Funkce Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny: Definice 3. K úplnému zadání funkce je třeba stanovit jak funkční předpis, tak de- finiční obor. Funkční předpis (který prvek z A se zobrazí na který prvek z B) se obvy- kle zadává pomocí nějakého vzorce. Úplné zadání funkce je například V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

Různá zobrazení, liší se v definičních oborech Funkce Funkce, které mají shodné funkční předpisy, ale různé definiční obory, jsou různé! Různá zobrazení, liší se v definičních oborech 1 -1 1 1 -1

Graf funkce Graf funkce je zobrazení množiny dvojic čísel do pravoúhlého souřadné- ho systému. 1 -1 obor hodnot definiční obor Každý bod v rovině odpovídá jedné dvojici ( x, y ).

Graf funkce y argument funkční hodnota Protože funkční hodnota funk-ce f(x) se obvykle značí pís-menem y, označujeme svislou osu také písmenem y. Pouze v případě, kdy funkční hodno-ta má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem pří-slušné fyzikální veličiny. Protože argument funkce f(x) se obvykle značí písmenem x, označujeme svislou osu také písmenem x. Pouze v přípa-dě, kdy argument má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem příslušné fyzikální veličiny. x

Graf funkce Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- stavuje funkci. Funkce zaznamenatelné do grafu Funkce, kterou nelze znamenat do grafu Dirichletova funkce

Graf funkce Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- stavuje funkci. Toto není graf funkce – téměř každému číslu z definičního oboru přiřazuje dvě čísla z oboru hodnot, což je v rozporu s definicí zobrazení. 1

Operace s funkcemi Funkce f a g jsou si rovny právě tehdy, když prvky přiřazují stejně. Je nutný nejen shodný předpis, ale i stejný definiční obor. Buďte f a g funkce, Dfg = Df ∩ Dg neprázdná množina. Součet funkcí f + g definujeme jako novou funkci předpisem Definice 15. Analogicky definujeme rozdíl, násobek a podíl funkcí. Buďte f a g funkce, Hg je podmnožinou Df Složenou funkci f o g definujeme jako novou funkci předpisem Definice 16. Funkci f nazýváme vnější, funkci g vnitřní.

Složené funkce Příklady na složené funkce :

Složené funkce Příklady na složené funkce :

Vlastnosti funkcí Definice 16. Nechť funkce f s definičním oborem Df má následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme lichá. Funkci nazveme sudá, platí-li pro ni Lichá funkce : f(x) = x3 Sudá funkce : f(x) = x2-1

Vlastnosti funkcí Definice 17. Nechť funkce f s definičním oborem Df má následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme periodická. Číslo p nazýváme perioda funkce f. Pokud je v množině všech čísel p, která vyhovují definici, nejmenší prvek, nazýváme jej základní perioda funkce f. Periodická funkce : f(x) = x-[x] Periodická funkce : f(x) = sin(x) -π -2π π 2π 1 -1 p je libovolné číslo z N, základní perioda je 1 p je libovolný celý násobek 2π, základní perioda je 2π

Funkce omezená shora i zdola Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Funkce se nazývá zdola omezená na množině M, platí-li Definice 18. Funkci nazveme shora omezená, platí-li Funkce omezená shora Funkce omezená zdola Funkce omezená shora i zdola -2π -4π 2π 4π

Vlastnosti funkcí f(x) = x2-1 omezená zdola na M = Df f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -1,+1 > -1 +1 -1 +1 f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -2,+2 > -1 +1

Vlastnosti funkcí f(x) = 1/x omezená zdola na M = (0,+∞) f(x) = 1/x omezená shora na M = (+∞,0) +1 +1 +1 +1 +1 f(-x) = 1/x není omezená zdola ani shora na žádné množině, která obsahuje nulu!

Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Říkáme, že funkce má na množině M v bodě a M maximum, platí li Definice 18. Funkce má na množině M v bodě a M minimum, platí li f(x) = x2-1 má minimum v a = 0 na M = Df f(x) = -x2+5x-1 má maximum v a = 2.5 M = Df 2 1 -1 1 1 2 3 4 -1

Vlastnosti funkcí max max min min max max min min

Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df . Říkáme, že funkce má v bodě a lokální maximum (resp. lokální minimum), existuje-li množina tak, že funkce f má v bodě a na množině M maximum (resp. minimum). Definice 19. max min

Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Říkáme, že funkce je na množině M rostoucí, (respektive klesající, ostře rostoucí, ostře klesající ), platí li Definice 20. respektive f(x1) ≥ f(x2), f(x1) < f(x2), f(x1) > f(x2) . ostře rostoucí rostoucí klesající ostře klesající

Vlastnosti funkcí Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df . Říkáme, že funkce je prostá, platí li Definice 4. NE – prostá funkce prostá funkce

Vlastnosti funkcí Buď f je prostá funkce, Df a Hf její definiční obor a obor hodnot. Funkci Definice 21. nazveme funkcí inverzní k f . prohodit osy

Funkce inverzní (k funkci prosté) je prostá. Vlastnosti funkcí Graf inverzní funkce je s grafem původní funkce symetrický podle osy kvadrantů 1 a 3. Funkce inverzní (k funkci prosté) je prostá. Inverzní funkci k ne-prosté funkci lze utvořit pouze na vybrané podmnožině definičního oboru, na kterém prostá je. Funkci inverzní z funkčního předpisu vytvoříme tak, že vyjádříme x pomocí y a pak obě písmena zaměníme.

Vlastnosti funkcí y = 2x + 1 1 y = ½x + ½ -1 1 -1

Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno posunout podél osy y o libovolnou hodnotu y0 změ-nou funkčního předpisu z y y0 na x

Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno posunout podél osy x o libovolnou hodnotu x0 změ-nou funkčního předpisu z y na x0 x

Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno převrátit podél osy x změ-nou funkčního předpisu z y na x

Posuny grafů funkcí Graf funkce lze snadno převrátit podél osy y změ-nou funkčního předpisu z y na x Pozn.: na sudou funkci tato operace nebude mít vliv.

Shrnutí Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé Funkci určuje Df a přiřazení (funkční předpis) Některé funkce lze zaznamenat do grafu Funkce lze sčítat, odčítat, násobit, dělit a skládat Definujeme funkci sudou a lichou Definujeme funkci periodickou Definujeme funkci (shora, zdola) omezenou Na funkcích jsou definována (lokální) extrémy – (lokální) minima a maxima Definujeme funkce (ostře) monotónní – (ostře) klesající nebo rostoucí Definujeme funkci inverzní Graf funkce lze snadno posunout či převrátit