POČET PRAVDĚPODOBNOSTI Náhodný pokus – opakovaná realizace při daném souboru podmínek dává různé výsledky Náhodný jev - výsledek realizace náhodného pokusu Příklady: Hod kostkou  padne číslo 6 Výběr karty  karta je eso Zhotovení výrobku  výrobek vadný 24 hodin provozu linky  nastane právě jedna porucha

Označení náhodných jevů náhodné jevy označujeme A, B,… Označení náhodných jevů náhodné jevy označujeme A, B,…. Jistý jev V nastane při každé realizaci náhodného pokusu Příklad: Nemožný jev v daném náhodném pokusu nenastane nikdy Příklad

OPERACE S NÁHODNÝMI JEVY Jev A je částí jevu B, jestliže při každém výskytu jevu A nastává i jev B. B A Příklad: Sjednocení jevů A, B je jev, který nastane právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů A,B A B

Průnik jevů A, B je jev, který nastane právě tehdy, nastanou-li jevy A,B současně. Opačný jev k jevu A je jev, který nastane právě tehdy, nenastane-li jev A.   A

KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI (Laplace) Může-li dojít v náhodném pokusu k n stejně možným výsledkům, z nichž m má za následek výskyt jevu A a zbylých n-m jej vylučuje, pak pravděpodobnost jevu A bude Příklad: V souboru 50 studentů je 6 dojíždějících do školy z oblastí mimo Prahu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybereme mimopražského studenta? mezi 5 vybranými studenty (výběr bez vracení) budou právě 2 mimopražstí?

PRAVDĚPODOBNOST PRŮNIKU JEVŮ A, B (pravidlo o násobení pravděpodobností) Pro nezávislé jevy A, B platí B A Pro libovolné jevy A, B platí

Příklad: A = 1.vytažená karta eso,B = 2.vytažená karta eso Jaká je pravděpodobnost vytažení 2 es po sobě při výběru s vracením a bez vracení ? výběr s vracením: P(A)=P(B)=4/32 výběr bez vracení: P(A)=4/32, P(B/A)=3/31

PRAVDĚPODOBNOST SJEDNOCENÍ JEVŮ A, B (pravidlo o sčítání pravděpodobností Pro libovolné jevy A, B platí Pro nezávislé jevy A, B platí Pro neslučitelné jevy A, B platí Pro opačné jevy platí

Příklad: Banka má 2 nezávislé poplašné systémy s účinnostmi 90% a 80%. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden ohlásí mimořádnou událost ? A: 1.systém ohlásí P(A)=0,9 B: 2.systém ohlásí P(B)=0,8 nebo

Úplná pravděpodobnost Situace, kdy jev A může nastat jen ve spojení s některým z jevů Bi, které tvoří úplný systém neslučitelných jevů   Pak platí Úplná pravděpodobnost jevu A je rovna součtu součinů pravděpodobností jevů Bi a podmíněných pravděpodobností jevu A vzhledem k jevům Bi .

P(Bi /A) .... pravděpodobnosti a posteriori tuto P(Bi ) .... pravděpodobnosti a priori (jsou známy před provedením pokusu) Po provedení pokusu můžeme stanovit pravděpodobnost, že jev A nastal ve spojení s jevem Bi P(Bi /A) .... pravděpodobnosti a posteriori tuto pravděpodobnost vyjadřuje Bayesova věta

a) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je vadný. Příklad: Výrobek je vyráběn na dvou zařízeních. Modernější zajišťuje 70 % produkce a mezi jeho výrobky je 5 % vadných. Starší zařízení vyrábí zbytek produkce a vadných je 15 %. a) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je vadný. A ... vadný výr. P(Bm ) = 0,7 P(A/Bm ) = 0,05 P(Bs ) = 0,3 P(A/Bs ) = 0,15 P(A) = P(Bi ) . P(A/Bi ) = P(Bm ).P(A/Bm)+P(Bs ). P(A/Bs )= = 0,7 .0,05 + 0,3 . 0,15 = 0,08

b) byl-li vybrán zmetek, jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben na moderním stroji.

Náhodná veličina je veličina, která při opakování náhodného pokusu mění své hodnoty v závislosti na náhodě Náhodné veličiny označujeme X, Y, Z, ... hodnoty náhodné veličiny x, y, z, ... P(X = x) čteme: pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude právě hodnoty x náhodné veličiny  nespojité (diskretní)  spojité

popis rozdělení náhodné veličiny Diskrétní náhodná veličina – nabývá nejvýše spočetně mnoha reálných hodnot (např. počet členů domácnosti, počet poruch výrobní linky za 24 hodin, počet vadných výrobků v dodávce) Spojitá náhodná veličina – nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu (např. doba čekání na obsluhu, teplota, tlak) popis rozdělení náhodné veličiny diskretní n.v. spojité n.v. pravděpodobnostní funkce hustota pravděpodobnosti distribuční funkce distribuční funkce

POPIS DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN Pravděpodobnostní funkce udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá právě hodnoty x. vlastnosti pravděpodobnostní funkce

