4.2 Deformace pevného kontinua 4.3 Hydrostatika 4. Mechanika kontinua 4.1 Síly v kontinuu 4.2 Deformace pevného kontinua 4.3 Hydrostatika 4.4 Proudění ideální kapaliny Fyzika I-2017, přednáška 4

pevné – svůj tvar, deformace 4. Mechanika kontinua kontinuum – aproximace, spojitě rozložená hmota (neuvažuje se složení hmoty z molekul) je deformovatelné pevné – svůj tvar, deformace tekuté – nemá svůj tvar, tvar nádoby plastické elastické kapaliny: málo stlačitelné, hladina plyny: hodně stačitelné, celý objem nádoby Fyzika I-2017, přednáška 4

objemové (např. tíhová) 𝐹 V plošné 𝐹 S 4.1 Síly v kontinuu objemové (např. tíhová) 𝐹 V plošné 𝐹 S jednotky tlaku: SI: Pa = N/m2 1 bar = 105 Pa, 1kbar = 108 Pa 1 atm = 101 325 Pa (1 torr = 1 atm/760 = 133,322 Pa) Tečná síla - deformace smykem, krutem Normálová síla - deformace tlakem, tahem tečné napětí namáhání smykem nebo ohybem normálové napětí namáhání tahem nebo tlakem (p) 𝜏= 𝑑 𝐹 𝜏 𝑑𝑆 𝜎 𝑛 = 𝑑 𝐹 𝑛 𝑑𝑆 Fyzika I-2017, přednáška 4

…Hookův zákon – relativní prodloužení e je úměrné napětí Reálná tělesa 4.2 Deformace pevného kontinua vněj. síly vyvolávají v tělese napětí, které je s nimi v rovnováze → deformace Deformace tahem a tlakem …Hookův zákon – relativní prodloužení e je úměrné napětí E…Youngův modul pružnosti v tahu [N m-2] Reálná tělesa s1 mez úměrnosti (pružnosti) s2 mez kluzu (průtažnosti) s3 mez pevnosti 𝜀= 𝜎 𝑛 𝐸

objem kapaliny dV = dxdydz, hustota r : obj. síla 𝐹 𝐺 =𝑚𝑔=𝜌𝑑𝑉𝑔 4.3 Hydrostatika 𝐹 𝑠 =𝑚𝑔=𝜌𝑑𝑉𝑔 kapalina v klidu ideální kapalina – nestlačitelná, (později v hydrodynamice: teče bez tření) Hydrostatický tlak objem kapaliny dV = dxdydz, hustota r : obj. síla 𝐹 𝐺 =𝑚𝑔=𝜌𝑑𝑉𝑔 plošná síla 𝐹 𝑠 souvisí s tlakem na povrch před.: p (y), p ≠ funkce (x,z), tlakové síly na boční stěny se vyruší v klidu → výsledná síla = 0 tabule ... celk. tlak 𝜌𝑔ℎ … hydrostatický tlak 𝑝 … výsledný tlak 𝑝 0 … tlak v místě 𝑦=0 často je to atm. tlak: 𝑝 0 = 𝑝 𝐴 Pascalův zákon: tlak se šíří v celém objemu kapaliny Heimlichův manévr zubní pasta 𝑝=𝜌𝑔ℎ+ 𝑝 0 r 𝐹 𝑆 ~𝑝∆𝑆

Př. Tlaková síla na dno a svislou stěnu nádoby b) na svislou stěnu - velikost výsledné síly - působiště síly (moment výsledné síly = součet momentů jednotl. sil) Fyzika I-2017, přednáška 4

Př. U-trubice, dvě nemísitelné kapaliny podle obrázku, v rovnováze Zapište podm. rovnováhy. hydrostat. tlak ℎ𝜌𝑔 pL pP rx FP FL stačí vyjadřovat rovnost tlaku v levé a pravé trubici v místě rozhraní kapalin v př. otevřené trubice - 𝑝 𝐿 = 𝑝 𝑃 = 𝑝 𝐴 Fyzika I-2017, přednáška 4

důsledek závislosti p(h) → Archimedův zákon důsledek závislosti p(h) → vztlaková síla na těleso ponořené v kapalině kapalina hust. r těleso objemu DxDyDz vztlaková síla Fvz (směrem vzhůru) tabule Archimedův zákon: těleso je nadlehčováno silou, která se rovná váze kapaliny tělesem vytlačené závisí pouze na ponořeném objemu Pohyb tělesa určuje celková síla 1. Fvz > FG , pohyb vzhůru, nakonec plave, pak Fvz = FG 2. Fvz(úplně ponořené) = FG - vznáší se 3. Fvz < FG – klesá ke dnu Fvz

