Kombinatorika. Základní pojmy. Pravidla pro práci se skupinou: výběr prvků organizace podskupin Základní pojmy.

a) číslice v čísle použije jen jednou? Příklad. Kolik různých pěticiferných přirozených čísel lze napsat pomocí číslic 1,2,3,4,5, pokud: a) číslice v čísle použije jen jednou? b) Kolik z napsaných čísel bude začínat číslicí 5? c) Kolik z napsaných čísel bude sudých? Řešení: a) P(5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 b) P(4) = 4! = 4.3.2.1 =24 c) končících 2: P(4) = 4! =24 končících 4: P(4) = 4! = 24 dohromady : S = 2.4! = 2.24 = 48 Faktoriály a kombinační čísla. , 0 ≤ k ≤ n, k  N, n N

Pravidla pro počítání s kombinačními čísly. Příklad. Které přirozené číslo k vyhovuje rovnici ? k + 1  2, k  1 k  2 k  2 k = 2, protože k  N

Permutace. Permutace bez opakování z n prvků je každé uspořádání n prvkové základní množiny. Dokažte předchozí formuli (použijte matematickou indukci). Příklad. Při cestě z Kladna do Brna přes Prahu můžeme použít: z Kladna do Prahy - autobus, vlak, vlastní automobil: z Prahy do Brna - autobus, vlak, vlastní automobil, letadlo. Kolik je různých možností dopravy z Kladna do Brna máme? Příklad. Kolik přesmyček lze vytvořit z písmen m, a, t, e, m, a, t, i, k, a? P(10) = 10! = 3628800 Počet permutací s opakováním z n prvků, v nichž se jednotlivé prvky opakují k1, k2, … , kn – krát je 𝑃 / 𝑘 1 , 𝑘 2 , …, 𝑘 𝑛 = 𝑘 1 + 𝑘 2 +…+ 𝑘 𝑛 ! 𝑘 1 ! 𝑘 2 !… 𝑘 𝑛 !

Příklad. Kolika způsoby je možné mezi 30 studentů rozdat dvě volné vstupenky na koncert, pět vstupenek na plavecký stadión a deset vstupenek do posilovny, pokud každý ze studentů může dostat maximálně jednu vstupenku (i tak jich bude málo)? máme málo lístků, na některé studenty nic nezbude ⇒ aby nebyli smutní dostanou prázdné papírky ⇒ vyřešeno a rozdáváme: 2 vstupenky na koncert, 5 lístků do bazénu, 10 lístků do posilovny a 13 prázdných, celkem ) = 4.89109E+13 možností. 30!/(2!5!10!13!

Variace. Variace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá uspořádaná k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky. Počet variací k-třídy z n prvků bez opakování: , 0 ≤ k ≤ n, k  N, n  N. Příklad. M = {1,2,3}, určete počet dvojic bez opakování,které lze z této množiny vytvořit, pokud záleží na pořadí prvků. V2(3): (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), tedy můžeme vytvořit 6 variací 2. Třídy z 6 prvků. Příklad. Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice neopakují a záleží na pořadí cifer.

Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá uspořádaná k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž se každý prvek může opakovat k krát. Počet variací k-té třídy z n prvků s opakováním: , k  N, n N. Příklad. Dokažte předchozí vztah. Příklad. Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice mohou opakovat a záleží na pořadí cifer. Příklad. Dospělý člověk má celkem 32 zubů. Jak velká musí být skupina lidí, aby se v ní vyskytli alespoň dva lidé se shodnou sestavou zubů.

Morseova abeceda se sestává ze symbolů, které obsahují · a −. Jestliže Příklad. Morseova abeceda se sestává ze symbolů, které obsahují · a −. Jestliže uvažujeme „slova“ o nejvýše 6 symbolech, kolik různých slov máme k dispozici. Příklad. Píšeme trojciferná čísla složená z číslic 0, 1, 2, . . . , 9. Kolik různých čísel můžeme napsat: a) číslo může začínat nulou; b) číslo nesmí začínat nulou. Kombinace. Kombinace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků. Počet kombinací k-třídy z n prvků bez opakování: , 0 ≤ k ≤ n, k  N, n N Příklad. Janovská loterie. Z 90 čísel se losuje 5. Můžeme si koupit lístek, který obsahuje 1, 2, 3, 4 nebo 5 čísel. Lístek vyhrává, pokud obsahuje pouze čísla, která jsou mezi pěti vylosovanými. Na lístek s 1 číslem se vyplácí 15 krát cena lístku. V případe výhry s dvěma čísly (ambo) se vyplácí 270 krát cena lístku. Pro lístek s 3 čísly (terno) je výhra 5 500krát cena lístku, pro lístek se 4 čísly (kvaterno) je výhra 75 000 krát cena lístku a pro lístek s 5 čísly (kvinterno) je výhra 1 000 000 krát cena lístku. Vypočtěte, kolik je možných výsledků tahu a kolik z nich připadá na jednotlivé možnosti výher.

Kolik 4-tónových akordů lze zahrát z 7 tónů? Příklad. Kolik 4-tónových akordů lze zahrát z 7 tónů? Kombinace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá k-prvkový výběr (k-tice) základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků a kde se každý prvek může opakovat (k krát). Počet kombinací k-třídy z n prvků s opakováním: , k  N, n N V obchodě mají 3 barvy příze v klubíčcích po 50 g. Potřebuji 500 g příze. Kolika způsoby mohu koupit 500g? Desetkrát vybíráme ze 3 barev klubíček po jednom klubíčku. Proto n = 3, k = 10.

Příklad. Potřebujeme koupit 12 lahví minerálky. V obchodě prodávají minerálky 4 výrobců. Kolik možností nákupu máme? Základní množina M obsahuje n = 4 prvky. Z této množiny vybíráme 12-tice s opakováním (k = 12).   Příklad. Kolika způsoby lze rozdělit 20 volných vstupenek na premiéru Babovřesek mezi 10 důchodkyň? 1 osoba může uchvátit 0, …, 20 vstupenek. Jedná se tedy o kombinace s opakováním. n = 10, k = 20,  

Binomická věta. , a  R, b  R, n  N k-tý člen řady: Příklad. Který člen rozvoje následujícího výrazu neobsahuje x? , x 0 Pokud výraz neobsahuje x, pak x15-3k = 1, neboli 15 – 3k = 0. Odtud k = 5.

Pascalův trojúhelník. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Příklad. Určete součet , kde n je libovolné přirozené číslo nebo 0. Jedná se o binomickou větu, kde a = b = 1. Proto = 2n. Důsledek. udává počet všech k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny (k = 0 je prázdná množina. Výše odvozený součet udává počet všech podmnožin n-prvkové množiny. n-prvková množina má tedy 2n podmnožin.

Cvičení. 1. Jistý muž má 5 kabátů, 4 vesty a 6 kalhot. Kolika různými způsoby se může obléct? 2. Kolik různých hodů lze provést třemi kostkami? 3. Kolik různých šesticiferných čísel můžeme napsat z číslic 1,2,3,4,5,6 má-li se každá vyskytnout v čísle jen jednou? 4. Které přirozené číslo vyhovuje rovnici : 5. Kterým kombinačním číslem je možno vyjádřit součet 6. Zjednodušte: 7. Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací bez opakování dvanáctkrát. Jaký byl původní počet prvků? 8. Kolik různých „slov“ lze vytvořit použitím všech písmen slova automatizace?