod E také stejnou vzdálenost od bodů A a B? 5) A co bod F? 6) Který další bod nemá od bodů A a B stejnou vzdálenost?

Množina bodů dané vlastnosti 4) Má bod E také stejnou vzdálenost od bodů A a B? Nemá. |AE|  |EB| 5) A co bod F? Také nemá. |AF|  |FB| 6) Který další bod nemá od bodů A a B stejnou vzdálenost? H

Množina bodů dané vlastnosti Co tedy na základě předcházejících otázek a odpovědí můžeme o ose úsečky říci? Co to tedy vlastně osa je? Osa o úsečky AB je množina všech bodů, které mají od bodů A a B stejnou vzdálenost.

|AF| = |FB|; |AE| = |EB|; |AC| =|CB| o je osa úsečky AB: |AF|=|FB| Osa úsečky – opakování. Osa úsečky je přímka kolmá k úsečce procházející jejím středem. Všechny body na ose úsečky mají od obou krajních bodů stejnou vzdálenost. |AF| = |FB|; |AE| = |EB|; |AC| =|CB| o je osa úsečky AB: |AF|=|FB|

Zápis a konstrukce osy úsečky: 1. Dána úsečka AB 4. C, D; C  k  l, D  k  l 2. k; k(A; 1/2|AB|< r <|AB|) 5. o; o = CD 3. l; l(B; 1/2|AB|< r < |AB|) o k l C A S B D

Osa úsečky Konstrukce osy úsečky ještě jednou krok za krokem.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodů: 1) A a B; 2) C a D; 3) O a P

Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodů: 1) A a B; 2) C a D; 3) O a P

Užití „množin bodů“ v konstrukčních úlohách. Př.: Sestrojte kružnici opsanou trojúhelníku ABC. Naším úkolem je narýsovat kružnici procházející všemi třemi body trojúhelníku. Nejdříve si ten úkol ale zjednodušíme. Jak bychom narýsovali kružnici procházející jen dvěma body: krajními body úsečky AB (strany trojúhelníka AB). Nyní si totéž zopakujme se stranou BC. Co je tedy množinou středů kružnic procházejících zároveň krajními body úsečky AB i krajními body úsečky BC? Představme si kružnici, která prochází krajními body této strany – úsečky BC. Jaký závěr z toho pro nás tedy plyne? Představme si takovou kružnici. Je to průsečík os těchto úseček. Středem kružnice trojúhelníku opsané je průsečík os stran tohoto trojúhelníku. A představme si i další takové kružnice. A představme si i další takové kružnice. Platí totéž i pro osu třetí strany CA? Co je množinou středů všech kružnic, procházejících krajními body úsečky? Co je množinou středů všech těchto kružnic, procházejících krajními body úsečky BC? Ano, platí. Poloměrem pak vzdálenost tohoto průsečíku a kteréhokoliv vrcholu trojúhelníku. Je to přímka – osa úsečky AB. Je to opět přímka – osa úsečky BC.

A nyní již přikročíme ke konstrukci. Př: Sestrojte kružnici opsanou danému trojúhelníku ABC. Náčrt a rozbor: Osa strany AB, tzn. množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodů A a B. Osa strany BC, tzn. množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodů B a C. o2 o1 r S Průsečík narýsovaných množin bodů (os stran) má stejnou vzdálenost od všech tří bodů A, B, C, tzn. že je středem hledané kružnice. k

Zápis a konstrukce: S o2 C o1 B A k 1. ABC (sss) 4. S; S  o1  o2 2. o1; o1 je osa strany BC 5. k; k(S; r=|SC|) 3. o2; o2 je osa strany AB o2 A B C o1 S k

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, jestliže: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 5 cm

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku OPQ, jestliže: o = 4 cm, p = 5 cm, q = 3 cm

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku XYZ, jestliže: x = 45 mm, y = 8 cm, z = 55 mm

Tak přesnou ruku při rýsování!