A ZÁROVEŇ HNED DOKONALÉ NIC NENÍ OBJEVENO A ZÁROVEŇ HNED DOKONALÉ Marcus Tullius Cicero

OHYB NOSNÍKŮ Johan Wilhelm Schwedler Leonard Euler Claude-Louis Navier 23. června1823 Berlín – 9. června 1894 Berlín . Leonard Euler 15. dubna 1707 Basilej – 18. září 1783 Petrohrad OHYB NOSNÍKŮ Tx je vektorová funkce skalárního t a vektorového 0x argumentu Claude-Louis Navier 10. února 1785 Dijon – 21. srpna 1836 Paříž . Jacob Bernoulli 6. ledna 1665 Basilej – 16. srpna 1705 Basilej

Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051)

KONTROLA DEFORMACÍ (TUHOSTNÍ KONTROLA) ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) PEVNOSTNÍ KONTROLA rozměrový návrh a kontrola nosníku vůči dovolenému napětí KONTROLA DEFORMACÍ (TUHOSTNÍ KONTROLA) výpočet průhybové čáry, maximálního průhybu, natočení v podporách (dovolené naklopení ložisek), …

PŘEDPOKLÁDÁME ZATÍŽENÍ: ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) OHYB NOSNÍKŮ původně přímý prut se zakřivuje do rovinné nebo prostorové křivky ohyb i složitějších konstrukcí – křivé pruty, desky, skořepiny, … PŘEDPOKLÁDÁME ZATÍŽENÍ: osamělými silami (kolmými) k ose prutu osamělými silovými dvojicemi spojitým zatížením M F x dx dQ q (x)

VLASTNOSTI NOSNÍKU ZÁVISÍ NA ZPŮSOBU JEHO ULOŽENÍ ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) VLASTNOSTI NOSNÍKU ZÁVISÍ NA ZPŮSOBU JEHO ULOŽENÍ uvažujeme tyto typy uložení (ideální): neposuvná kloubová podpora (odebírá 2° volnosti Rx a Ry ) posuvná kloubová podpora (odebírá 1° volnosti Ry ) tuhé vetknutí (odebírá 3° volnosti Rx , Ry a M ) nosník může být uložen pomocí nejrůznějších kombinací uvedených uložení

ROVINNÝ NOSNÍK = TĚLESO V ROVINĚ  MÁ 3° VOLNOSTI ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) ROVINNÝ NOSNÍK = TĚLESO V ROVINĚ  MÁ 3° VOLNOSTI STATICKY URČITÉ NOSNÍKY mají tolik vazeb, jako stupňů volnosti, k určení reakcí postačují statické podmínky rovnováhy, zrušení vazby může znamenat pád konstrukce STATICKY NEURČITÉ NOSNÍKY mají více vazeb, než stupňů volnosti, k určení reakcí je třeba dalších podmínek, zrušení vazby může znamenat přechod na staticky určitou konstrukci 1 SNÚ 2 SNÚ 2 SNÚ -2° -1° -2° -1° -3° -3° -1° -3° -1° -1° -2° -1° -1°

ROZDĚLENÍ PODLE PRŮŘEZU ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) ROZDĚLENÍ PODLE PRŮŘEZU nosníky neproměnného průřezu (prizmatické) nosníky proměnného průřezu ROZDĚLENÍ PODLE DRUHO OHYBU ROVINNÝ OHYB nosník se prohne do rovinné křivky nemusí nastat, když na nosník působí pouze rovinná soustava sil rozhoduje poloha STOPY OHYBOVÉHO MOMENTU PROSTOROVÝ OHYB nosník se prohne do prostorové křivky nastane vždy, působí-li na nosník prostorová soustava sil x qo RA RB F1 F2 F3

STOPA OHYBOVÉHO MOMENTU ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) STOPA OHYBOVÉHO MOMENTU průsečnice roviny ohybového momentu μ s rovinou průřezu ρ přímka, která leží v každém příčném průřezu nosníku a je kolmá k vektoru ohybového momentu MO v tomto průřezu PRO OHYB NASTÁVAJÍ DVA PŘÍPADY je-li stopa Mo totožná s některou hlavní centrální osou průřezu, nastává při rovinném zatížení nosníku ROVINNÝ OHYB 2. v opačném případě nastává při rovinném zatížení PROSTOROVÝ OHYB MO μ StMo F1 F2 F3 ρ J1 J2 StMo T MO J1 J2 StMo T MO

ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ PŘI OHYBU ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ PŘI OHYBU každý průřez ohýbaného nosníku přenáší ohybový moment Mo(x) a posouvající sílu T(x) PROSTÝ OHYB NOSNÍKU zanedbáváme vliv posouvající síly T(x) na deformaci nosníku platí Bernoulliho (Bernoulliho-Navierova) hypotéza: Rovinné řezy, které byly před deformací kolmé k podélného ose nosníku, zůstanou rovinnými i po deformaci a budou kolmé k deformované ose nosníku y x –v(x) +φ(x) T (x) MO (x)