Distribuční funkce F(x) udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá nejvýše hodnoty x. Vlastnosti distribuční funkce: (neklesající) je spojitá zprava a má nejvýš spočetně bodů nespojitosti

Příklad: Náhodná veličina X (počet poruch na výrobní lince za 24 hodin) nabývá hodnot s pravděpodobnostmi Vypočítejte distribuční funkci a pravděpodobnost, že n.v. leží v intervalu (0, 2>. x P(x) F(x) 0,3 1 0,4 0,7 2 0,2 0,9 3 0,1 1,0 Σ

POPIS SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Distribuční funkce Hustota pravděpodobnosti Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti:

Charakteristiky náhodných veličin Charakteristiky polohy  střední hodnota E(X) diskrétní n.v. spojité n.v.  modus je bod, v němž pravděpodobnostní funkce nebo hustota pravděpodobnosti nabývají maximální hodnoty

Charakteristiky variability  rozptyl D(X) diskretní náhodné veličiny spojité náhodné veličiny  směrodatná odchylka 

Vypočítejte střední hodnotu a rozptyl počtu poruch Příklad: Náhodná veličina X (počet poruch na výrobní lince za 24 hodin) nabývá hodnot s pravděpodobnostmi Vypočítejte střední hodnotu a rozptyl počtu poruch x P(x) x.P(x) x2.P(x) 0,3 1 0,4 2 0,2 0,8 3 0,1 0,9 Σ 1,0 1,1 2,1

Normovaná náhodná veličina E(U) = 0 D(U) = 1

NĚKTERÁ ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN pod pojmem „rozdělení“ náhodné veličiny chápeme jakýsi pravděpodobnostní model empirického rozdělení  v určitých standardních situacích lze pravděpodobnostní chování náhodné veličiny popsat určitým pravděpodobnostním modelem

Binomické rozdělení Bi(n,) Binomická náhodná veličina je modelem počtu výskytů náhodného jevu A v n nezávislých pokusech (tj., když pravděpodobnost nastoupení jevu A je ve všech pokusech stejná - pokusy s vracením) pravděpodobnostní funkce udává pravděpodobnost, že sledovaný náhodný jev A v sérii n pokusů nastane právě x-krát . E(X) = n  střední hodnota rozptyl D(X) = n (1 - )

Příklad: Pravděpodobnost, že se podaří dovolat na první pokus je 0,25. Určete pravděpodobnost, že z 10 náhodných pokusů budou: a) právě 4 pokusy úspěšné b) podaří se dovolat na první pokus alespoň dvakrát.

Poissonovo rozdělení Po( ) je vhodným modelem v případech, kdy je velký počet nezávislých pokusů (n velké) a pravděpodobnost výskytu jevu v jednotlivém pokusu je malá rozdělení počtu výskytů jevu v určitém intervalu Limitní případ binomického rozdělení pro („rozdělení řídkých jevů)  = n Pravděpodobnostní funkce Střední hodnota a rozptyl

Příklad: Pravděpodobnost, že výrobek není kvalitní je 0,05 Příklad: Pravděpodobnost, že výrobek není kvalitní je 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že v dodávce 60 kusů bude 5 vadných. n = 60 π = 0,05 Hodnoty P(x) pro dané  lze najít v tabulkách Poissonova rozdělení nebo pomocí PC

Hypergeometrické rozdělení Situace: je dána populace rozsahu N, ve které je M objektů se sledovanou vlastností a N-M objektů bez sledované vlastnosti bez vracení (tj. závislé výběry) vybereme n objektů; potom počet objektů se sledovanou vlastností ve výběru je náhodná veličina X s hypergeometrickým rozdělením a s pravděpodobnostní funkcí x = max 0,M-N+n,...,minM,n

Příklad:Výpočet pravděpodobnosti výhry ve Sportce N=49, M=6, n=6, x=3,4,5,6

Normální rozdělení N(µ,2) Gaussovo - Laplaceovo rozdělení  nejdůležitější rozdělení, je vhodným modelem všude tam, kde kolísání náhodné veličiny je způsobené velkým počtem nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů hustota pravděpodobnosti  střední hodnota E(X) =   rozptyl D(X) = 2

NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1) normovaná náhodná veličina hustota pravděpodobnosti  střední hodnota E(U) = 0  rozptyl D(U) = 1 -  u   distribuční funkce

NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ N(0,1) ! ! V důsledku symetrie kolem nuly platí: distribuční funkce ! ! ! p% kvantil medián

Příklad 1: Výška lidí v určitém souboru má normální rozdělení se střední hodnotou  = 175 cm a směrodatnou odchylkou  = 8 cm. 1.Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude vyšší než 185 cm? 2. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude mít výšku v rozmezí 170-180 cm? N(175;64)

Důležité kvantily normovaného normálního rozdělení

Další rozdělení důležitá v matematické statistice Rozdělení chí-kvadrát Rozdělení t – Studentovo Rozdělení F - Fischerovo