4.4 Proudění ideální kapaliny pevné kontinuum – může existovat tečné napětí tekutiny – tečné napětí → „tečou“ v rovn. stavu přejímají tvar nádoby ideální kapalina – nestlačitelná, pohyb bez vnitřního tření popis pohybu - vektorové pole rychlosti proudnice – křivka, jejíž tečnou v každém bodě je vektor rychlosti proudová trubice – stěny tvoří proudnice Tvrzení: stěnou proud. trub. kapalina neteče tok vektoru rychlosti plochou Fyzika I-2017, přednáška 4

tok vektoru rychlosti elementární plochou : vektor plochy 𝑆 – směr kolmý k ploše (vnější normála, v příp. uzavř. plochy) – velikost ≡ velikost plochy tok vektoru rychlosti elementární plochou : tok vektoru rychlosti plochou : význam: objemový tok hmotnostní tok homogenní pole rychlosti a 𝑑𝑄=𝑣𝑑𝑆 𝑑𝑄=𝑣𝑑𝑆 cos 𝛼 𝑑𝑄= 𝑣 ∙𝑑 𝑆 𝑑𝑆 𝑛   𝑑𝑄= 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑉   = 𝑚 Fyzika I-2017, přednáška 4

Rovnice kontinuity obecná formulace (nepovinné) rovnice kontinuity bilance hmotnosti kapaliny vyteklé a vteklé z objemu uzavřeného plochou S za jednotku času je rovna úbytku hmotnosti kapaliny uvnitř tohoto objemu za jed. času proudová trubice prochází uzavřenou plochou zákon zach.hmot.→celkový hmotnost. tok = 0 pro nestlač. kap. →celkový objemový tok = 0 vytíná plochy S1 a S2, kde jsou rychlosti v1 a v2 rovnice kontinuity S1 > S2 => v1 < v2 𝑆 𝜌 𝑣 ∙𝑑 𝑆 =− 𝑑 𝑑𝑡 𝑉 𝜌𝑑𝑉 dS dS 𝑆 𝜌 𝑣 ∙𝑑 𝑆 =0 𝑆 𝑣 ∙𝑑 𝑆 =0 𝑆 1 𝑣 1 = 𝑆 2 𝑣 2 =𝑄

Bernoulliho rovnice vyjadřuje teorém práce - kinetická energie pro proudící kapalinu proudová trubice: práci koná tíh. síla a tlak. síla element kap. se za čas dt posune o ds1, resp. o ds2 v místě 1: výška h1, plocha S1, rychlost proudění v1, tlak p1 v místě 2: “ h2, “ S2 “ v2 “ p2 Bernouliho rovnice ≡ teorém práce kin energie tabule 1 2 𝜌 𝑣 1 2 +𝜌𝑔 ℎ 1 + 𝑝 1 = 1 2 𝜌 𝑣 2 2 +𝜌𝑔 ℎ 2 + 𝑝 2

Řešení fyzikálních problému z hydrodynamiky : rovnice kontinuity Bernouliho rovnice vše na jedn. objemu Řešení fyzikálních problému z hydrodynamiky : rovnice kontinuity 1 2 𝜌 𝑣 2 +𝜌𝑔ℎ+𝑝=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 kinet. energie pot. energie v poli tíhové síly práce tlakové síly 𝑆 1 𝑣 1 = 𝑆 2 𝑣 2 =𝑄 1 2 𝜌 𝑣 2 +𝜌𝑔ℎ+𝑝=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 Fyzika I-2017, přednáška 4

Př. Výtoková rychlost malým otvorem: široká otevřená nádoba, hladina ve výšce h, otvor malého průřezu S2 << S1 ve dně, rychlost v2 výtoku kapaliny malým otvorem ? Pozn. tlaky v místě 1 a 2 nemusí být stejné Fyzika I-2017, přednáška 4

Př. Proudění ideální kapaliny vodorovným potrubím pokles tlaku ve vodorov. potrubí = přírůstek kin. energie jedn. objemu p2<patm → využití využití – vodní vývěva 𝑆 1 𝑣 1 = 𝑆 2 𝑣 2 𝑣 1 < 𝑣 2 1 2 𝜌 𝑣 1 2 +𝜌𝑔 ℎ 1 + 𝑝 1 = 1 2 𝜌 𝑣 2 2 +𝜌𝑔 ℎ 2 + 𝑝 2 𝑝 2 < 𝑝 1 Fyzika I-2017, přednáška 4

Př. Měření objemového průtoku Venturiho trubicí: Situace podle obr., vodorovná trub., známe S1 , S2 , hustota proudící kapaliny r, hust. kap. v manometru r´ , rozdíl výšek v manometru H, objemový průtok Q ? Fyzika I-2017, přednáška 4

4.5 Proudění reálné kapaliny proudění ideální kapaliny (bez tření): rychlostní profil mezi vrstvami – tečné napětí t u běžných kapalin: tzv.newtonovské kap. … změna rychlosti ve směru kolmém na proudění h … dynamická viskozita [Pa s] … kinematická viskozita [m2 s-1] reálné kapaliny (tření) 𝜏=𝜂 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝜈= 𝜂 𝜌

ideální kapaliny – element se neotáčí newtonovská kapalina – natáčení elementu – vznik vírů laminární proudění – malá intenzita vírů, proudnice se nepromíchají turbulentní proudění – rozvinuté víry charakteristika proudění reál. kapaliny: součinitel tření l, Reynoldsovo kritérium Re~1/l Fyzika I-2017, přednáška 4

turbulentní proud. malé > Rekr laminární velké < Rekr Proudění l Re ideální kapalina 0 → turbulentní proud. malé > Rekr laminární velké < Rekr Rekr = 2,3 . 103 Fyzika I-2017, přednáška 4

5. Kmity a vlnění Fyzika I-2017, přednáška 4