𝜎 𝑜 (𝑦)=− 𝑀 𝑜 𝐽 𝑧 ∙𝑦 NAPĚTÍ V PRŮŘEZU PŘI OHYBU ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) NAPĚTÍ V PRŮŘEZU PŘI OHYBU část vláken se vlivem deformace nosníku prodlouží část vláken se vlivem deformace nosníku zkrátí některá vlákna v průřezu svou délku nezmění (ty vyplní tzv. neutrální plochu, která protíná každý průřez v neutrální ose on při ohybu musí neutrální osa procházet těžištěm průřezu při prostém ohybu je velikost napětí σ přímo úměrná vzdálenosti od neutrální osy (bez ohledu na tvar průřezu) = Bernoulliho-Navierova teorie MO o(y) o1 TLAK TAH e1 e2 z  on y TLAK 𝜎 𝑜 (𝑦)=− 𝑀 𝑜 𝐽 𝑧 ∙𝑦 TAH

NAPĚTÍ V PRŮŘEZU PŘI OHYBU ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) NAPĚTÍ V PRŮŘEZU PŘI OHYBU extrémních hodnot dosahuje ohybové napětí v krajních vláknech (nejvzdálenějších od neutrální osy) největší TLAK: největší TAH: musíme určit místo, kde je maximální ohybový moment Mo max  musíme určit průběhy posouvající síly T(x) a ohybového momentu Mo(x). 1. metoda řezu (Euler): 𝐹 𝑖 =𝑇(𝑥) a 𝑀 𝑗 = 𝑀 𝑂 (𝑥) 2. Schwedlerova věta: y o2 𝜎 𝑜2 =− 𝑀 𝑜 𝐽 𝑧 ∙ 𝑒 2 𝜎 𝑜1 =− 𝑀 𝑜 𝐽 𝑧 ∙(−𝑒 1 ) MO MO TLAK e1 e2 z  on TAH o1 𝑑𝑇(𝑥) 𝑑𝑥 =−𝑞 𝑥 𝑑𝑀 𝑂 (𝑥) 𝑑𝑥 =𝑇(𝑥) 𝑑 2 𝑀 𝑂 (𝑥) 𝑑𝑥 2 =−𝑞(𝑥) MO T T+dT MO+dMO dx q(x)

NAPĚTÍ V PRŮŘEZU PŘI OHYBU ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) NAPĚTÍ V PRŮŘEZU PŘI OHYBU extrémních hodnot dosahuje ohybové napětí v krajních vláknech (nejvzdálenějších od neutrální osy) největší TLAK: největší TAH: T e1 e2 osa nosníku T profil Mo o max o min 𝜎 𝑜 min =− 𝑀 𝑜 𝐽 𝑧 ∙ 𝑒 2 𝜎 𝑜 max =− 𝑀 𝑜 𝐽 𝑧 ∙(−𝑒 1 )

𝜏 𝑧 (𝑥;𝜂)= 𝑇(𝑥)∙𝑆(𝜂) 𝐽 𝑧 (𝑥)∙𝑏(𝜂) ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) VLIV POSOUVAJÍCÍ SÍLY NA NAPJATOST PŘI OHYBU ve většině příkladů je vliv T(x) je zanedbatelný význam má zejména při výpočtech nosníků tvořených tenkostěnnými profily ŽURAVSKÉHO ŘEŠENÍ (teorém, vzorec) pro obdélníkový průřez, kde ℎ 𝑏 ≥2 Předpoklady: smyková napětí jsou rovnoběžná se směrem posouvající síly T(x) smyková napětí jsou stejná po celé šířce obdélníka 𝜏 𝑧 (𝑥;𝜂)= 𝑇(𝑥)∙𝑆(𝜂) 𝐽 𝑧 (𝑥)∙𝑏(𝜂) Důsledky: rozpor s Bernoulliho hypotézou – rozložení normálových napětí nebude přesně lineární podstatné zejména u krátkých, vysokých nosníků, resp. nosníků tvořených tenkostěnnými profily T(x) z()  x F

𝑣 𝑗 = (𝑙) 𝑀 𝑜 (𝑥) ∙𝑚 𝑜 (𝑥) 𝐸∙𝐽 𝑧 (𝑥) ∙𝑑𝑥 ČVUT ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti – předmět Pružnost a pevnost I (2111051) DEFORMACI NOSNÍKU ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ (diferenciální rovnice) - 𝑣(x) a (x) – funkce x a) Bernoulliho rovnice průhybové čáry b) Úplná diferenciální rovnice průhybové čáry (spojení Bernoulliho diferenciální rovnice se Schwedlerovou větou) ENERGETICKÉ ŘEŠENÍ (Castiglianova věta) – 𝑣j a  j – v bodě j a) Mohrův integrál b) Vereščaginova graficko–analytická metoda řešení Mohrova integrálu 𝑣" 𝑥 =− 𝑀 𝑜 𝑥 𝐸∙𝐽 𝑧 𝑥 𝑣" 𝑥 "= 𝑞 𝑥 𝐸∙𝐽 𝑧 𝑥 𝑣 𝑗 = (𝑙) 𝑀 𝑜 (𝑥) ∙𝑚 𝑜 (𝑥) 𝐸∙𝐽 𝑧 (𝑥) ∙𝑑𝑥 𝑣 𝑗 = 𝑖=1 𝑛 1 𝐸∙𝐽 𝑧𝑖 𝐴 𝑚𝑖 ∙𝑚 𝑜𝑇𝑖

A ZÁROVEŇ HNED DOKONALÉ NIC NENÍ OBJEVENO A ZÁROVEŇ HNED DOKONALÉ Marcus Tullius Cicero